第3章 03 3.3 抛物线 （能力提升）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

3.3　抛物线

知识易错易混

【知识导图】

【易错易混1】 求标准方程中符号出错

例1 准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 (　 )

A.x2=4y　　　　　　B.x2=-4y　　　　　　C.x2=8y　　　　　　D.x2=-8y

[答案] D

[解析] 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由其准线方程为y=2,得=2,则p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y.

【易错易混2】 忽视抛物线的焦点位置

例2 已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为　　　　.  

[答案] y2=8x或x2=y

[解析] 设抛物线的方程为y2=kx(k≠0)或x2=my(m≠0),将点P(2,4)的坐标代入,可得k=8,m=1,故所求抛物线的方程为y2=8x或x2=y.

【易错易混3】 忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形

例3 若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有　　　　条.  　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

[答案] 3

[解析] 当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则当k=0时,直线l的方程为y=2,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点;当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为y=kx+2,代入抛物线的方程可得k2x2+(4k-2)x+4=0,由Δ=(4k-2)2-4k2·4=0,得k=,故切线方程为y=x+2.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点.综上,满足题意的直线l共有3条.

解题方法拓展

【方法解读1】 利用抛物线定义求轨迹(方程)

例4 若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是　　　　.  

[答案] x2=12y

[解析] ∵点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,∴点P到直线y=-3的距离与它到点(0, 3)的距离相等,∴点P的轨迹是以(0,3)为焦点,直线l: y=-3为准

线的抛物线.设点P的轨迹方程为x2=2py(p>0),则p=3,解得p=6,∴点P的轨迹方程为x2=12y.

【方法解读2】 根据抛物线定义进行到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,进而求最大(小)值

例5 已知直线l1:3x-4y-6=0和直线l2:y=-2,则抛物线x2=4y上一动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是              (　 )

A.2　　　　　　　　B.3　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.

[答案] B

[解析] 由题意可得,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1.设动点P到直线l,l1,l2的距离分别为d,d1,d2.由题知点F到直线l1的距离d3==2,因为d2=d+1=|PF|+1,所以d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,当且仅当点P在过点F且与直线l1垂直的直线上并且P在F与l1之间时,等号成立,所以动点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.

【方法解读3】 直线与抛物线的位置关系

设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.

(1)若k≠0,则有

(2)若k=0,则直线与抛物线有一个交点,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.

例6 已知抛物线C:y2=-2x,直线l过点P(1,1)且斜率为k,当k取何值时,直线l与抛物线C有一个公共点?有两个公共点?无公共点?

解:由题知直线l的方程为y-1=k(x-1).由消去x整理得ky2+2y+2k-2=0.