第1章 03 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（能力提升）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示

知识易错易混

【知识导图】

【易错易混】 对空间直角坐标系的理解

(1)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

(2)在数轴上确定一个点的位置只需一个实数,在平面直角坐标系中需一对有序实数来确定一个点的位置,在空间直角坐标系中则需要三个实数组成的有序实数组(x,y,z)才能确定一个点的位置.

(3)确定空间某个点的坐标除了利用点到坐标平面的距离外,还可用几何图形的特点.比如中点坐标:在空间直角坐标系中,已知P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点P0的坐标为.

(4)若四边形ABCD是平行四边形,则向量与的坐标相同.

解题方法拓展

【方法解读1】 建立空间直角坐标系的方法

(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系,如长方体ABCD-A1B1C1D1,如图①;

(2)利用线面垂直关系构建空间直角坐标系,如直三棱柱ABC-A1B1C1,如图②;

(3)利用面面垂直关系构建空间直角坐标系,如正四棱锥P-ABCD,如图③.

           

【方法解读2】 求点与空间向量的坐标

空间向量坐标的求解:根据题设条件,建立适当的空间直角坐标系,先求出相关点的坐标,再写出向量的坐标.

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系,写出点D,N,M的坐标.

解:因为D是原点,所以D(0,0,0).

由AB=BC=2,D1D=3,得A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3).

因为N是AB的中点,所以N(2,1,0),

同理可得M(1,2,3).

例2 在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求,的坐标.