内切球与外接球问题处理策略导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦内切球与外接球问题，核心内容包括球的基本概念、常见几何体（长方体、正方体等）的外接球及内切球半径求解，通过从定义性质到模型方法（如汉堡模型、切瓜模型）的递进，构建系统的学习支架。 资料亮点在于题型分类全面，结合补形法、等体积法等策略培养学生空间观念，高考真题与多样化习题助力提升推理能力，帮助学生用数学思维分析空间几何问题，提升解决复杂问题的能力。

内切球与外接球问题处理策略 【学习目标】1.会找一些简单多面体的外接球和内切球球心. 【学习重点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 【学习难点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 必掌握知识点： 一 基本概念 1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球. 2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球． 3.多面体的外接球的性质： 性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径． 性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心与球心的连线垂直于这个面． 性质3.外接圆圆心到球心的距离、圆的半径与球半径的关系：． 二、常见几何体的外接球 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则 2、正方体的外接球：正方体的棱长为，外接球半径为R，则 长方体的外接球 正方体的外接球 3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球心是上下底面三角形外心的连线的中点 4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。 （1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 三、能补形为长方体的类型 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、对棱相等 对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 四、直棱柱外接球的求法-----汉堡模型 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 五、侧面垂直于底面---切瓜模型 对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 六、棱长即为直径型：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径 取斜边的中点，连接，则 所以点即为球心，然后在中解出半径 七、棱锥的内切球 1、方法：一般采用等体积法 2、结论： （1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2）若正四面体的棱长为，则其内切球的半径为. 【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。 八 正棱锥外接球：正棱锥外接球半径： . 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 必考题型全归纳： 题型一 棱锥的外接球： 1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 【答案】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以， 由三角形面积公式，. 2．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为，则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 3．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形，由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ，球的表面积.故选：A    【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 4．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离.故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 5．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 6．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为，则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立.故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时．故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 7．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，,所以， 所以正四棱锥的体积， 所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 二 棱台的外接球 8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A． 三 棱柱的外接球: 9．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小. 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故； 分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.故答案为： 10．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【答案】12 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即，则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.故答案为：12 四 内切球问题 11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为，    由于，故，设内切圆半径为，则： ，解得：，其体积：.故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，，故答案为：. 五 外接球解答题 13．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； 法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面，∴，， ∵平面，平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，，建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则，在平面中， ∴， ∴线段中点坐标，直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ，∴， ∴点是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得， ∴，∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面，∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2：由几何知识得，，，∥， ∴，在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴，在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得，， 即：，解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 六：正四面体外接球 14.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积， 设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，  O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上， 则，则， 即得，所以， 又设正四面体外接球的半径R， 则，即，即得， 故外接球体积为.故选：C． 七：对棱相等的三棱锥外接球 15.已知三棱锥，，，，则三棱锥外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将三棱锥补成长方体，计算出该长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径，利用球体的体积公式可求得结果.如下图所示，将三棱锥补成长方体， 设，，，则三棱锥的外接球直径为， 由勾股定理可得， 上述三个不等式全加得，解得， 因此，三棱锥的外接球的体积为.故选：B. 16.在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．故选：C． 八 .二面角型 17.两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，设正三角形与的中心分别为， 根据外接球的性质有平面，平面， 又二面角的大小为，故， 又正三角形与的边长均为2， 故，故. 易得， 故，故， 又，故球的半径， 故球的表面积为，故选：B 18．在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 【详解】由题可设， 因为，所以是等腰直角三角形，则斜边. 因为是等边三角形，所以. 取的中点为，连接，，如图所示， 在中，，且. 在等边中，，且. 因为，，在上， 所以即为平面和平面的二面角. 又因为二面角的余弦值为，所以. 在中，由余弦定理可得， 代入数值得解得. 因为，所以.同理.所以. 因此，是和的公共斜边. 又因为在中，是斜边，中点到，，距离相等. 因为， 由直径所对圆周角为直角可得点，都在以为直径的球面上， 所以，三棱锥的外接球就是以为直径的球. 因为外接球表面积为，所以，解得， 所以，则. 19．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形且，，，则二面角的正弦值为__________；三棱锥外接球的表面积为__________. 【详解】空①：菱形，，，是等边三角形，. 取的中点，连接，， ，等边三角形中线：，且. ，为等腰三角形，.即为二面角的平面角. 又，，，，即， 在中，. 空②：，，，即，同理可得：， 又，平面,平面. 又 同理可证为等腰直角三角形，为的外心， 过作，则：平面.故上的所有点到，，三点距离相等. 在等边中，取的三等分点，为的外心，过作平面， 故上的所有点到，，三点距离相等. 设：，则：即为三棱锥外接球的球心， ，，， 又，解得：， 在中，，即，球的表面积：. 九 内切球 20.三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以.故答案为： 21.如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和. 【答案】 【解析】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为正方体的面对角线，AC为体对角线， 球心和在上，过分别作的垂线交于E，F两点. 设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知， 得，∴，∴，即两球半径之和为. 22.半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所得三棱锥是边长为的正四面体，不妨记为， 令体积最大的小球半径为，球心为，连接并延长交平面于点， 则平面，为正三角形的中心，且，连接，， 则由正弦定理得，所以，在Rt中，， 在Rt中，由得，则 所以小球的最大体积为.故选：D. 巩固提升 1.已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为， 则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等， 如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则， 由， 则在中，有，所以， 则在中，有，设外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球的体积为．故选：C． 2.已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 设为正三角形的中心，连接， 则平面，球心在上，设球的半径为，连接， ∵正三角形的边长为4，∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得，∴球的表面积为． 故选：D． 3.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 可得，所以， 又，且，平面， 所以平面， 故三棱锥的外接球在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上， 由正弦定理，可得外接圆的半径为， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为， 即三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 4.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为， 又，则， 由得，解得， 所以表面积为．故选：D． 5.已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 6.在三棱锥中，平面平面ABC，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A．54π B．48π C．42π D．36π 【答案】B 【解析】 ，所以的外接圆的圆心为斜边的中点, ， 为等边三角形， 连接，，平面平面ABC，平面平面ABC=BC， 面ABC， 面，则球心一定在直线AN上. 为等边三角形，可知O为的外心，则O为该三棱锥外接球的球心． 因为，所以，则该三棱锥外接球的半径为． 故该三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 7.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取AB的中点E，BC的中点D，连接PE，△PAB是等边三角形，则.因为平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又平面ABC，所以.过D作OD⊥平面ABC，则.因为，所以三棱锥P-ABC的外接球的球心在DO上，设球心为O，连接OB，OP，设外接球半径为R，由已知，.，，在直角梯形PEDO中，，   ，，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积.故选:C. 8.在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得， 因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC，则球心O在直线上． 连接OA，则， 因为，所以； 因为，所以. 因为，所以球心在线段上． 在中，由勾股定理，得，即，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为.故选：B． 9.三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以.故答案为： 10.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 【答案】 【解析】设，因为， 所以， 设的内切圆的半径为，则， 即，解得， 因为三棱柱有内切球，所以， 因为，， 所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为， 所以三棱锥的内切球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为， 所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为.故答案为：. 11.一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 . 【答案】 【解析】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接，是球与侧面的切点，可知在上，， 设内切球半径为，则，，，，由， ，即，解得， 所以内切球表面积为.故答案为：. 12.已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【解析】设直三棱柱的高为h，设， 内切球的半径设为r，则， 球的表面积为，则，则； 又的周长为4，即， 连接，则直三棱柱被分割为5个小棱锥， 即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥， 根据体积相等可得， 即，即得， 故三棱锥的体积为,故答案为： 13．已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求出正四面体外接球的半径： 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上： 设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心）， ，，， 中，，即，得， 因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点， 则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为. 故选：D. 14．在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为，由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积.故选:C. 15．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三棱锥中，，，正的边长为1， 则，即有，同理，而平面， 于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为， 则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则， 而，则四边形是矩形，， 所以球半径，表面积.故选：B 16．在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，作平面，连接，易得因，平面， 所以平面，平面，故, 由题可得，，则. 不妨设，则有①， 在中，由余弦定理，，在中，②， 将两式相减化简即得：，. 取线段中点，过点作平面，其中点为外接球的球心，设外接球半径为， 由余弦定理求得， 在直角梯形中，，由计算可得：，则该四面体的外接球表面积为.故选：B. 17．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱锥的所有棱长均为2， 故可把三棱锥放置在正方体中， 如图 设正方体的棱长为a，则，解得，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 故球的半径，所以球的表面积.故选：D 18．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 19．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为.故选：B. 20．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示， 三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R， 则，所以该三棱锥的外接球表面积为. 故选：C． 21．三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦定理求出外接圆半径，设三棱锥高为，球的半径为，从而可得，再利用基本不等式求出的最小值即可.设底面外接圆圆心为，半径为， 则，即. 设三棱锥高为，球的半径为. 由，得球心在上，且， 则，当且仅当时等号成立， 此时外接球表面积最小，则. 故选：B 22．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 23．在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 正四面体底面的中心记为点，连接，. 由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2， 所以底面三角形的高为，则， 所以正四面体的高. 设正四面体内切球的半径为，球心为. 由等体积法可得：， 即，解得：. 所以正四面体的内切球表面积为.故选：B. 24．已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】记为的中点，连接， 由题意知，且，所以外接圆的直径为，且，即半径， 过作平面，因为平面，则， 又点到平面的距离是，即，而， 所以，同理， 又，所以是同一个点，所以平面， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 则三棱锥的外接球表面积为. 故答案为： 25．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 【答案】 【解析】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形， 则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为. 其外接球半径为， 则其体积为.故答案为： 26．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为 . 【答案】 【解析】有题意可知，，所以 所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径， 所以， 所以该圆锥的内切球的表面积为. 故答案为： 27．若棱长为的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意，正方体的棱长即为球的直径的长， 所以，所以， ， 故答案为：. 28.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则正方体的棱长为 ；正方体的外接球的表面积为 ． 【答案】 4 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为， 正方体的外接球的表面积为 故答案为：4， 29．一个正四面体的棱长为，若该正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则 ． 【答案】 【解析】如图，正四面体棱长为，记为的中心，则为正四面体的高， 连接并延长，交于点，则，为中点， 正四面体的表面积． 设正四面体内切球的半径，，则正四面体的体积，即， 则其内切球半径为正四面体高的，由已知，， 所以，所以， 因此内切球的表面积，则．故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 内切球与外接球问题处理策略 【学习目标】会找一些简单多面体的外接球和内切球球心. 【学习重点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 【学习难点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 必掌握知识点： 一 基本概念 1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球. 2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球． 3.多面体的外接球的性质： 性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径． 性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心与球心的连线垂直于这个面． 性质3.外接圆圆心到球心的距离、圆的半径与球半径的关系：． 二、常见几何体的外接球 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则 2、正方体的外接球：正方体的棱长为，外接球半径为R，则 长方体的外接球 正方体的外接球 3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球心是上下底面三角形外心的连线的中点 4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。 （1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 三、能补形为长方体的类型 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、对棱相等 对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 四、直棱柱外接球的求法-----汉堡模型 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 五、侧面垂直于底面---切瓜模型 对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 六、棱长即为直径型：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径 取斜边的中点，连接，则 所以点即为球心，然后在中解出半径 七、棱锥的内切球 1、方法：一般采用等体积法 2、结论： （1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2）若正四面体的棱长为，则其内切球的半径为. 【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。 八 正棱锥外接球：正棱锥外接球半径： . 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 必考题型全归纳： 题型一 棱锥的外接球： 1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 2．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 3．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ） A． B． C．1 D． 5．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 6．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二 棱台的外接球 8．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 三 棱柱的外接球: 9．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ． 10．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 四 内切球问题 11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．    12．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．. 五 外接球解答题 13．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 六：正四面体外接球 14.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 七：对棱相等的三棱锥外接球 15.已知三棱锥，，，，则三棱锥外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 16.在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 八 .二面角型 17.两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 18．在三棱锥中，是等边三角形，，，二面角的余弦值为，若三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为___________． 19．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形且，，，则二面角的正弦值为__________；三棱锥外接球的表面积为__________. 九 内切球 20.三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 21.如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，求两球半径之和. 22.半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 巩固提升 1.已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2.已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 5.已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 6.在三棱锥中，平面平面ABC，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A．54π B．48π C．42π D．36π 7.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8.在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 9.三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 10.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 11.一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 . 12.已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为 ． 13．已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 15．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 16．在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 17．已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 20．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 21．三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（     ） A． B． C． D． 22．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 23．在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 24．已知三棱锥，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ． 25．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 . 26．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为 . 27．若棱长为的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为 ． 28.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则正方体的棱长为 ；正方体的外接球的表面积为 ． 29．一个正四面体的棱长为，若该正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $