1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课时同步练【提升题】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南永州高二上期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由点关于平面对称的性质得，其横坐标与纵坐标不变，竖坐标变号． 因为点在空间直角坐标系中， 所以其关于平面的对称点坐标为． 对于选项C： 其坐标为，与所求结果相同． 答案为C. 2.已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对A：设共面，则，有，因为不共面， 所以不存在实数满足，则不共面，可以作为基底； 对B：因为，所以共面，不可作为基底； 对C：设共面，则，有，因为不共面, 故不存在实数满足，则不共面，可以作基底； 对D：设共面，则，即，因为不共面， 故不存在实数满足，则不共面，可以作基底. 故选：B. 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】由题意 平面， 所以， 因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以为z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 因为，，可得，，则， 所以，，所以． 故选：B. 4.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　) A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 【答案】D 【解析】因为点A，B不一定为坐标原点，所以选项A，B，C都不正确；因为＝－，所以选项D正确，故选D． 5.若A(6，－1，4)，B(1，－2，1)，C(4，2，3)，则△ABC的形状是(　　) A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】A 【解析】＝(－5，－1，－3)， ＝(－2，3，－1)， ＝(3，4，2)， 所以·＝10－3＋3＝10>0，可得A为锐角， 同理可得B，C也为锐角． ||＝＝， 同理可得||＝，||＝. 所以△ABC为不等边锐角三角形．故选A. 6.（2025-2026·湖南湘西高二上期末）已知向量，若，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】向量与平行，即. 由向量共线的坐标条件，对应坐标成比例，有. 取，得，即. 故选：B. 7.（2026-2027·湖南衡阳高二上开学考）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得， 计算得，. 由投影向量公式得在上的投影向量为. 故选：A. 8.已知，若共面，则实数的值为（） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【解析】因，，共面，且与不平行，设， 即，得， 解得，，. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南株洲高一下期末）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（） A. B. C. D.向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】由得， 整理得， 故选项A正确. 由得为的直径， 故， 设，则，为等边三角形，结合得， 即， 故选项B正确. 计算得， 故选项C错误. 向量在向量上的投影向量为， 故选项D正确. 故选：ABD. 10.已知空间三点A(－1,0,1)，B(－1,2,2)，C(－3,0,4)，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.·＝3 C.＝2 D.cos〈，〉＝ 【答案】BCD 【解析】由题意知，A(－1,0,1)，B(－1,2,2)，C(－3,0,4)， 所以＝(0,2,1)，＝(－2,0,3)，＝(－2，－2,2)． 对于选项A，因为不存在实数λ使得＝λ，所以与不平行，故A错误； 对于选项B, ·＝0＋0＋3＝3，故B正确； 对于选项C，＝＝2，故C正确； 对于选项D，cos〈，〉＝＝＝，故D正确．故选B、C、D． 11.（2025-2026·陕西榆林高二上期末）已知向量，若，则（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】由模长定义得，平方化简得，解得. 由得，代入坐标计算得. 当时，解得，故；当时，解得，故. 故选：AD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）在空间直角坐标系中，若三点，，满足：，则实数的值为                   . 【答案】 【解析】，，. . 由，得. 即. 解得. 故答案为：. 13.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为                   ． 【答案】 【解析】由，得. . . 在方向上的投影向量的模为. 故答案为：1. 14.（2025-2026·吉林四平高二上期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数                   ． 【答案】 【解析】由,得. 结合,有. 化简得, 故. 四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 【答案】解：(1)可得，. 因为两向量共线，存在实数，使. 即，解得，. (2)，. 两向量所成角为锐角，则，解得. 又因为共线时，故且. 16.（2025-2026·山东济南高二上月考）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】解：(1)由题得，， 故. 因为， 所以，展开得， 解得. (2)计算得， 由得，. 结合，得， 解得， 故的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南永州高二上期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（） A. B. C. D. 2.已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 4.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　) A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 5.若A(6，－1，4)，B(1，－2，1)，C(4，2，3)，则△ABC的形状是(　　) A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.（2025-2026·湖南湘西高二上期末）已知向量，若，则（） A. B. C. D. 7.（2026-2027·湖南衡阳高二上开学考）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（） A. B. C. D. 8.已知，若共面，则实数的值为（） A.6 B.5 C.4 D.3 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南株洲高一下期末）已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（） A. B. C. D.向量在向量上的投影向量为 10.已知空间三点A(－1,0,1)，B(－1,2,2)，C(－3,0,4)，则下列说法正确的是(　　) A.∥ B.·＝3 C.＝2 D.cos〈，〉＝ 11.（2025-2026·陕西榆林高二上期末）已知向量，若，则（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）在空间直角坐标系中，若三点，，满足：，则实数的值为                   . 13.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模为                   ． 14.（2025-2026·吉林四平高二上期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 16.（2025-2026·山东济南高二上月考）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $