第1章 02 1.2 空间向量基本定理（能力提升）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.2　空间向量基本定理

知识易错易混

【知识导图】

【易错易混1】 空间向量基底判断

基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,那么可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程(组),若方程(组)的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.

例1 给出下列命题:

①若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则a,b,d可以构成空间的一个基底;

②若向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底;

③A,B,M,N是空间中四点,如果,,不能构成空间的一个基底,那么点A,B,M,N共面;　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

④已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m可以构成空间的一个基底.

其中真命题的个数是 (　 )

A.1 B.2 C.3 D.4

[答案] D

[解析] 对于①,若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线且d≠0,则a,b,d不共面,故a,b,d可以构成空间的一个基底,故①为真命题;对于②,若向量a∥b,则a,b与任何向量都共面,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,故②为真命题;对于③,

,,不能构成空间的一个基底,则,,共面,故点A,B,M,N共面,故③为真命题;对于④,假设a,b,m共面,则存在x,y∈R,使xa+yb=m,即xa+yb=a+c,即(x-1)a+yb=c,故a,b,c也共面,与题设矛盾,所以a,b,m不共面,故a,b,m可以构成空间的一个基底,故④为真命题.综上,①②③④均为真命题.故选D.

【易错易混2】 向量共线定理、平面向量基本定理与空间向量基本定理

解题方法拓展

【方法解读1】 用基底表示空间向量

空间中任意一个向量在基向量上的分向量是唯一确定的,即若基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则在该基底下与p对应的有序实数组(x,y,z)唯一.

例2 如图所示, 在四面体OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P,Q是MN的两个三等分点(点P靠近点N,点Q靠近点M).

(1)用基底{,,}表示向量;

(2)若=x+y+z,求实数x,y,z的值.

解:(1)连接ON,则=+=+=+(-)=+=+×(+)=++.