专题02 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材冀教版

专题02 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的概念 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程的根与系数的关系 考点四 实际问题与一元二次方程 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义 题型二 由一元二次方程的定义求参数 题型三 解一元二次方程 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型八 营销问题(一元二次方程的应用) 题型九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十 动态几何问题(一元二次方程的应用) 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：一元二次方程定义、一般形式；三种解法（因式分解、配方法、公式法）；判别式 Δ 判断根的情况；根与系数关系（韦达定理）；应用题：增长率、销售利润、面积几何问题、传播问题等 题型特点：选择（概念、Δ 取值范围）、填空（韦达求值、配方）、解答必考：解方程 + 应用题 难易度：★★~★★★（基础 + 中档，有小压轴） 命题特点：九上期中代数核心大题；易错点：二次项系数含参数忘记≠0；韦达定理求值必须检验 Δ≥0；应用题最后检验根是否符合实际意义 识记 1. 记住一元二次方程一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；2. 记住求根公式、判别式Δ=b2﹣4ac；3. 记住根与系数关系（韦达定理） 理解 1. 理解a=0的必要性；2. 理解Δ和根的对应关系；3. 理解配方法的转化思想（化为完全平方式） 应用 1. 选用合适方法解方程；2. 利用Δ求参数取值；3. 列一元二次方程解决增长率、面积、利润应用题 考点一 一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程． 2. 一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 3. 解（根）的意义：一元二次方程的解也叫这个方程的根． ⚠️概念辨析 判断一个方程是不是一元二次方程，需要同时满足 4 个条件： ①是整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数不为 0。 ⚠️易混易错 看到未知数最高次数是 2 就判定为一元二次方程 考点二 一元二次方程的解法 1. 配方法: 通过配方,把一元二次方程变形为一边是含未知数的一次式的平方、另一边是常数的形式,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.． 2. 公式法:把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.我们把b2﹣4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 3. 因式分解法:把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,进而转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根的方法,叫作因式分解法. ⚠️概念辨析 配方法的本质：把含未知数的部分配成完全平方式； 公式法由配方法推导而来，是通用解法，计算量大，适合不易因式分解、不好开方的方程。 ⚠️避坑指南 ❌ 用配方法，二次项系数不为 1 时，只给左边除以系数，右边忘记同除； ❌ 右边是正数才有两个互为相反数的根，不要漏 “±”； ❌ 不能随意两边除以含未知数的代数式！会丢根 ⚠️易混易错 求根公式里，根号下是b2−4ac，代入时a,b,c要带前面符号 ⚠️记忆口诀 一元二次怎么解，优先观察选方法； 左边能分用分解，平方形式直接开； 配方通用要细心，系数化一是前提； 万能公式兜底用，判别式先算出来！ 考点三 一元二次方程的根与系数的关系 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ⚠️概念辨析 韦达定理使用的两大前提：①方程是一元二次方程：a=0；②方程有实数根：Δ≥0。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知两根求参数，求出参数后一定要回代检验 Δ≥0 ⚠️记忆口诀 韦达定理很好记，和为负 b 比 a，积是 c 比 a； 使用之前先审题，a 不为零判别式不能弃！ 考点四 实际问题与一元二次方程 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． ⚠️避坑指南 ❌ 解出来的根，要符合实际意义：人数、长度、增长率不能为负数；增长率大于 1 是允许的； ❌ 增长率公式：连续两次增长，指数是 2，不要写成a+ax+bx； ❌ 面积题：道路边框问题，常平移道路，合并空白区域，简化列式，不要重复计算重叠部分。 ⚠️记忆口诀 实际问题列方程，等量关系是核心； 增长模型套公式，握手贺卡要分清； 求完别忘检验根，负数不合题意扔！ 题型一 一元二次方程的定义 典例1 （25-26九年级上·河北张家口·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 题型二 由一元二次方程的定义求参数 典例1 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（    ） A． B．1 C．7 D．任意实数 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）把方程化成一般式，则得值是（   ） A． B．7 C． D．1 题型三 解一元二次方程 典例1 （26-27九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）嘉嘉解方程的过程如图所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ，第三步 (1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____步开始出现错误； (2)请你用不同于（）中的方法解该方程． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例1 （24-25九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，下列结论正确的是（） A．两根之和等于 B．两根之和等于 C．两根互为倒数 D．以上结论都不对 2．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 典例1 （26-27九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 典例1 （24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为和，且，，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如果方程有实数根且它的两根之差是1，那么p值可能为（　　） A． B． C． D． 题型七 增长率问题(一元二次方程的应用) 典例1 （24-25九年级上·河北保定·期中）某新能源汽车厂商今年八月份销量为1.5万辆，且八月份、九月份、十月份的总销量为6万辆，若设每月的平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（     ） A． B． C． D． 题型八 营销问题(一元二次方程的应用) 典例1 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）某商店购入一批进价为10元/盒的巧克力进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售是盒 56 52 48 44 40 (1)求与的函数表达式； (2)巧克力销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 题型九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 典例1 （25-26九年级上·河北张家口·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 2．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 题型十 动态几何问题(一元二次方程的应用) 典例1 （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 迁移应用 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点A运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当________时，四边形的面积为面积的．    2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动．若点沿着移动，点沿着移动，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下�浙江金华�期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上�北京�阶段检测）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下�北京房山�期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（26-27九年级上�北京东城�阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上�北京海淀�阶段检测）年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下�北京�期中）写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 7．（24-25八年级下�山东滨州�期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 8．（2025�福建三明�二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 9．（26-27九年级上�北京西城�阶段检测）用适当的方法解下列方程 (1)；(2). 10．（24-25九年级上�山东临沂�期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上�广东清远�阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．（2026九年级上�河北�专题练习）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（     ） A．2026 B．2024 C．2025 D．2027 3．（26-27九年级上�河北沧州�阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（26-27九年级上�江苏无锡�阶段检测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上�安徽合肥�期中）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为169，则方程的正数解是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（26-27九年级上�广东佛山�阶段检测）是二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，满足条件的一元二次方程是___________． 7．（26-27九年级上�湖北省直辖县级单位�阶段检测）已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 8．（26-27八年级上�上海嘉定�阶段检测）在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 9．（26-27九年级上�江苏盐城�阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 10．（26-27九年级上�重庆�阶段检测）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的概念 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程的根与系数的关系 考点四 实际问题与一元二次方程 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义 题型二 由一元二次方程的定义求参数 题型三 解一元二次方程 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 题型七 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型八 营销问题(一元二次方程的应用) 题型九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十 动态几何问题(一元二次方程的应用) 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：一元二次方程定义、一般形式；三种解法（因式分解、配方法、公式法）；判别式 Δ 判断根的情况；根与系数关系（韦达定理）；应用题：增长率、销售利润、面积几何问题、传播问题等 题型特点：选择（概念、Δ 取值范围）、填空（韦达求值、配方）、解答必考：解方程 + 应用题 难易度：★★~★★★（基础 + 中档，有小压轴） 命题特点：九上期中代数核心大题；易错点：二次项系数含参数忘记≠0；韦达定理求值必须检验 Δ≥0；应用题最后检验根是否符合实际意义 识记 1. 记住一元二次方程一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；2. 记住求根公式、判别式Δ=b2﹣4ac；3. 记住根与系数关系（韦达定理） 理解 1. 理解a=0的必要性；2. 理解Δ和根的对应关系；3. 理解配方法的转化思想（化为完全平方式） 应用 1. 选用合适方法解方程；2. 利用Δ求参数取值；3. 列一元二次方程解决增长率、面积、利润应用题 考点一 一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程． 2. 一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 3. 解（根）的意义：一元二次方程的解也叫这个方程的根． ⚠️概念辨析 判断一个方程是不是一元二次方程，需要同时满足 4 个条件： ①是整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2；④二次项系数不为 0。 ⚠️易混易错 看到未知数最高次数是 2 就判定为一元二次方程 考点二 一元二次方程的解法 1. 配方法: 通过配方,把一元二次方程变形为一边是含未知数的一次式的平方、另一边是常数的形式,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.． 2. 公式法:把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.我们把b2﹣4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 3. 因式分解法:把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,进而转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根的方法,叫作因式分解法. ⚠️概念辨析 配方法的本质：把含未知数的部分配成完全平方式； 公式法由配方法推导而来，是通用解法，计算量大，适合不易因式分解、不好开方的方程。 ⚠️避坑指南 ❌ 用配方法，二次项系数不为 1 时，只给左边除以系数，右边忘记同除； ❌ 右边是正数才有两个互为相反数的根，不要漏 “±”； ❌ 不能随意两边除以含未知数的代数式！会丢根 ⚠️易混易错 求根公式里，根号下是b2−4ac，代入时a,b,c要带前面符号 ⚠️记忆口诀 一元二次怎么解，优先观察选方法； 左边能分用分解，平方形式直接开； 配方通用要细心，系数化一是前提； 万能公式兜底用，判别式先算出来！ 考点三 一元二次方程的根与系数的关系 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ⚠️概念辨析 韦达定理使用的两大前提：①方程是一元二次方程：a=0；②方程有实数根：Δ≥0。 ⚠️避坑指南 ❌ 已知两根求参数，求出参数后一定要回代检验 Δ≥0 ⚠️记忆口诀 韦达定理很好记，和为负 b 比 a，积是 c 比 a； 使用之前先审题，a 不为零判别式不能弃！ 考点四 实际问题与一元二次方程 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． ⚠️避坑指南 ❌ 解出来的根，要符合实际意义：人数、长度、增长率不能为负数；增长率大于 1 是允许的； ❌ 增长率公式：连续两次增长，指数是 2，不要写成a+ax+bx； ❌ 面积题：道路边框问题，常平移道路，合并空白区域，简化列式，不要重复计算重叠部分。 ⚠️记忆口诀 实际问题列方程，等量关系是核心； 增长模型套公式，握手贺卡要分清； 求完别忘检验根，负数不合题意扔！ 题型一 一元二次方程的定义 典例1 （25-26九年级上·河北张家口·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在方程中，要使其为一元二次方程，二次项系数不能为0，即． 故选：A． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：若，则方程变为，不是二次方程，故不一定是一元二次方程； 选项B：方程中含有未知数y，不是一元方程； 选项C：方程中含有分式，不是整式方程； 选项D：方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． ∴故选：D． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知：“”必定含有项，结合选项可知B选项满足题意． 题型二 由一元二次方程的定义求参数 典例1 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】B 【详解】解：∵是一元二次方程，∴，∴；故选：B． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）关于的一元二次方程，二次项系数与一次项系数之和为3，则（    ） A． B．1 C．7 D．任意实数 【答案】A 【详解】解：∵ 二次项系数为7，一次项系数为m，∵二次项系数与一次项系数之和为3， ∴，∴故选：A． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）把方程化成一般式，则得值是（   ） A． B．7 C． D．1 【答案】B 【详解】解：．．．．故：，，． ．故选：B． 题型三 解一元二次方程 典例1 （26-27九年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：∵，∴，∴，； （2）解：∵，∴，∴，∴或， ∴，； （3）解：∵，∴，∴，即，∴， ∴，； （4）解：∵，∴，∴，，，∴， ∴，∴，． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：∵，∴，解得； （2）解：∵，∴，∴， ∴，解得； （3）解：∵，∴，∴，解得； （4）解：∵，∴，∴或，解得． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）嘉嘉解方程的过程如图所示． 解方程： 解：第一步 第二步 ，第三步 (1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____步开始出现错误； (2)请你用不同于（）中的方法解该方程． 【答案】(1)配方法；二 (2)公式法：，，， ∵，∴，∴，； 因式分解法：因式分解，得，∴或，∴，． 【详解】（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；第二步配方时左边加，右边也要同时加， ∴从第二步开始出现错误； （2）略 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例1 （24-25九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：∵∴，∴方程没有实数根．故选A． 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，下列结论正确的是（） A．两根之和等于 B．两根之和等于 C．两根互为倒数 D．以上结论都不对 【答案】D 【详解】解：对于方程，∵，，，∴， ∴方程没有实数根，不存在两个实数根，∴A、B、C的结论均错误． 2．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵，∴，. ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 典例1 （26-27九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，∵一元二次方程有实数根， ∴，整理得，，∴且． 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为，∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根，∴根的判别式，解得，结合选项可知，符合条件的最大值为． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 【答案】D 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，， ，，解得，又是非正数，， ，和均不满足，选项、错误；题目未限定为整数，满足的实数有无数个，选项错误，选项正确． 题型六 一元二次方程的根与系数的关系 典例1 （24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为和，且，，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 中，，，故选项A不符合题意； B. 中，，，故选项B不符合题意； C. 中，，，故选项C不符合题意； D. 中，，，故选项D符合题意； 故选：D． 迁移应用 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为，则， 解得，故选：． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如果方程有实数根且它的两根之差是1，那么p值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设方程的两根为和，∴，∵，， ∴，∴，∴，又∵方程有实数根，∴判别式，满足条件，选项中只有符合条件，故，故选：D． 题型七 增长率问题(一元二次方程的应用) 典例1 （24-25九年级上·河北保定·期中）某新能源汽车厂商今年八月份销量为1.5万辆，且八月份、九月份、十月份的总销量为6万辆，若设每月的平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：九月份的销售量为：，十月份的销售量为：， 故总销量为：．故选：D． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程：． 故选：B． 2．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设两次词卡消费的平均增长率为，由题意得，整理得， ∵，∴，解得，∴这两次词卡消费的平均增长率为． 题型八 营销问题(一元二次方程的应用) 典例1 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】(1)， (2)每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间 【详解】（1）解：当每间客房的定价提高了x元时，房间价格为元，入住了间房， 总维护费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 化简，得，解方程，得，， 又∵要吸引更多的游客，，∴（元），此时租出的房间数为（间）． 答：每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）某商店购入一批进价为10元/盒的巧克力进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售是盒 56 52 48 44 40 (1)求与的函数表达式； (2)巧克力销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ 【答案】(1) (2)巧克力销售单价定为20元或30元时，所获日销售利润为400元 【详解】（1）解：∵日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，设一次函数解析式为，将，代入，得， 解得：．∴； （2）解：∵销售单价为x（元），进价为10元/个，∴每盒巧克力的利润为，且日销售量y（个）， 根据题意得，，解得，， 答：巧克力销售单价定为20元或30元时，所获日销售利润为400元 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)①，②60元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m，依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①依题意，得：； ②依题意，得：，解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠，∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 题型九 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 典例1 （25-26九年级上·河北张家口·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形，根据题意得：，故选：C． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：设米，则米，根据题意得：，整理得：， 解得：，，又长度要小于墙长米，，∴米．故选：D． 2．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：设，则，根据题意可知，，即， 解得，，当，，不合题意，舍去，当，，符合条件，故． 题型十 动态几何问题(一元二次方程的应用) 典例1 （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【详解】解：由题意得，到达点所需时间为，到达点所需时间为， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，∴， 由题意得，点运动路程，则，当时，在上，， ， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴， 当时，在上，此时到的距离为，∴， 解得， 综上所述，或． 迁移应用 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在直角三角形中，，，，点从点开始沿以的速度向点A运动，同时，点从点开始沿以的速度向点运动．当________时，四边形的面积为面积的．    【答案】3 【详解】解：设t秒后，，，则，，， 根据题意得，解得，（舍去）．故答案为：3． 2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动．若点沿着移动，点沿着移动，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为？ 【答案】经过4秒或6秒，的面积为 【详解】解：设经过秒，的面积为，当点在上，即时，， ，即，解得； 当点在上，即时，，， ，解得（不符合题意，舍去）； 当点在上，即时，， 则，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下�浙江金华�期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程.对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．（26-27九年级上�北京�阶段检测）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的根，∴将代入方程得， ∴． 3．（25-26八年级下�北京房山�期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵方程中，，，，∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根，∴该方程有两个相等的实数根． 4．（26-27九年级上�北京东城�阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得，所以． 5．（26-27九年级上�北京海淀�阶段检测）年月，人大附中初三年级研学团来到杭州未来科技城，开展社会实践．在小镇的产业展厅中，同学们了解到：杭州本土机器人企业宇树科技凭借四足机器人与人形机器人的技术突破，营业收入从年的亿元快速增长至年的亿元，设该企业营业收入从年到年的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：年营业收入为亿元，年平均增长率为，年营业收入为亿元， 年营业收入为亿元，根据年营业收入为亿元，列方程得． 6．（25-26九年级下�北京�期中）写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设该一元二次方程的两个根分别为和．由因式分解法可得方程： 展开得：取，得满足条件的方程为． 7．（24-25八年级下�山东滨州�期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，即， ∴，，∴，故答案为：． 8．（2025�福建三明�二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为______． 【答案】 【详解】解：设：这些桌面的宽度为，则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为，有，解得，，，即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 9．（26-27九年级上�北京西城�阶段检测）用适当的方法解下列方程 (1)；(2). 【详解】（1）解：，二次项系数化为1得，直接开平方得，∴，． （2）解：由得，，，∴， ∴，∴，． 10．（24-25九年级上�山东临沂�期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：， ，， . ，， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． (2)或1 【详解】（1）略 （2）由，得， ， ， ， ，解得：  ，或1． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上�广东清远�阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，且， 由得，由得，∴． 2．（2026九年级上�河北�专题练习）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（     ） A．2026 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】C 【详解】解：方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴整体是关于的方程的一个根，此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 3．（26-27九年级上�河北沧州�阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个实数根都是正整数，则整数m的值有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：设方程的两个正整数根为，，由根与系数的关系得，， ，均为正整数，满足和为4的正整数对为，， 对应的值分别为，，整数的值有2个． 4．（26-27九年级上�江苏无锡�阶段检测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， ∴，∵，解得， ∵，∴，∴． 5．（26-27九年级上�安徽合肥�期中）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为169，则方程的正数解是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：由方程可知，四个矩形的总面积为 ∴每个矩形的面积为，即四个角小正方形的边长为 ∵大正方形的面积为 ∴大正方形的边长为 ∴方程的正数解是 6．（26-27九年级上�广东佛山�阶段检测）是二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，满足条件的一元二次方程是___________． 【答案】 【详解】解：∵，∴，，， ∴，∴满足条件的一元二次方程是：． 7．（26-27九年级上�湖北省直辖县级单位�阶段检测）已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 【答案】10 【详解】解：∵，或，解得或， 当4为等腰三角形的腰时，另一腰长为4，此时，底边长为2，且，此时，三角形存在， 故三角形的周长为：； 当2为等腰三角形的腰时，另一腰长为2，此时，底边长为4，且，此时，三角形不存在，此种情况舍去；故三角形的周长为10． 8．（26-27八年级上�上海嘉定�阶段检测）在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 【答案】 【详解】解：∵小明看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之积等于，即； ∵小红看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之和等于，即， ∴；∴． 9．（26-27九年级上�江苏盐城�阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为，∴， ∵，∴，即，解得：， ∵，∴． 10．（26-27九年级上�重庆�阶段检测）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)该店下调后每辆汽车的售价为万元 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据题意得：，整理得：，解得：，， 此次销售尽量让利于顾客，，（万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $