第1章 04 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 02 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.B　[解析] 设O为坐标原点,因为A(1,-1,3),B(0,2,-1),所以=(1,-1,3),=(0,2,-1),所以=-=(-1,3,-4).故选B. 2.D　[解析] 由题意得M为CB1的中点,所以=+=+(+)=+(+)=++,故=.故选D. 3.A　[解析] 由题意可知a+b=(-1,1,3),则(a+b)·a=6,|a|=2,所以向量a+b在向量a上的投影向量为a=·(0,0,2)=(0,0,3).故选A. 4.解: (1)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7. (2)(2a)·(-b) =-2(a·b)=-2×(-7)=14. (3)(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. 5.A　[解析] 因为|n|==,所以与向量n反向的单位向量为-==.故选A. 6.C　[解析] 对于A,假设存在实数m,使得a∥b,则存在t∈R,使得a=tb,即方程组无解,故不存在实数m,使得a∥b,故A错误;对于B,若a⊥b,则a·b=2×(-2)+1×1+2m=0,解得m=,故B错误;对于C,因为a与b不可能共线,所以若<a,b>为锐角,则a·b=2×(-2)+1×1+2m>0,解得m>,故C正确;对于D,因为a·b=2×(-2)+1×1+2m=2m-3,|b|==3,所以b=b=b,则=,解得m=,故D错误.故选C. 7.AC　[解析] 因为·=-2-2+4=0,所以⊥,即AP⊥AB,故A正确;因为=-=(3,-3,-3),所以·=3+6-3=6≠0,即AP与BP不垂直,故B不正确;因为=-=(6,1,-4),所以||==,即BC=,故C正确;因为=(1,-2,1),=(6,1,-4),所以不存在实数t使得=t,即AP与BC不平行,故D不正确.故选AC. 8.解:(1)因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=,b=, 所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 则cos<a,b>===-. (2)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又ka+b与ka-2b垂直, 所以(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, 解得k=-或k=2. (3)由题可知,=(-2,-1,2), 由c∥,知存在实数m,使得c=m,即c=(-2m,-m,2m). 因为|c|=3,所以(-2m)2+(-m)2+(2m)2=32,解得m=±1, 所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 9.(0,0,-3)　[解析] 设点M(0,0,m), 因为M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等, 所以=,解得m=-3, 所以点M的坐标为(0,0,-3). 10.　[解析] 如图,以点D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,不妨设AB=2,则AA1=4, 则A1(2,0,4),B(2,2,0),C(0,2,0),E(2,1,0),设F(0,2,a),a∈[0,4], 则=(-2,2,-4),=(-2,1,a).因为A1C⊥EF, 所以·=4+2-4a=0,解得a=, 所以F,则=, 因此|cos<,>|===, 故直线BF与直线A1C所成角的余弦值为. 11.B　[解析] 根据题意,得存在实数x,y使得=x+y,即=(x+2y,2x,x+y).对于选项A,方程组无解,故选项A错误;对于选项B,得故选项B正确;对于选项C,方程组无解,故选项C错误;对于选项D,方程组无解,故选项D错误.故选B. 12.C　[解析] 建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),∴=(-1,0,-2),=(-2,0,1),∴·=2+0-2=0,∴⊥,易知直线NO,AM的位置关系是异面且垂直.故选C. 13.A　[解析] 由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),可得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),则||==, ||==,所以cos∠BAC=== ,又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=2×||·||·sin∠BAC=××sin=7,故选A. 14.ABD　[解析] 因为四边形OABC为菱形,所以线段OB和AC互相平分,由中点坐标公式得=,可得m=5,p=-1,n=q-1,故A,B正确;B(5,1,q-1),C(2,-1,q),因为四边形OABC为菱形,所以OB和AC互相垂直,又=(5,1,q-1),=(-1,-3,q+1),所以·=-5-3+(q-1)(q+1)=0,解得q=±3,故D正确;当q=3时,n=2,当q=-3时,n=-4,故C错误.故选ABD. 15.　[解析] 设三棱锥的外接球球心为G(x,y,z), 不妨设A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),D(0,0,0), 则GA=GB=GC=GD, 即===, 整理可得x+z=1且x+y=1且y+z=1, 解得x=y=z=, 故三棱锥的外接球球心的坐标为. 16.解:(1)取B1C1的中点O1,BC的中点O,连接AO, OO1,由题知OO1⊥平面ABC,AO⊥BC.以O为原点,以OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 由题意知,AO=, 则A(,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1(,0,3),B1(0,1,3),C1(0,-1,3). (2)由题意知,E,F(0,0,0), 则=,=. (3)因为=(0,2,-3),所以cos<,>===-. 17.B　[解析] 由题意可知点D在Oxy,Oyz,Ozx坐标平面上的正投影分别为D1,D2(0,1,2),D3, 因为=,=(-2,4,0),所以=4,所以A,D1,C三点共线.S1=S△ABC=×2×4=4,S2==×4×2=4,S3==×2×2=2,所以S3<S1<S2.故选B. 18.D　[解析] 以A为坐标原点,建立如图①所示的空间直角坐标系, 设点P(x,y,0),则0≤x≤1,0≤y≤1,∴A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),C1(1,1,1),=(x,y,0),=(x-1,y-1,-1),∴||=,||=,∵PA≥PC1,∴≥,即x2+y2≥(x-1)2+(y-1)2+(-1)2,化简得x+y≥,在平面ABCD中,∵0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≥,∴满足条件的点P所在的区域为以M,N,C(1,1,0)为顶点的直角三角形及其内部,如图②所示, ∴=,=,∴S△MNC=||·||=××=,∴满足条件的点P构成的图形的面积为.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 考点一　空间向量线性运算的坐标表示 1.已知A(1,-1,3),B(0,2,-1),则向量的坐标是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,3,-4) B.(-1,3,-4) C.(1,-3,-4) D.(-1,-3,4) 2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点M是侧面BCC1B1的中心,以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系,则= (　 ) A. B. C. D. 考点二　空间向量数量积的坐标表示 3.已知向量a=(0,0,2),b=(-1,1,1),则向量a+b在向量a上的投影向量的坐标为 (　 ) A.(0,0,3) B.(0,0,6) C.(-3,3,9) D.(3,-3,-9) 4.已知a =(2,-1,-2),b =(0,-1, 4),求: (1)a·b; (2)(2a)·(-b); (3)(a+b)·(a-b). 考点三　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 5.[2026·浙江义乌中学高二阶段练] 与向量n=(1,-1,2)反向的单位向量的坐标为 (　 ) A. B. C.(-1,1,-2) D. 6.[2026·辽西重点中学高二月考] 在空间直角坐标系中,向量a=(2,1,m),b=(-2,1,2),下列结论正确的是 (　 ) A.存在实数m,使得a∥b B.若a⊥b,则m=- C.若<a,b>为锐角,则m> D.若a在b上的投影向量为b,则m= 7.(多选题)已知点P是△ABC所在平面外一点,=(-2,1,4),=(4,2,0),=(1,-2,1),则下列结论正确的是 (　 ) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC= D.AP∥BC 8.[2026·惠州高二联考] 已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=,b=. (1)求cos<a,b>; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值; (3)若|c|=3,c∥,求c的坐标. 考点三　利用空间向量坐标运算求夹角与距离 9.[教材P22练习第3题改编] 若z轴上点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标为　　　　　　.  10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为棱AB的中点,F为线段CC1上的一点,且A1C⊥EF,则直线BF与直线A1C所成角的余弦值为　　　　　　.  11.[2026·福建福州一中高二月考] 已知=(1,2,1),=(2,0,1),点D在平面ABC内,则的坐标可以是 (　 ) A.(1,4,1) B.(3,2,2) C.(3,0,3) D.(4,2,6) 12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是 (　 ) A.平行 B.相交 C.异面且垂直 D.异面不垂直 13.[2026·湖南衡阳八中高二月考] 已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　 ) A.7 B.6 C.5 D.4 14.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(3,2,-1),B(m,1,n),C(2,p,q),其中m,n,p,q∈R,若四边形OABC为菱形,则 (　 ) A.m=5 B.p=-1 C.n=±2 D.q=±3 15.三棱锥A-BCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),则该三棱锥的外接球球心的坐标为　　　　　　.  16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知底面ABC是正三角形,且三角形ABC的边长为2,三棱柱的高为3. (1)建立适当的空间直角坐标系,标出所有顶点的坐标; (2)取AA1的中点E,BC的中点F,求,; (3)在(2)的条件下,求cos<,>的值. 17.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D.若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在Oxy,Oyz,Ozx坐标平面上的正投影图形的面积,则 (　 ) A.S2<S1<S3 B.S3<S1<S2 C.S3<S2<S1 D.S1<S3<S2 18.[2026·北京一零一中学高二期中] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,P是正方形ABCD及其内部的动点,PA≥PC1,则满足条件的点P构成的图形的面积为 (　 ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $