第1章 05 1.4 空间向量的应用 01 1.4.1 02 第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直 1.A　[解析] 因为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),所以v2=-2v1,所以l1∥l2,故选A. 2.B　[解析]　=(1,-1,3),=(m-2,-2,m+2). 因为A,B,C三点共线,所以∥, 所以==,解得m=4. 3.C　[解析] 因为A(1,0,-1),M(x,y,z),所以=(x-1,y,z+1),又∥μ,所以==,所以点M的坐标满足的关系式是==.故选C. 4.B　[解析] ∵l∥α,∴直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,即(2,1,m)·=2++2m=0,解得m=-.故选B. 5.B　[解析] 若a⊥n,则l⊂α或l∥α,充分性不成立;若l∥α,则a⊥n,必要性成立.所以“a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B. 6.D　[解析] 对于A,由n·=1+0+5=6≠0,得n与不垂直,即直线l与直线AB不垂直,所以直线l与平面ABC不垂直,故A错误;对于C,=-=(1,1,1),因此不存在实数k,使得n=k,所以n与不平行,即直线l与直线BC不平行,故C错误;对于B,D,设m=(x,y,z)是平面ABC的法向量,则取x=1,则m=(1,-2,1),所以m·n=1+4-5=0,所以m⊥n,所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内,故B错误,D正确.故选D. 7.证明:方法一(向量法): 如图①,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则O(1,1,0),P(2,0,1),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2), 则=(2,2,0),=(0,2,2),=(1,-1,1). 设平面C1BD的法向量为m=(x,y,z), 则令x=1,则y=-1,z=1,则m=(1,-1,1), 由=(1,-1,1),得m=,所以∥m,所以OP⊥平面C1BD. 方法二(几何法): 如图②,连接A1C,AC, 因为四边形ABCD为正方形,O为BD的中点,所以O为AC的中点, 因为O,P分别是AC,AA1的中点,所以OP∥A1C. 因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面ACA1, 所以BD⊥平面ACA1,因为A1C⊂平面ACA1,所以A1C⊥BD. 连接B1C,则B1C⊥BC1,由正方体性质可得A1B1⊥平面BCC1B1, 又BC1⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1, 又A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1C, 所以BC1⊥平面A1B1C,因为A1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥A1C. 又BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面C1BD, 所以A1C⊥平面C1BD,因为OP∥A1C,所以OP⊥平面C1BD. 8.C　[解析] ∵α∥β,∴(-2,-4,k)=λ(1,2,-2),λ∈R,∴λ=-2,k=4.故选C. 9.AD　[解析] 因为平面α与平面β垂直,且n=(2,-4,8)是平面β的一个法向量,所以平面α的法向量与n垂直.因为(2,-4,8)·(0,-2,-1)=0+8-8=0,(2,-4,8)·(-6,-2,1)=-12+8+8≠0,(2,-4,8)·(3,4,1)=6-16+8≠0,(2,-4,8)·(-2,-3,-1)=-4+12-8=0,所以A,D选项中的向量可以作为平面α的一个法向量.故选AD. 10.α∥β　[解析] 由题意得=(0,1,-1),=(1,0,-1),则n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,所以n⊥,n⊥,所以n也为α的一个法向量,又 α与β不重合,所以α∥β. 11.A　[解析] 方法一:如图①,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),M(1,2,1),N(0,1,1).对于A,=(0,2,0),=(-1,-1,0),则cos<,>===-,即与的夹角为135°,所以直线MN与直线DC所成的角为45°,A中说法错误;对于C,=(-1,-1,0),=(0,0,2),则·=0,所以MN⊥CC1,故C中说法正确;对于B,=(-2,2,0),则·=0,所以MN⊥AC,又AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面ACC1A1,所以MN⊥平面ACC1A1,故B中说法正确;对于D,=(2,2,0),=(2,0,2),设平面BDA1的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则n=(1,-1,-1),因为·n=-1+1+0=0,且MN⊄平面BDA1,所以MN∥平面BDA1,故D中说法正确.故选A. 方法二:过M作ME∥BC交CC1于点E,连接NE,如图②, 因为点M为BC1的中点,ME∥BC,所以E为CC1的中点,又N是CD1的中点,所以NE∥D1C1∥DC.对于A,MN与DC所成的角即为∠MNE(或其补角),由正方体性质知NE⊥ME,NE=ME,所以∠MNE=45°,所以直线MN与直线DC所成的角为45°,故A中说法错误.对于B,连接DC1,因为N为D1C的中点,所以N为DC1的中点,所以MN∥BD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1,又MN∥BD,所以MN⊥平面ACC1A1,故B中说法正确.对于C,由B知MN⊥平面ACC1A1,因为CC1⊂平面ACC1A1,所以MN⊥CC1,故C中说法正确.对于D,因为MN∥BD,BD⊂平面BDA1,MN⊄平面BDA1,所以MN∥平面BDA1,故D中说法正确.故选A. 12.BD　[解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,令AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(1,0,1),A1(1,0,2),所以=(1,1,0),=(1,0,1),=(-1,1,-2),=(0,0,1),设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则n=(1,-1,-1),易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).设=λ,λ∈[0,1],则=+=+λ=(-λ,λ,1-2λ).若PQ∥平面ABCD,则⊥m,所以·m=1-2λ=0,解得λ=,所以A1Q=A1C,故A错误,B正确;若PQ⊥平面PBD,则∥n,即=tn,t∈R,所以(-λ,λ,1-2λ)=t(1,-1,-1),所以解得所以A1Q=A1C,故C错误,D正确.故选BD. 13.　[解析] 在平面ABC内过点A作Ax⊥AC,以A为坐标原点,Ax为x轴,AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1,M,设N(0,1,t),0≤t≤2,则=,=,由MN⊥AB1,得·=-×+×+2t=0,解得t=,所以CN=. 14.解:(1)证明:因为平面ABCD⊥平面ACEF,平面ABCD∩平面ACEF=AC, AC⊥AF,AF⊂平面ACEF,所以AF⊥平面ABCD. 又因为AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AF⊥AD,AF⊥AB. 以A为原点,AD,AB,AF所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,3,0),M(1,0,0),E(3,3,t),N(3,1,0),F(0,0,t). 所以=(2,3,t),=(3,-2,0), 所以·=2×3+3×(-2)=0, 所以ME⊥BN. (2)=(3,0,t),=(1,-3,0),=(-3,-3,0),=(0,-2,-t). 设平面BEM的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则即令y1=1,得x1=3,z1=-, 则n1=. 设平面EFN的法向量为n2=(x2,y2,z2),则 即令x2=1,得y2=-1,z2=, 则n2=. 若平面BEM⊥平面EFN,则n1·n2=0, 即3-1-=0,解得t2=9, 因为t>0,所以t=3. (3)设=λ,则K(λ,3-3λ,0),所以=(3-λ,3λ-2,0). 由(2)可知,平面EFN的一个法向量为n2=,所以·n2=0, 得3-λ-3λ+2=0,解得λ=, 所以K,=, 所以||==. 15.ACD　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),C(0,,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,,0),C1(0,,1),得=(-1,,-1),设=k(k>1),则=,可得=+=,=+=.对于A,当=2时,点P为体对角线A1C的中点,根据长方体性质可得B1,P,D三点共线,故A正确; 对于B,当⊥时,·=++-1=0,解得k=5,所以=,= ,则·=·=-+-≠0,因此与不垂直,故B错误; 对于C,当=3时,=,=(1,,0),=(0,,1),设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则取y=-1,则x=,z=,故n=(,-1,),因为n·=×--×=0,所以n⊥,又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,故C正确; 对于D,当=5时,=,=(1,0,-1),设平面D1AP的法向量为m=(a,b,c),则取a=-1,则b=,c=-1,所以m=(-1,,-1),又=(-1,,-1),所以∥m,所以A1C⊥平面D1AP,故D正确.故选ACD. 16.解:(1)证明:以B为坐标原点,以BC,BA,BP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),C(3,0,0),A(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,4), 因为M,N分别为PB,DC的中点,所以M(0,0,2),N, 所以=,=(0,3,-4),=(3,3,-4). 设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则即 令z=3,得x=0,y=4,则n=(0,4,3).因为·n=3×0+×4+(-2)×3=0, MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)不存在满足题意的点E,理由如下: 假设存在满足题意的点E,由(1)知=(0,3,-4),=(3,0,-4), 设E(0,0,t)(0≤t≤4),则=(-3,-3,t), 因为DE⊥平面PAC,则为平面PAC的法向量, 即解得t=-. 不满足0≤t≤4,所以线段BP上不存在点E,使得DE⊥平面PAC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直 考点一　 利用空间向量解决直线平行与垂直 1.直线l1的一个方向向量为v1=(1,0,-1),直线l2的一个方向向量为v2=(-2,0,2),则两直线l1与l2的位置关系是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定 2.已知空间中三个点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(m-1,3,m)共线,则m= (　 ) A.-4 B.4 C. D.0 3.在空间直角坐标系中,直线l过点A(1,0,-1),且μ=(3,2,4)为直线l的一个方向向量,若M(x,y,z)为直线l上的任意一点,则点M的坐标满足的关系式是 (　 ) A.== B.== C.== D.== 考点二　利用空间向量解决线面平行与垂直 4.已知直线l的一个方向向量为(2,1,m),平面α的一个法向量为,若l∥α,则m= (　 ) A. B.- C.4 D.-4 5.已知n为平面α的一个法向量,a为直线l的一个方向向量,则“a⊥n”是“l∥α”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知直线l和平面ABC,若直线l的一个方向向量为n=(1,-2,-5),向量=(1,0,-1),=(2,1,0),则下列结论一定正确的是 (　 ) A.l⊥平面ABC B.l与平面ABC相交,但不垂直 C.l∥直线BC D.l∥平面ABC或l⊂平面ABC 7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,P分别是BD,AA1的中点,求证:OP⊥平面C1BD. 考点三　利用空间向量解决面面平行与垂直 8.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k= (　 ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 9.(多选题)已知平面α与平面β垂直,若n=(2,-4,8)是平面β的一个法向量,则平面α的一个法向量可能为 (　 ) A.(0,-2,-1) B.(-6,-2,1) C.(3,4,1) D.(-2,-3,-1) 10.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则β与α的位置关系是　　　　.  11.[2026·深圳高二期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是 (　 ) A.直线MN与直线DC所成的角为60° B.MN⊥平面ACC1A1 C.MN⊥CC1 D.MN∥平面BDA1 12.(多选题)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,P为AA1的中点,Q为线段A1C上的动点,下列结论正确的是 (　 ) A.若PQ∥平面ABCD,则A1Q=A1C B.若PQ∥平面ABCD,则A1Q=A1C C.若PQ⊥平面PBD,则A1Q=A1C D.若PQ⊥平面PBD,则A1Q=A1C 13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若在侧棱CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1,则CN=　　　　.  14.[2026·江苏南通高二期中] 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=3,设AF=t(t>0),点M,N分别在线段AD,CD上,且AM=AD,DN=DC. (1)证明:ME⊥BN; (2)若平面BEM⊥平面EFN,求t的值; (3)设直线BM与平面EFN相交于点K,求线段EK的长度(用t表示). 15.(多选题)[2026·湖北十堰高二期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=,点P为线段A1C上的动点(不包含端点),则下列结论正确的是 (　 ) A.当=2时,B1,P,D三点共线 B.当⊥时,⊥ C.当=3时,D1P∥平面BDC1 D.当=5时,A1C⊥平面D1AP 16.[2026·重庆九校联盟高二期中] 如图,正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD,且AB=3,PB=4.M为PB的中点,N为DC的中点. (1)证明:直线MN∥平面PAD. (2)线段BP上是否存在点E,使得DE⊥平面PAC?若存在,求出该点位置;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $