第3章 06 专项突破练六 抛物线焦点弦有关性质 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

专项突破练六　抛物线焦点弦有关性质 1.B　[解析] 由抛物线y2=ax(a>0)可得其焦点坐标为.当x=时,y2=,所以|y|=,又因为过抛物线y2=ax的焦点且垂直于x轴的弦的长为2,所以2×=2,所以a=2.故选B. 2.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C的横坐标为x0,则x0=.因为AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,所以|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,所以x1+x2=3,所以x0==.故选B. 3.A　[解析] 抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,则抛物线的焦点F的坐标为,直线AB的斜率k=tan 120°=-,则直线AB的方程为y-=-x. 方法一:将直线方程代入抛物线方程得2x2+x-=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=·=2×=2. 方法二:将直线方程代入抛物线方程得4y2-7y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.因为直线AB过焦点F,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=+=2. 4.A　[解析] 由点A(3,2)在抛物线y2=2px上,得12=2p×3,解得p=2,所以F(1,0),所以|AF|==4.过点A作l的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|AH|=|AF|=4.设l与x轴交于点G,则|FG|=2,所以|AH|=2|FG|,又AH∥FG,所以F为AB的中点,所以|AF|=|BF|,所以=1.故选A. 5.B　[解析] 方法一:由题可得F,设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-my-=0,所以y1+y2=m,y1y2=-.因为|AF|=2|BF|,所以=2,即=2,所以-y1=2y2,所以y1=2m,y2=-m,所以-2m2=-,所以m2=,所以x1+x2=my1++my2+=m(y1+y2)+=m2+=,所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+=+=.故选B. 方法二:抛物线y2=x的焦点为F,准线为x=-. 取AF的中点C,分别过A,C,F,B作准线的垂线,垂足分别为M,Q,P,N.由抛物线的定义可知,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,则|AM|=2|BN|.设|BN|=a,则|AM|=2a,|AC|=|CF|=|BF|=a,又|PF|=,|BN|+|CQ|=2|PF|,所以|CQ|=1-a,又|PF|+|AM|=2|CQ|,即+2a=2(1-a),所以a=,所以|AB|=3a=3×=.故选B. 6.A　[解析] 由抛物线 C:y2=12x,可得F(3,0),准线方程为x=-3.作PP1垂直于准线,垂足为P1, 设过点F(3,0)的直线方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2).由得y2-12my-36=0,则y1+y2=12m,所以x1+x2=m(y1+y2)+6=12m2+6,所以Q(6m2+3,6m).由抛物线的定义可知|PF|+|PQ|=|PP1|+|PQ|≥|P1Q|,当P,P1,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值,最小值为6,此时m=0,即动直线垂直于x轴时,|PF|+|PQ|取得最小值6.故选A. 7.BCD　[解析] 设抛物线方程为y2=2px,焦点为,过焦点的直线与抛物线有两个交点,所以直线斜率不为0,设直线方程为x=my+.由得y2-2pmy-p2=0,则所以x1x2==m2y1y2+(y1+y2)+,因为p=3,所以x1x2==,y1y2=-p2=-9,故A错误,B正确;因为kOA=,kOB=,所以kOA·kOB===-4,故C正确;因为=(x1,y1),=(x2,y2),所以·=x1x2+y1y2=-9=-,故D正确.故选BCD. 8.ABD　[解析] 对于A,直线y=(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),所以=1,则p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,故A正确;对于B, 由消去y得3x2-10x+3=0,即(3x-1)(x-3)=0,解得x1=,x2=3,所以|MN|=x1++x2+=+3+2=,故B正确; 对于C,当x1=时,y1=(x1-1)==-,当x2=3时,y2=2,不妨设M(3,2),N,所以|OM|==,|ON|== ,又|MN|=,所以△OMN不是等腰三角形,故C错误;对于D,设MN的中点为A,点M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,所以点A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以MN为直径的圆与l相切,故D正确.故选ABD. 9.　[解析] 方法一:由抛物线的几何性质可知,|MN|=·|AB|·sin α==. 方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,则|OM|=|y1|,|ON|=|y2|,直线AB的方程为y=(x-1).由得3y2-4y-12=0,则y1+y2=,y1y2=-4,所以|MN|=|y1-y2|=×=. 10.0　[解析] 方法一(特值法):不妨取l的倾斜角α=,易得λ1+λ2=0. 方法二:如图,易知λ1<0,λ2>0.结合抛物线的定义, 由=λ2,得cos α==,由=λ1,得|MA|=-λ1|AF|,则(1+λ2)|BF|+|AF|=-λ1|AF|,即=-,又=,所以-==,化简得λ1+λ2=0. 11.(2,+∞)　[解析] 设直线AB的倾斜角为θ,则θ∈∪.由抛物线的性质,可得|AF|=,|BF|=,|AB|=,所以|MF|=|AF|-|AM|=-=,则|MN|=|MF|·tan θ=·=,因为θ∈∪,所以|MN|==∈(2,+∞),所以线段MN的长度的取值范围为(2,+∞). 12.解:(1)设抛物线C的方程为y2=2px,因为抛物线经过点(5,-2),所以10p=20,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x. (2)方法一:由(1)知,抛物线C的焦点为(1,0),则直线AB的方程为y=(x-1),代入抛物线方程,消去y,得3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,所以xA+xB=,xAxB=1,所以|AB|=·=2×=. 方法二:由(1)知,抛物线C的焦点为(1,0),则直线AB的方程为y=(x-1),代入抛物线方程,消去y,得3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,所以xA+xB=,所以|AB|=xA+xB+p=+2=. 方法三:因为直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为60°,又p=2,所以|AB|== . 13.解:(1)抛物线E:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0).当k=1时,直线l的方程为y=x-1.由消去y得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1.设M(x0,y0),则x0===3,y0=x0-1=3-1=2,所以中点M的坐标为(3,2),|AB|=x1+x2+2=8. 综上可得,|AB|=8,点M的坐标为(3,2). (2)由题得直线l的方程为y=k(x-1),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x3,y3),B(x4,y4), 则x3+x4=,x3x4=1.由x3y4+x4y3=2kx3x4-k(x3+x4)=-,得k1+k2=+==-=1,解得k=-4,所以直线l的方程为y=-4x+4. 14.解:(1)设动圆圆心为C(x,y),半径为R,则R2=y2+=|PC|2,即y2+1=x2+(y-1)2,整理得x2=2y,故曲线E的方程为x2=2y. (2)设M,N. (i)由(1)可知F为E的焦点,由题可知l的方程为y=kx+.由得x2-2kx-1=0,则x1+x2=2k,x1x2=-1,所以|MN|=y1+y2+1=k(x1+x2)+2=2(k2+1).由|MN|≥4,得2(k2+1)≥4,解得k≥1或k≤-1,故k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (ii)设点M处的切线方程为y=k1(x-x1)+,由得x2-2k1x+2k1x1-=0,令Δ=4-4(2k1x1-)=0,可得k1=x1,所以点M处的切线方程为y=x1x-.同理,点N处的切线方程为y=x2x-.由解得所以Q,所以点Q到直线l的距离d==,所以S△MNQ=|MN|·d=×2(k2+1)×==3,解得k=±,所以直线l的方程为2x-2y+1=0或2x+2y-1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练六　抛物线焦点弦有关性质 【类型综述】 抛物线的焦点弦性质 已知A(x1,y1),B(x2,y2),若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,焦点F,准线l:x=-,M是AB的中点,作AC⊥l,BD⊥l,MN⊥l,垂足分别为C,D,N,则有以下结论: (1)x1x2=, y1y2=-p2. (2)焦半径公式:①(坐标形式) |AF|=x1+,|BF|=x2+;②(角度形式)|AF|=,|BF|=(θ为直线AB的倾斜角). (3)焦点弦长公式:①(坐标形式)|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2=p,当x1=x2时,焦点弦取得最小值2p,即所有焦点弦中通径最短,其长度为2p;②(角度形式)|AB|=(α为直线AB与对称轴的夹角). (4)+= (定值). (5)|MN|=,以AB为直径的圆与准线相切. (6)A,O,D三点在一条直线上. (7)△AOB的面积公式: S△AOB=|y1-y2|=(α为直线AB与对称轴的夹角). (8)三个垂直:FN⊥AB,FC⊥FD,AN⊥BN. (9)四个相切圆: ①以AB为直径的圆与准线相切; ②以CD为直径的圆与AB相切; ③以BF为直径的圆与y轴相切; ④以AF为直径的圆与y轴相切. 【针对训练】 1.过抛物线y2=ax(a>0)的焦点且垂直于x轴的弦的长为2,则a的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.8 2. 已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB的中点C的横坐标是 (　 ) A.2 B. C. D. 3.过抛物线y=2x2的焦点F作倾斜角为120°的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|= (　 ) A.2 B. C. D. 1 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A(3,2)在抛物线C上,直线AF与l交于点B,则= (　 ) A.1 B. C. D.2 5.设抛物线y2=x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,已知|AF|=2|BF|,则|AB|= (　 ) A. B. C. D. 3 6.[2026·重庆七校高二期中] 已知过抛物线 C:y2=12x 的焦点 F 的动直线交抛物线 C 于 A,B 两点,Q 为线段 AB 的中点,P 为抛物线 C上任意一点,则 |PF|+|PQ| 的最小值为 (　 ) A.6 B.3 C.12 D.9 7.(多选题)过抛物线y2=6x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,O为坐标原点,则(　 ) A.x1x2=18 B.y1y2=-9 C.直线OA,OB的斜率满足kOA·kOB=-4 D.·=- 8.(多选题)[2026·河南洛阳一中高二月考] 已知O为坐标原点,直线y=(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于M,N两点,l为抛物线C的准线,则 (　 ) A.p=2 B.|MN|= C.△OMN为等腰三角形 D.以MN为直径的圆与l相切 9.过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,以AF,BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|MN|=　　　　.  10.已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,若过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于点M,且=λ1,=λ2,则λ1+λ2=　　　　　.  11.[2026·重庆南开中学高二期中] 直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,交抛物线于A,B两点,AB的中点为M,AB的垂直平分线交x轴于点N,则线段MN的长度的取值范围为　　　　.  12.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且经过点(5,-2),一条斜率为的直线过抛物线C的焦点,且与抛物线C交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程; (2)求|AB|的值. 13.已知点F是抛物线E:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点,M是线段AB的中点. (1)当k=1时,求|AB|的值与点M的坐标; (2)设O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=1,求直线l的方程. 14.已知平面内一动圆过点P(0,1),且x轴被该圆截得的弦长为2,设该动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程. (2)若过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于M,N两点,分别作E在点M,N处的切线,两条切线交于点Q. (i)若|MN|≥4,求k的取值范围; (ii)若△MNQ的面积为3,求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $