第四讲 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示展开，引导学生从平面向量推广到空间向量，建立空间直角坐标系，掌握空间向量的坐标表示、运算及应用，搭建平面到空间的知识过渡支架。 资料通过系统梳理知识点与分层归纳题型，强化易错点分析与综合应用，培养学生空间观念、运算能力和推理意识，符合数学思维与数学眼光，助力教师高效教学，提升学生解决立体几何问题的能力。

第四讲 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示 【学习目标】1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间直角坐标系； 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的运算及其坐标表示. 【学习重点】空间直角坐标系的建系方法.空间向量的坐标表示及坐标运算. 【学习难点】空间向量运算的坐标表示. 必掌握知识点 一：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 二：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 三：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 四.空间向量运算的坐标表示 1.设，，则； ； ； ； ； ． 2.设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 向量在向量上的投影为． 必考题型全归纳 题型一：空间直角坐标系中点的坐标、对称点、坐标轴、坐标面上点的特征 1.坐标轴上点的坐标特征 轴上：；轴上：；轴上：。 平面：；平面：；平面：。 2.点的对称变换（点） 关于轴对称：； 关于轴对称：； 关于轴对称：； 关于平面对称：； 关于原点对称：。 3.空间两点距离公式：若， 。 1．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为点和点关于轴对称，所以. 2．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 3．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 4．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 题型二：空间向量的坐标线性运算（加减、数乘、求向量坐标） 1.若，，则，终点减起点。 2.设 加法： 减法： 数乘： 3.向量的模：。 4.平行四边形顶点坐标：，利用向量相等求第四个顶点坐标。 5．已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，，所以. 6．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 9．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以.故选：A 题型三：空间向量数量积坐标运算，垂直、平行判定 1.数量积坐标公式：。 2.垂直条件：。 3.平行（共线）条件：存在实数，。 4.向量夹角：。 5.易错：，夹角为锐角或同向共线；，夹角为钝角或反向共线。 10．已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 11．已知向量，，则________ 【答案】24 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 12．已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 13．已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】由点，，，可得， 所以，故选:D. 题型四：向量夹角为锐角 、 钝角求参数取值范围 夹角为锐角： 夹角为钝角： 易错点：只写数量积大于 0，漏掉排除两向量同向共线的情况，会产生错误解。 14．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】首先判断与不共线，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 若，则，所以，方程组无解，所以与不共线， 又向量与的夹角为锐角，则，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为： 题型五：投影向量 1.在方向上的投影数量（实数）：。 2.在方向上的投影向量（向量）：。 区分：投影数量是实数，投影向量是向量，有坐标 15．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量投影向量公式及空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 16．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】空间向量在方向上的投影向量为， 故选：B 17．空间向量在上的投影向量为__________. 【答案】 【分析】利用投影向量的公式及空间向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】由向量，， 则， 向量在上的投影向量为. 故答案为：. 题型六：共面向量定理（坐标版，三点、四点共面、三向量共面） 1.三个向量共面：存在实数，使得，坐标对应相等列方程组求解参数。 2.四点共面：； 或者且。 3.基底判断：三个向量坐标代入，若方程组只有零解，则三向量不共面，可以构成空间基底。 18．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 19．已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得，所以. 20．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 21．空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以存在，使得， 所以. 故选：C 题型七：向量综合（平行四边形面积、中线向量，多选概念辨析） 1.三角形中线向量：为中点，则；先求中点坐标，终点‑起点得到中线向量。 2.以为邻边平行四边形面积：； 利用计算。 3.多选综合：综合基底、四点共面、向量夹角、垂直平行的概念辨析，逐个选项检验。 22．已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算和平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】，以为邻边的平行四边形的面积为 23．（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积的坐标运算得的值即可判断A；根据平面向量共线向量的坐标关系即可判断B；根据向量坐标运算得，再确定不共线即可判断C；根据向量线性运算计算从而可判断D. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，因为，则，故不平行，故B不正确； 对于C，，所以， 又不共线，即四点不共线，所以四边形为平行四边形，故C正确； 对于D，若，则， 又，所以，故点E为线段的中点，故D正确. 故选：ACD. 24．若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据题意得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点，因为四边形为平行四边形，故， 即，即，解得，即点. 故选：A. 题型八：空间向量坐标结合立体几何（动点、体积、距离、外接球） 1.解题流程：建立空间直角坐标系，写出所有点坐标，动点设参数坐标。 2.三棱锥体积：，利用坐标判断高，找变量范围求体积最值。 3.距离最值：两点距离公式转化为二次函数求最值。 4.四面体外接球：设球心，利用到四个顶点距离相等列方程，求半径范围。 5.正方体中：利用坐标求异面直线夹角，判断线面垂直。 25．已知正方体的棱长为是侧面上一动点（包括边界），且是棱上一点，则当三棱锥的体积最大时，线段的长为__________. 【答案】/ 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可求出各点坐标，设，由可得、间关系，再表示出棱锥的体积后可求出三棱锥的体积最大时的、，即可得点坐标，即可得长度. 【详解】如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点的坐标为，则， 由，得，整理得， 其中，所以点的轨迹为以点为圆心， 为半径的圆在侧面内的一段圆弧， 过点作，因为平面，所以平面， 即平面，所以为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积， 因为，所以， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当，时，三棱锥的体积取最大值， 此时. 26．（多选）设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，四面体外接球的半径的取值范围为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用三棱锥的体积公式判断A，利用两点间距离公式结合二次函数性质判断B，合理构建平面直角坐标系，转化距离长度判断C，将点代入球的方程，得到，进而求解半径的取值范围判断D即可. 【详解】在正四棱柱中，可得面，， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 而，，由题意得，，， ，，则，，， 可得， 设，则， 得到，解得，则， 对于A，当时，， 由三棱锥的体积公式得， 则三棱锥的体积为，故A正确， 对于B，当时，此时可得，此时， 由两点间距离公式得， ， 则， 令，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到最小值为，即的最小值为，故B错误， 对于C，连接，在面内，由题意得， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 此时设，，，，, 因为，所以，得到， 由两点间距离公式得 ， 则，当且仅当共线时取等， 由两点间距离公式得, 得到的最小值为，故C正确， 对于D，由题意得，，， 当时，可得，即，此时， 设球心为，半径为， 得到四面体外接球的方程为， 将代入方程，可得， 将代入方程，可得， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 与相减可得，解得， 则球心变为，此时， 化简得，将代入方程， 可得， 则，解得， 得到，解得，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，当时，，当时，， 得到，即， 可得四面体外接球的半径的取值范围为，故D正确.故选：ACD 27．在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 28．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 【答案】CD 【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误， 对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同， 建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误， 对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确， 对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角为，故D正确. 巩固提升： 1．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过向量法则简化表达式，再用坐标运算得到结果即可. 【详解】根据题意，点，，，则. 故选：B. 2．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：C 3．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 【答案】1 【分析】根据空间向量垂直得出数量积为0，再应用空间向量数量积坐标运算公式求解. 【详解】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 故答案为：1. 4．（多选）下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 5．已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量坐标的线性运算可判断AB，根据数量积的坐标运算可判断CD. 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选:D. 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】， ， . 故选：B. 7．已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 8．设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合共面向量定理，得到共面向量的坐标，结合选项，即可求解. 【详解】设向量与共面，则存在实数使得， 即， 结合选项，选项C满足题意， 所以与共面的向量坐标可以是. 故选：C. 9．三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 10．若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A不是； 对于B，，向量共面，B不是； 对于C，，向量共面，C不是； 对于D，假设，则，于是，方程组无解， 即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是. 故选：D 11．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量坐标运算计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 13．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算即可得到答案. 【详解】因为向量， 所以. 故选：D. 14．已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积坐标运算即可. 【详解】由，，且， 则， 故选：C 15．在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 【答案】 【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解. 【详解】因为点，，， 所以， 则. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 空间直角坐标系及空间向量运算的坐标表示 【学习目标】1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间直角坐标系； 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的运算及其坐标表示. 【学习重点】 空间直角坐标系的建系方法.空间向量的坐标表示及坐标运算 【学习难点】在空间直角坐标系中点的坐标的正确写法. 必掌握知识点 一：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 二：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 三：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 四.空间向量运算的坐标表示 1.设，，则； ； ； ； ； ． 2.设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 向量在向量上的投影为． 必考题型全归纳 题型一：空间直角坐标系中点的坐标、对称点、坐标轴、坐标面上点的特征 1.坐标轴上点的坐标特征 轴上：；轴上：；轴上：。 平面：；平面：；平面：。 2.点的对称变换（点） 关于轴对称：； 关于轴对称：； 关于轴对称：； 关于平面对称：； 关于原点对称：。 3.空间两点距离公式：若， 。 1．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________． 2．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 3．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 题型二：空间向量的坐标线性运算（加减、数乘、求向量坐标） 1.若，，则，终点减起点。 2.设 加法： 减法： 数乘： 3.向量的模：。 4.平行四边形顶点坐标：，利用向量相等求第四个顶点坐标。 5．已知空间向量，，则 _______． 6．已知，则为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 题型三：空间向量数量积坐标运算，垂直、平行判定 1.数量积坐标公式：。 2.垂直条件：。 3.平行（共线）条件：存在实数，。 4.向量夹角：。 5.易错：，夹角为锐角或同向共线；，夹角为钝角或反向共线。 10．已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 11．已知向量，，则________ 12．已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 13．已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：向量夹角为锐角 、 钝角求参数取值范围 夹角为锐角： 夹角为钝角： 易错点：只写数量积大于 0，漏掉排除两向量同向共线的情况，会产生错误解。 14．已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________． 题型五：投影向量 1.在方向上的投影数量（实数）：。 2.在方向上的投影向量（向量）：。 区分：投影数量是实数，投影向量是向量，有坐标 15．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．空间向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 17．空间向量在上的投影向量为__________. 题型六：共面向量定理（坐标版，三点、四点共面、三向量共面） 1.三个向量共面：存在实数，使得，坐标对应相等列方程组求解参数。 2.四点共面：； 或者且。 3.基底判断：三个向量坐标代入，若方程组只有零解，则三向量不共面，可以构成空间基底。 18．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 19．已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 20．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 21．空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：向量综合（平行四边形面积、中线向量，多选概念辨析） 1.三角形中线向量：为中点，则；先求中点坐标，终点‑起点得到中线向量。 2.以为邻边平行四边形面积：； 利用计算。 3.多选综合：综合基底、四点共面、向量夹角、垂直平行的概念辨析，逐个选项检验。 22．已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________． 23．（多选）已知点P是四边形所在平面外一点，如果，，，.下列结论正确的是（   ） A． B． C．四边形为平行四边形 D．若，则点E为线段的中点 24．若是平行四边形，且、、，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型八：空间向量坐标结合立体几何（动点、体积、距离、外接球） 1.解题流程：建立空间直角坐标系，写出所有点坐标，动点设参数坐标。 2.三棱锥体积：，利用坐标判断高，找变量范围求体积最值。 3.距离最值：两点距离公式转化为二次函数求最值。 4.四面体外接球：设球心，利用到四个顶点距离相等列方程，求半径范围。 5.正方体中：利用坐标求异面直线夹角，判断线面垂直。 25．已知正方体的棱长为是侧面上一动点（包括边界），且是棱上一点，则当三棱锥的体积最大时，线段的长为__________. 26．（多选）设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，四面体外接球的半径的取值范围为 27．在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（    ）． A．10 B．20 C． D． 28．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（    ） A．向量的模长为2 B．向量的坐标为 C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为 巩固提升： 1．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________． 4．（多选）下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 5．已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 9．三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 10．若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 14．已知，，且，则实数x的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $