第1章 05 1.4 空间向量的应用 01 1.4.1 01 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.A　[解析] 由P(0,1,1),Q(2,3,5),得=(2,2,4)=2(1,1,2),所以直线l的一个方向向量的坐标为(1,1,2).故选A. 2.B　[解析] 由题可知O,E,则=,所以u=(-1,1,-1)为直线OE的一个方向向量.故选B. 3.BC　[解析] 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB∥C'D',所以棱C'D'所在直线的一个方向向量为(-2,1,3).对于B,(2,-1,-3)=-(-2,1,3),满足题意;对于C,(-4,2,6)=2(-2,1,3),满足题意;A,D均不满足题意.故选BC. 4.A　[解析] 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即即只有A选项满足上述条件.故选A. 5.B　[解析] 若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则能作为平面γ的法向量的向量一定与a共线,由(3,6,9)=3(1,2,3),可得(3,6,9)能作为平面γ的一个法向量.故选B. 6.A　[解析] 因为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,a),所以=(-1,1,0),=(-1,0,a).当a=1时,=(-1,1,0),=(-1,0,1),n=(1,1,1),则·n=(-1)×1+1×1+0×1=0,·n=(-1)×1+0×1+1×1=0,所以n=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量,充分性成立;当n=(1,1,a)是平面ABC的一个法向量时, 解得a=±1,必要性不成立.所以“a=1”是“n=(1,1,a)为平面ABC的一个法向量”的充分不必要条件.故选A. 7.2　[解析] 连接MP,则=(a-1,4,1).因为平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),所以n⊥,则n·=6(a-1)-3×4+6=0,解得a=2. 8.4　[解析] 依题意得e⊥n1,e⊥n2,则e·n1=λ-2=0,e·n2=-μ-2=0,解得λ=2,μ=-2,所以λ-μ=4. 9.解:(1)设正方体的棱长为a(a>0),则A(a,0,0),C1(0,a,a), ∴=(-a,a,a)=a(-1,1,1),故直线AC1的一个方向向量为(-1,1,1). (2)A(a,0,0),C(0,a,0),B1(a,a,a),∴=(-a,a,0),=(0,a,a),设平面ACB1的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=1,则x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1),∴平面ACB1的一个法向量为(1,1,-1). 10.A　[解析] 设点B的坐标为 (x,y,z),则=λa(λ>0),即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),因为||=34,所以=34,得λ=2,所以x=18,y=17,z=-17,即点B的坐标为(18,17,-17).故选A. 11.B　[解析] 设AM=x(0≤x≤3),则A1(4,0,2),M(4,x,0),所以=(0,x,-2),因为平面MCA1的一个法向量为n=(1,2,1),所以n·=0,即2x-2=0,解得x=1,所以AM=1,MB=3-1=2,所以=.故选B. 12.D　[解析] 因为点Q在直线OP上运动,所以∥,设=t=(2t,t,t),t∈R,所以Q(2t,t,t).因为=(3,2,1),=(1,2,2),所以A(3,2,1),B(1,2,2),因此=(3-2t,2-t,1-t),=(1-2t,2-t,2-t),则·=(3-2t)(1-2t)+(2-t)(2-t)+(1-t)(2-t)=6t2-15t+9=6-,当t=时,(·)min=-,此时点Q,所以当·取得最小值时,点Q的坐标为.故选D. 13.BCD　[解析] 对于A,=(2,2-x,0),=(-1,3-x,1),若⊥,则-2+(2-x)(3-x)=0,解得x=4或x=1,故A错误;对于B,假设A,B,C三点共线,则=λ,即(2,2-x,0)=λ(-1,3-x,1),即方程组无解,故对任意实数x,A,B,C三点都不共线,故B正确;对于C,当x=1时,=(2,1,0),=(-3,1,1),所以|cos<,>|===,故C正确;对于D,当x=1时,=(2,1,0),=(-1,2,1),因为m·=-1-4+5=0,m·=2-2+0=0,所以m=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,故D正确.故选BCD. 14.∉　 ∈　[解析] 由题知=(1,0,1),因为·n=3+2=5≠0,所以与n不垂直,因此P∉α.由题知=,因为·n=3-4+1=0,所以⊥n,因此Q∈α. 15.解:(答案不唯一,根据建系的不同得到的答案不同)取BC的中点O,连接OD, 以O为坐标原点,OD,OC所在直线分别为x,y轴,作Oz⊥平面BCD,建立如图所示的空间直角坐标系,则B,C,D. 设点A在平面BCD上的射影为点H,则点H是线段OD上靠近点O的三等分点,因为OD=,所以OH=OD=,DH=OD=, 所以AH===, 所以A.因为=,=,=,=(0,a,0),=,=,所以棱AB所在直线的一个方向向量为(1,,2),棱AC所在直线的一个方向向量为(1,-,2),棱AD所在直线的一个方向向量为(-1,0,),棱BC所在直线的一个方向向量为(0,1,0),棱BD所在直线的一个方向向量为(,1,0),棱CD所在直线的一个方向向量为(,-1,0). 16.A　[解析] 由题可得平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的一个法向量分别为m1=(1,-2,0),m2=(2,0,-1),设直线l的方向向量为n0=(x,y,z),则 取x=2,得n0=(2,1,4).故选A. 17.ABD　[解析] 设空间一点的坐标为(x,y,z),方程z=0,说明点在坐标平面Oxy上,故A正确;x2+y2+z2=1可化为 =1,表示以坐标原点为球心,1为半径的球面,故B正确;方程x2+y2=1可化为=1,表示以z轴为轴,1为半径的圆柱面,故C不正确;由方程x2+y2=0可得x=y=0,所以方程x2+y2=0表示z轴,故D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 考点一　直线的方向向量 1.若P(0,1,1),Q(2,3,5)在直线l上,则直线l的一个方向向量的坐标为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,1,2) B.(1,2,1) C.(1,2,2) D.(2,2,2) 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形A1ABB1的中心,E为BC的中点.以D为原点,以{,,}为空间的一个单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则直线OE的一个方向向量为u= (　 ) A.(-1,1,1) B.(-1,1,-1) C.(-1,2,1) D.(-1,2,-1) 3.(多选题)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若棱AB所在直线的一个方向向量为(-2,1,3),则棱C'D'所在直线的一个方向向量可能为(　 ) A.(2,1,3) B.(2,-1,-3) C.(-4,2,6) D.(4,-2,6) 考点二　平面的法向量 4.已知向量=(-1,1,1),=(1,-1,0),则平面ABC的一个法向量为n= (　 ) A.(1,1,0) B.(1,-1,0) C.(1,1,2) D.(-1,1,2) 5.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的一个法向量的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(-1,-2,3) D.(3,6,8) 6.[2026·北师大附属实验高二期中] 在空间直角坐标系中,已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,a),则“a=1”是“n=(1,1,a)为平面ABC的一个法向量”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),点P(a,3,3)在平面α内,则a=　　　　.  8.已知平面α∩平面β=l,若α,β的一个法向量分别为n1=(1,0,1),n2=(0,-1,1),直线l的一个方向向量为e=(λ,μ,-2),则λ-μ=　　　　.  9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线AC1的一个方向向量; (2)求平面ACB1的一个法向量. 10.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段AB,且||=34,则点B的坐标为(　 ) A.(18,17,-17) B.(-14,-19,17) C. D. 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,CC1=2,M在棱AB上.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n=(1,2,1),则= (　 ) A. B. C. D.1 12.[2026·浙江舟山五校联盟高二月考] 在空间直角坐标系Oxyz中,已知=(3,2,1),=(1,2,2),=(2,1,1),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)已知空间三点A(0,x,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的有 (　 ) A.存在唯一的实数x,使得⊥ B.对任意实数x,A,B,C三点都不共线 C.当x=1时,AB与BC所成角的余弦值是 D.当x=1时,m=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量 14.已知平面α的一个法向量为n=(3,1,2),P(1,-1,1),Q,点A(2,-1,2)为平面α内的一点,则P　　　　α,Q　　　　α.(填“∈”或“∉”)  15.如图所示,已知正四面体ABCD的棱长为a,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的一个方向向量. 16.阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面问题:若直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则直线l的一个方向向量为 (　 ) A.(2,1,4) B.(1,3,5) C.(1,-2,0) D.(2,0,-1) 17.(多选题)在空间直角坐标系中,下列说法正确的是 (　 ) A.方程z=0 表示坐标平面Oxy B.方程x2+y2+z2=1 表示以坐标原点为球心,1为半径的球面 C.方程x2+y2=1 表示以坐标原点为圆心,1为半径的圆 D.方程x2+y2=0 表示z轴 学科网（北京）股份有限公司 $