1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量表示的基础巩固与能力进阶，分层设计覆盖概念辨析、坐标运算到几何体综合应用，适配新授课知识内化与空间观念、推理能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量/方向向量概念、坐标直接计算|如第1题辨析坐标平面法向量，第7题方向向量平行求参数，强化概念理解| |中档|平面法向量求解、几何体中向量表示|如第3题求平面ABC法向量，第9题用基底表示方向向量，培养运算能力| |提升|几何体综合应用、开放探究|如第14题四棱锥中法向量位置判断，第16题翻折问题法向量求解，发展应用意识与创新思维|

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.n=(0,0,1) B.n=(0,1,0) C.n=(1,0,0) D.n=(1,1,1) 2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b= (　 ) A.0 B.1 C. D.3 3.已知点A(1,2,-1),B(2,1,-1),C(-1,2,0),则平面ABC的一个法向量是 (　 ) A.(1,1,2) B.(1,-1,2) C.(2,1,1) D.(1,2,1) 4.[2025·泰安高二期中] 已知点P(1,2,3)沿着向量v=(-1,2,2)的方向移动到点Q,且||=6,则点Q的坐标为 (　 ) A.(0,0,-1) B.(3,-2,-1) C.(-1,6,7) D.(-2,4,4) 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 (　 ) A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 6.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,下列结论正确的是 (　 ) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 7.已知=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则m=　　　　.  8.如图,放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体A-BCD中,H是底面中心. (1)直线BC的一个方向向量为　　　　　　;  (2)直线OD的一个方向向量为　　　　　　;  (3)平面BHD的一个法向量为　　　　　　.  9.(13分)如图所示,在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线OG和GH的一个方向向量. 10.[2025·泉州高二期中] 在空间直角坐标系中,已知A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),则下列点中在平面ABC内的为 (　 ) A. B.(2,0,2) C.(1,2,0) D.(2,2,2) 11.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.设=a,=b,=c,则平面A1BD的一个法向量为 (　 ) A.6a+6b-c B.2a+3b+c C.2a+3b-c D.a+b-c 12.(多选题)已知空间中的三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法错误的是 (　 ) A.不是直线AB的一个方向向量 B.直线AB 的一个单位方向向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5) 13.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　　　　.  14.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为棱PC的中点,点F在棱PB上,问当点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量? 15.[2026·成都高二期中] 阅读下面材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为==.根据上述材料,解决下面问题:直线l是两个平面x-2y+2=0与2x-z+1=0的交线,则l的一个方向向量是 (　 ) A.(2,1,4) B.(1,3,5) C.(1,-2,0) D.(2,0,-1) 16.(15分)在四边形ABDC中(如图①),∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,BC=CD,E,F分别是边BD,CD上的点,将△ABC沿BC翻折,将△DEF沿EF翻折,使得点D与点A重合(记为点P),且平面PBC⊥平面BCFE(如图②). (1)求证:CF⊥PB; (2)设O为BC的中点,以{,,}为空间的一个基底,求平面PEF的一个法向量. 1 ② 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.C　[解析] y轴的一个方向向量j=(0,1,0),z轴的一个方向向量k=(0,0,1),设坐标平面Oyz的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,0,0),故选C. 2.D　[解析] 因为直线l过A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,所以=(-1,2-a,b-3),又直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),所以∥m,所以=λm,所以(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),所以解得所以a+b=3.故选D. 3.A　[解析] 由已知得=(1,-1,0),=(-2,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,z=2,所以平面ABC的一个法向量为(1,1,2).故选A. 4.C　[解析] 设Q(x,y,z),=λv(λ>0),则(x-1,y-2,z-3)=λ(-1,2,2)=(-λ,2λ,2λ),由||=6得=6,解得λ=2或λ=-2(舍去),∴(x-1,y-2,z-3)=(-2,4,4),∴x-1=-2,y-2=4,z-3=4,∴x=-1,y=6,z=7,即Q(-1,6,7).故选C. 5.B　[解析] 设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),∴=(0,2,1),=(-1,0,2),设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则 取y=1,得z=-2,x=-4,则n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量,故所求向量与n=(-4,1,-2)共线,结合选项可知,A,C,D中向量均不与n=(-4,1,-2)共线.故选B. 6.ABC　[解析] 依题意得A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),C1(1,1,1),B(1,0,0),C(1,1,0),所以=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),故A正确;=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),故B正确;因为=(0,1,0),且易知AD⊥平面ABB1A1,所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0),故C正确;设m=(1,1,1),因为=(1,0,0),所以·m=1≠0,所以向量m=(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量,故D错误.故选ABC. 7.-1　[解析] 根据题意,=(m,-2,1),若直线AB的一个方向向量为(1,2,-1),则=λ(1,2,-1),即(m,-2,1)=λ(1,2,-1)=(λ,2λ,-λ),则解得m=-1. 8.(1)(-1,,0)(答案不唯一)　(2)(答案不唯一)　(3)(1,,0)(答案不唯一)　[解析] 由题意可得OA=OB=1,OC=×2=,OH=OC=,DH===.由题图,可得O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),H,D. (1)直线BC的一个方向向量为=(-1,,0). (2)直线OD的一个方向向量为=. (3)=,=.设n=(x,y,z)为平面BHD的法向量,则不妨设x=1,则n=(1,,0),故平面BHD的一个法向量为(1,,0). 9.解:取BC的中点D,连接AD,OD,因为=+=+=+(-)=+×(+)-=(++)=(a+b+c),所以直线OG的一个方向向量为(a+b+c). 因为=-=-=×(+)-=(b+c)-(a+b+c)=-a,所以直线GH的一个方向向量为-a. 10.A　[解析] 由题意可得=(-2,2,0),=(-2,0,2),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,1,1).设P,则=,所以n·=-×1+×1+1×1=0,所以点在平面ABC内,故A正确;设Q(2,0,2),则=(0,0,2),所以n·=2,所以点(2,0,2)不在平面ABC内,故B错误;设R(1,2,0),则=(-1,2,0),所以n·=1,所以点(1,2,0)不在平面ABC内,故C错误;设T(2,2,2),则=(0,2,2),所以n·=4,所以点(2,2,2)不在平面ABC内,故D错误.故选A. 11.A　[解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,令AB=2,则a·b=2×2cos 60°=2,a·c=b·c=2×4cos 60°=4.设平面A1BD的法向量为n=xa+yb+zc,而=a-b,=a-c,则 整理得令z=-1,得n=6a+6b-c,所以平面A1BD的一个法向量为6a+6b-c.故选A. 12.BC　[解析] 对于A ,=(2,1,0),=(-1,2,1),所以不存在实数λ,使得=λ,则不是直线AB的一个方向向量,所以A中说法正确;对于B,因为=(2,1,0),||=,所以直线AB的单位方向向量是=或-=,所以B中说法错误;对于C,向量=(2,1,0),=(-3,1,1),所以cos<,>===-,所以C中说法错误;对于D,=(2,1,0),=(-1,2,1),设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),所以 则令x=1,可得n=(1,-2,5),所以D中说法正确.故选BC. 13.x-y+2z+1=0　[解析] 连接AP,由题意可知=(x,y-3,z-1),∵平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),∴·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即x-y+3+2z-2=0,即x-y+2z+1=0,故所求点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0. 14.解:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), ∴=(2,2,-2),=(0,1,1), ∵·=2×0+2×1+(-2)×1=0, ∴⊥,∴PB⊥DE. 设F(x,y,z),=λ(0≤λ≤1), 则(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),∴∴F(2λ,2λ,2-2λ),∴=(2λ,2λ,2-2λ). 由题意可知,要使为平面DEF的一个法向量,则需·=0,即4λ+4λ-2(2-2λ)=0,解得λ=, 故当点F为棱PB上靠近点P的三等分点时,为平面DEF的一个法向量. 15.A　[解析] 由题可得平面x-2y+2=0的一个法向量为m1=(1,-2,0),平面2x-z+1=0的一个法向量为m2=(2,0,-1).设直线l的方向向量为n0=(x,y,z),则故z=2x=4y,结合选项可取x=2,可得n0=(2,1,4)满足题意,故选A. 16.解:(1)证明:∵平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,CF⊂平面BCFE,且CF⊥BC, ∴CF⊥平面PBC,又PB⊂平面PBC,∴CF⊥PB. (2)∵PB=PC,O为BC的中点,∴PO⊥BC,又平面PBC∩平面BCFE=BC,平面PBC⊥平面BCFE,PO⊂平面PBC, ∴PO⊥平面BCFE. 以C为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=2,则P(1,0,1),C(0,0,0),D(0,2,0),设F(0,t,0)(0<t<2), 由||=||,得=2-t,解得t=,∴F.设E(m,2-m,0)(0<m<2),由||=||,得=,解得m=1, ∴E(1,1,0),则=,=(0,-1,1). 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=2,得n=(-1,2,2),故平面PEF的一个法向量为n=(-1,2,2),即平面PEF的一个法向量为-++2. 学科网（北京）股份有限公司 $