1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量表示，通过“例题示范-基础巩固”分层设计，从单一概念到综合应用，强化数学抽象与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|向量表示的应用示范|结合直三棱柱、正方体模型，示范法向量求解与证明，培养空间观念| |基础夯实|方向向量、法向量的概念与计算|单选（5题）、多选（3题）、填空（3题）、解答（1题）梯度递进，从坐标计算到几何体中应用，落实运算能力|

1.4.1.1　空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，在直三棱柱中，，棱，分别为的中点． (1)求的长； (2)求证：是平面的一个法向量． 【详解】（1）在直三棱柱中，，，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，则，所以的长为. (2)由（1）可得：，，， 则，，可知，， 因为，、平面，则平面， 所以是平面的一个法向量. 【例2】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)(答案不唯一) 【分析】（1）由x轴垂直于平面，可得平面的一个法向量； （2）利用求解平面的法向量的方法进行求解. 【详解】（1）因为x轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为正方体的棱长为3，， 所以M，B，的坐标分别为，，， 因此，， 设是平面的法向量，则 ，， 所以， 取，则，．于是是平面的一个法向量． 【基础夯实】 一、单选题 1．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 2．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 3．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量的概念进行验证即可. 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 4．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 5．已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 6．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 二、多选题 7．如图，在正四面体中，为中点，为中点，则下面是平面的法向量的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正四面体的性质得到，，即可得到平面，从而得解. 【详解】因为在正四面体中，为中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 所以，，均是平面的法向量， 显然与不平行，所以不是平面的法向量. 故选：ABD 8．如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 9．在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量. 【详解】依题意，，，，，，， 所以，所以直线的一个方向向量为，故A正确； ，所以直线的一个方向向量为，故B正确； ，又平面，所以平面的一个法向量为，故C正确； 又，，因为，所以， 所以向量不是平面的法向量，故D错误； 故选：ABC 三、填空题 10．若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 11．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 12．在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1.1　空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，在直三棱柱中，，棱，分别为的中点． (1)求的长； (2)求证：是平面的一个法向量． 【例2】如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 【基础夯实】 一、单选题 1．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 3．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 6．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，在正四面体中，为中点，为中点，则下面是平面的法向量的为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 9．在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 三、填空题 10．若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 11．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 12．在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $