第3章 圆锥曲线的方程章末复习与总结-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

●121 )》跟踪训练3 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点，过F的直线1与C相交于A,B两点. (1)设1的斜率为1，求IAB1; (2)求证：0A·0B是一个定值 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[34] 章末复习与总结 知识体系构建 抛物找 范围 顶点 对称性 离心奉 渐进线（双曲线） 用平面截國链 三种圆锥曲线 坐标法 三种圆锥曲线 三种圆锥曲线 三种圆锥曲线 双曲线 的定义 的标准方程 的几何性质 的应用 邦贿圆 122 核心考点培优 考点一 圆锥曲线定义的应用 [方法总结1] 圆锥曲线“定义法” 例 ①少双曲线31(0>0，b>0)的右焦点合好是抛物线y为 解题的三个应用 (1)在求轨迹方程时， (p>0)的焦点F,双曲线与抛物线在第一象限交于点A(2,m),若 若所求轨迹符合某种 圆锥曲线的定义，则 1AF1=5,则双曲线的标准方程为 () 根据圆锥曲线的定 B. 8y2=1 义，写出所求的轨迹 方程. 36=1 DW-gl (2)涉及椭圆、双曲 线上的点与两个焦点 构成的三角形问题 ②已知椭圆C+1,M,N是坐标平面内的两点，且M与C的 时，常用定义结合解 三角形的知识来 焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MW 解决 (3)抛物线的最值问 的中点在C上，则IANI+IBNI= ( 题，常利用定义把到 A.4 B.8 焦点的距离转化为到 准线的距离，结合几 C.12 D.16 ●[方法总结1] 何图形，利用几何意 义去解决 考点二 圆锥曲线的标准方程 在应用“定义法”解 例 已知椭圆与双圃线-=1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等 题时要注意圆锥曲线 定义中的限制条件 [方法总结2] 兮，则此椭圆的方程为 求圆锥曲线方程的 步骤 A. (1)定形：指的是圆锥 9+25=1 B. 91 25+ 曲线的焦点位置与对 若r D.+r 称轴的位置. (2)定式：根据“形” 设方程的形式，如当 P[方法总结2] 椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时，可 考点三 圆锥曲线的几何性质 设方程为mx2+2= 1(m>0,n>0). 例 自0)若椭为 +=1(a>6>0)的离心率为5 ,则双曲线、y a26=1 (3)定量：由题设中的 条件找到“式”中待 的渐近线方程为 定系数的等量关系， 通过解方程得到量的 1 A.y=±2x B.y=±2x 大小 [方法总结3] 1 C.y=±4x D.y=±4 涉及圆锥曲线几何性 质的问题，可画出曲 (2)设M(xo,yo)为抛物线C:x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以 线的大致图形，观察 点、线和图形之间的 F为圆心、IFMI为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y。的取值 关系，使问题更形 象、直观，便于建立 范围是 >[方法总结3] 相等关系或不等关 ●123 考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 例4已知稀圆三+=1(a>b>0)经过点0，万)，离心率为)，左，右焦 2、 b2 点分别为F(-c,0),F2(c,0) (1)求椭圆的方程； (2)若直线1：y=-2+m与椭圆交于A,B两点，与以FB,为直径的 肉交于C,D丙点，且满足-5百求直线1的方程 [方法总结4] P[方法总结4] 将直线的方程与圆锥 曲线方程联立成方程 组，消元转化为关于 x或y的方程. (1)若方程为一元二 次方程，其判别式 为△. 0△>0一直线和圆锥 曲线相交一直线和圆 锥曲线有两个交点 (或两个公共点)； @△=0曰直线和圆锥 曲线相切台直线和圆 锥曲线有一个切点 (或一个公共点)； ③△<0曰直线和圆锥 曲线相离台直线和圆 锥曲线无公共点。 (2)若方程为一元一 次方程（与双曲线或 抛物线方程联立时可 能出现)，则直线和 圆锥曲线（双曲线或 抛物线）有一个交 点，但不相切」 124 考点五圆锥曲线的综合应用 [方法总结5] 例5已知动园过定点4(0,3》，且在x轴上藏得的弦长为6， 圆锥曲线的综合问题 (1)求动圆圆心M的轨迹方程； 包括位置关系的证明 (2)设不与x轴垂直的直线1与点M的轨迹交于不同的两点P(x, 及定点、定值、最 y),Q().若！+1=4，求证：直线1过定点 值、探束性问题，解 决的基本思路是利用 代数法，通过直线与 D[方法总结5] 圆锥曲线的方程求 解 素养等级测评 请同学们认真完成考案（三）（四）故存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点，两个定点 的坐标分别为(-1,0)和(3,0). 跟踪训练3：【解析】(1)因为由题意可知抛物线的焦点F为 (1,0),准线方程为x=-1, 所以直线1的方程为y=x-1. 设A(),B),由-l得-6e+1=0. 1y2=4x, 所以x1+2=6,由直线l过焦点， IABI =IAFI IBFI =x++2=8. (2)证明：设直线1的方程为本=+1，由厂=+山得y ly=4x, 4hy-4=0, 所以y1+为=4k,yy2=-4,0A=(x1y1),02=(x232), 因为O.02=x3+yy2=(y+1)·(k2+1)+y2= y2+k(y1+2）+1+yy2=-42+42+1-4=-3, 所以0.0是一个定值 章末复习与总结 核心考点培优 例1：(1)D(2)B(1)由抛物线的定义可得1AF1=2+?=5, 可得p=6,故抛物线的方程为y2=12x,将点A的坐标代入抛 物线方程可得m2=24,因为m>0,解得m=26,抛物线2= 12x的焦点为F(3,0),故双曲线的左焦点为F'(-3,0),则 IAF1=(2+3)2+(26)2=7,所以2a=1AF'1-IAF1= 2,所以a=1,则b=√32-1严=2√2，因此双曲线的标准方程 为2苦=1 (2)设MN的中点为D,椭圆C 的左、右焦点分别为F,F2,如 图，连接DF,DF2,因为F,是 D MA的中点，D是MW的中点，所 以F,D是△MAN的中位线，则 IDF,1=21AN1.同理DF,1= 之BM,所以AM+1B1=2(1DF,1+1DF,).因为D在椭 圆上，所以根据椭圆的定义知IDF,I+IDF,I=4,所以IANI+ 1BW1=8. 例2：A因为双曲线的焦点为(0，-4)，(0,4)，离心率为=2 4 8 5 2,所以椭圆的离心率巴=弓=号设椭圆的标准方程为之 +2=1(a>b>0),则 c=4, 解得∫a=5, 所以椭圆的 b=3. La2=b2+c2」 方程为+号=1 阅：(A(2(2,+）（)由椭圆的离心率e=享，可知 “学-子，所以名合故双自线的新所线方程为 1 y=±2x 23 (2)因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y= -2.由抛物线的定义知IFM1=y。+2.以F为圆心、IFM1为半 径的圆的标准方程为2+(y-2)2=(+2)2.由于以F为圆 心、IFM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为 4,故4<y%+2,所以y0>2. b=5, ra=2, 例4：【解析】(1)由题设知 解得b=5, b2=a2-c2, lc=1, “餐圆的方程为号+兮-1 (2)由(1)知，以F,F2为直径的圆的方程为x2+y2=1, ∴圆心到直线1的距离d=21ml 5 由d<1得m<号0 1c01-2-d=2-专m=后5-4m 设A(x1y1),B(x2y）, =-2x+m 由 得x2-mx+m2-3=0, △=m2-4(m2-3)=12-3m2>0.② 由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3. .'IABI √1+(-)]r-4m-3)万 2 √4-m2 4-m2=1, 2,得√5-4m 解得m=±了，经检验满足①2 1.3 1 3 ·直线1的方程为y=-2x+号或y=-2x-3 例5：【解析】（1)设动圆圆心为M(x,y),IMA1 =+(y-3)7, 到x轴距离为Iy川，在x轴上截得的半弦长为3， 则x2+(y-3)2=1y12+32,化简得x2=6y, 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2=6y (2)证明：易知直线1的斜率存在，设l:y=kx+b, 则由三6，得x2-6x-66=0, ly=hx+b, 4=(-6k)2-4×(-6b)=12(3k+2b)>0, 由根与系数的关系有x1+2=6k,1x2=-6b. 从而1+1=4曰1+=4x2, 即6k=-246,则6=-， 则直线y=-子=(-）， 故直线过定点（行，0） 6