第1章 05 1.4 空间向量的应用 03 第1课时 用空间向量研究距离问题 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 1.B　[解析] 由题意,=(0,1,-1),则与同方向的单位向量为e=,又=(0,0,-2),∴点A到直线BC的距离d===.故选B. 2.A　[解析] 由题得A(0,0,2),B(3,0,0),C(0,4,0),∴=(-3,4,0),=(-3,0,2),∴点A到直线BC的距离d=||sin<,>=||=·=.故选A. 3.　[解析] 连接LM,以B为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则L,M,N,所以=,=, 所以点M到直线LN的距离d==. 4.C　[解析] 设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则 令y=12,则x=3,z=4,即n=(3,12,4),所以该四棱锥的高h===2.故选C. 5.C　[解析] 由平面α={P|n·=0},得n=(2,1,2)是平面α的一个法向量,点Q(6,10,-1)在平面α内,=(7,10,-2),所以点A(-1,0,1)到平面α的距离d===.故选C. 6.解:以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵AB=3,点M为线段A1B1上靠近A1的三等分点, ∴A1M=A1B1=AB=1, ∴A(0,0,0),C(3,3,0),M(1,0,3),C1(3,3,3),则=(1,0,3),=(3,3,3),=(3,3,0). 设平面AC1M的法向量为n=(x,y,z), ∴令z=1,则n=(-3,2,1), ∴点C到平面AC1M的距离d===. 7.A　[解析] 由题知=(1,2,3),∴两平面间的距离d===.故选A. 8.B　[解析] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E,F,所以=(-1,0,1),=(-1,1,0),=,=.设平面D1AC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,1,1).因为·n=-++0=0,所以⊥n,又EF⊄平面D1AC,所以EF∥平面D1AC,所以直线EF到平面D1AC的距离即为点E到平面D1AC的距离,点E到平面D1AC的距离d===,所以直线EF到平面D1AC的距离为.故选B. 9.A　[解析] 取AC的中点F,A1C1的中点E,连接EF,BF,B1E,则EF⊥平面ABC.因为AB=BC=,AC=2,所以BF⊥AC,且BF==3. 以F为坐标原点,以FC,FB,FE所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,3,1),G(0,1,3),所以=(2,0,0),=(1,3,1),=(0,-2,2).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则n·=2x=0,n·=x+3y+z=0,令y=1,得n=(0,1,-3),所以点G到平面ACD的距离d===.故选A. 10.C　[解析] 因为平面α的方程为2x-y+z=2,所以平面α的一个法向量为n=(2,-1,1),在平面α上任取一点A(1,1,1),则=(2,-1,0),所以点M到平面α的距离d===.故选C. 11.C　[解析] 以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),设A1(x,y,z)(z>0),则=(x,y,z),=(1,0,0),=(0,1,0),由·=x=1×1×cos 60°=,得x=,由·=y=1×1×cos 45°=,得y=,所以=.由||=1,得=1,可得z=,所以=.易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以点A1到平面ABCD的距离d===.故选C. 12.BC　[解析] 如图,以A为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O,所以=(-1,0,0),=.设∠ABE=θ,则cos θ==,得sin θ==,故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×=,故A错误.=,因为DA1⊥AD1,DA1⊥C1D1,AD1∩C1D1=D1,所以DA1⊥平面ABC1D1,所以平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2===,故B正确.=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则所以令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===,易知D1C∥A1B,又D1C⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,所以D1C∥平面A1BD,同理可得B1C∥平面A1BD,因为D1C∩B1C=C,所以平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.因为=++,所以=,又=(1,0,0),所以=,所以点P到直线AB的距离d===,故D错误.故选BC. 13.2　　[解析] 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z),由题意知四边形AEC1F为平行四边形,则=,∴(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2,∴F(0,0,2),∴=(-2,-4,2),∴||=2,即BF的长为2.设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,∵=(0,4,1),=(-2,0,2),∴取z=4,得n=(4,-1,4).∵=(0,0,3),∴点C到平面AEC1F的距离d===. 14.　[解析] 如图,以点A为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(3,3,0),D(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0,4). 所以=(1,-3,4),=(3,3,-6),=(3,0,0), 设n=(x,y,z)为直线PC和DG的公垂线的方向向量, 则取x=1,则n=(1,3,2), 所以异面直线PC和DG的距离为==. 15.解: (1)证明:连接MN,因为M,N分别为AC,AB的中点,所以MN∥BC,又AB⊥BC,所以MN⊥BA. 因为PM⊥AB,PM∩MN=M,PM,MN⊂平面PMN, 所以AB⊥平面PMN,又PN⊂平面PMN,所以AB⊥PN. (2)因为PB=3,BN=AB=1,AB⊥PN,所以PN=2, 又MN=1,所以PN2+NM2=PM2,故PN⊥MN, 结合(1)中AB⊥PN及AB⊥MN,以N为原点,NB,NM,NP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则N(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,0),C(1,2,0). 设平面PMB的法向量为m=(x,y,z),=(-1,1,0),=(0,1,-2), 则即取y=2,则m=(2,2,1). 假设存在满足题意的点G,设=λ=(λ,2λ,-2λ),其中0≤λ≤1, 故G到平面PMB的距离为=λ=, 故λ=,故=. 16.C　[解析] 如图,设平面α与棱B1C1交于点F,连接EF,FC,A1C1,AE,因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,平面ABCD∩平面α=AC,所以AC∥EF,又AC∥A1C1,所以EF∥A1C1,则EB1=FB1,所以A1E=C1F.当E与B1重合时,截面为△AB1C,此时=××1×1×1==,不合题意,同理,当E与A1重合时,也不合题意,所以点E在A1,B1之间,由正方体的性质易知几何体EFB1-ACB是三棱台.如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设EB1=a(0<a<1),则FB1=a,E(1,1-a,1),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),故=(0,a-1,-1),=(0,1,1),=(1,0,1).由题知=×1=,所以=,化简整理得4a2+4a-3=0,解得a=或a=-(不合题意),所以=.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z), 则令z=-1,则n=(1,1,-1),所以点E到平面AB1C的距离d===.故选C. 17.　[解析] 因为四边形ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,所以PA,AB,AD两两垂直, 以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,连接PE. 设BE=a(0<a<1),则E(2,a,0),F(1-a,2,0),P(0,0,), =(-a-1,2-a,0),=(2,a,-), 故点P到直线EF的距离d=== === 令t=2a2-2a+5=2+≥, 因为函数y=t++18在上单调递增, 所以当t=,即a=时,d取得最小值,即dmin==. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 考点一　点到直线的距离 1.[2026·广东广雅中学高二期中] 已知点A(1,0,0),B(1,0,2),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C.2 D.4 2.将△ABC放置在空间直角坐标系中,其位置及顶点坐标如图所示,则点A到直线BC的距离为 (　 ) A. 　　　　B. C. 　　　 　D. 3.[2026·浙江精诚联盟高二期中] 在四面体ABCD中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB,BC,CD的中点分别为L,M,N,则点M到直线LN的距离为　　　　.  考点二　点到平面的距离 4.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则该四棱锥的高为 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知点Q(6,10,-1),平面α={P|n·=0},其中n=(2,1,2),则点A(-1,0,1)到平面α的距离是 (　 ) A. B.2 C. D.3 6.[2026·安徽十校联盟高二联考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,点M为线段A1B1上靠近A1的三等分点,求点C到平面AC1M的距离. 考点三　直线到平面、平面到平面的距离 7.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量为 n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 (　 ) A. B. C. D.3 8.如图, 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,则直线EF到平面D1AC的距离为 (　 ) A. B. C. D. 9.[2026·河北保定十校高二期中] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=,AC=2,AA1=3,=3,G为△A1B1C1的重心,则点G到平面ACD的距离为 (　 ) A. B. C. D. 10.阅读材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.阅读上面材料,解决下面问题:已知平面α的方程为2x-y+z=2,点M(-1,2,1),则点M到平面α的距离为 (　 ) A. B. C. D. 11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=90°,∠A1AB=60°,∠A1AD=45°,则点A1到平面ABCD的距离为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 (　 ) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面ABC1D1的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 13.如图所示,多面体是由底面为四边形ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,则BF的长为　　　　,点C到平面AEC1F的距离为　　　　.  14.[教材P44习题1.4第14题变式] 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫作两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫作这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度,叫作这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=6,点G在侧棱PB上,且满足2PG=GB,则异面直线PC和DG的距离为　　　　　　.  15.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,M,N分别为AC,AB的中点,PM⊥AB,AB=BC=2,BP=PM=3. (1)证明:AB⊥PN. (2)在线段PC上是否存在点G,使得点G到平面PMB的距离是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,平面α过点A,C,且与棱A1B1交于点E,若平面α将该正方体分成体积之比为7∶17的两部分,则点E 到平面AB1C的距离为 (　 ) A. B. C. D. 17.[2026·河南焦作高二期中] 在如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=,AB=2,若E,F分别是棱BC,CD上的动点(均与端点不重合),且BE+DF=1,则点P到直线EF的距离的最小值为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $