第3章 03 3.2 双曲线 02 3.2.2 双曲线的简单几何性质 01 第1课时 双曲线的简单几何性质 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 考点一　由双曲线方程研究几何性质 1.双曲线C:-=1的虚轴长为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.3 D.6 2.[2026·学军中学高二期中] 双曲线-=1的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 3.(多选题)[2026·重庆七校高二期中] 下列有关双曲线 -=1的说法正确的是 (　 ) A.双曲线的虚轴长为4 B.双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C.双曲线的焦点到渐近线的距离为4 D.经过焦点的最短弦长为6 4.直线x+y=0是双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且双曲线的一个顶点和一个焦点到渐近线的距离之和为,则该双曲线的虚轴长为　　　　.  考点二　由双曲线的几何性质求标准方程 5.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)双曲线的一条渐近线的方程为y=x,实轴长为4; (2)与椭圆+=1有相同的焦点,且一个顶点为(2,0); (3)经过点A(3,-2),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线. 考点三　求双曲线的离心率的值或取值范围 6.[2026·厦门双十中学高二期中] 双曲线3x2-y2=m(m≠0)的离心率为 (　 ) A. B. C.2 D.或2 7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(4,2),则此双曲线的离心率为 (　 ) A. B.2 C. D. 8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线的左支上存在一点P,使得FP的中点M满足|OM|=c,则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　.  9.[2026·福建龙岩一中高二月考] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且∠F1PF2=,|PF1|=2|PF2|,则该双曲线的离心率e=　　　　.  10.已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若直线AB的斜率为3,则C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 11.[2026·湖南长郡中学高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是 (　 ) A.[3,+∞) B.(1,2] C.(1,] D.(1,3] 12.[2026·北京人大附中高二月考] 如图,一个玩具由矩形竖屏、底面圆盘及斜杆构成,竖屏垂直于圆盘且固定不动,圆盘可以转动,斜杆以恰当的方式固定在圆盘上,可随着圆盘转动.当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时,斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙,所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具.若斜杆与圆盘所成角的大小为60°,斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1 cm,则合适孔隙的曲线的标准方程可能是 (　 ) A.x2-=k(k>0) B.x2-=k(k>0) C.x2-=k(k>0) D.x2-=k(k>0) 13.(多选题)设双曲线E:x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2.若P为E上的一点,且位于第一象限,直线PA1交y轴于点Q,记△PA1A2的面积为S,则 (　 ) A.tan∠PA1A2·tan∠PA2A1=1 B.∠PA2Q=90° C.若|A1A2|=|A2P|,则|A1P|=2 D.若∠A1PA2=30°,则S= 14.[2026·重庆七校联盟高二期中] 已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2| ,线段PF1的中垂线过F2,记椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+的取值范围是　　　　.  15.如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M. (1)若直线AM与直线BM的斜率之积是,试求点M的轨迹方程; (2)若直线AM与直线BM的斜率之积是-,试求点M的轨迹方程. 16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线C上的一点,P与F1恰好关于C的一条渐近线y=2x对称,且|PF2|=2,则△PF1F2的面积为　　　　　　.  17.已知函数f(x)=x+(x≠0)的图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到,则曲线C:xy=x2+1的离心率为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.D　[解析] 由双曲线C的方程-=1,得b2=9,所以b=3,所以双曲线C的虚轴长为2b=6.故选D. 2.B　[解析] 双曲线-=1的渐近线方程是-=0,即 y=±x.故选B. 3.CD　[解析] 由-=1,得a2=9,b2=16,c2=a2+b2=25,则a=3,b=4,c=5,所以双曲线的虚轴长为2b=8,故A错误;双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=2,故B错误;双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0,则焦点F1(-5,0)到渐近线4x±3y=0的距离d==4,故C正确;当过焦点的直线与双曲线相交于一支时,最短的弦长为=,当过焦点的直线与双曲线相交于两支时,最短弦长为2a=6,因为>6,所以经过焦点的最短弦长为6,故D正确.故选CD. 4.2　[解析] 由双曲线的渐近线方程知=,∴b=a,c==2a,则顶点到渐近线的距离d1== ,焦点到渐近线的距离d2==,则+=,所以a=1,c=2,b=,故该双曲线的虚轴长为2. 5.解:(1)因为实轴长2a=4,所以a=2.若该双曲线的焦点在x轴上,则=,得b=2,所以该双曲线的标准方程为-=1;若该双曲线的焦点在y轴上,则=,得b=,所以该双曲线的标准方程为-=1. 综上可得,双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)因为椭圆+=1的焦点为(-3,0),(3,0), 所以双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),所以c=3. 设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0), 因为双曲线的一个顶点为(2,0),所以a=2, 则a2=4,b2=c2-a2=9-4=5, 所以双曲线的标准方程为-=1. (3)设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). 因为该双曲线过点A(3,-2), 所以9-4=λ,解得λ=5,故双曲线的标准方程为-=1. 6.D　[解析] 当m>0时,双曲线方程变形为-=1,则a2=,b2=m,所以双曲线的离心率e====2.当m<0时,双曲线方程变形为-=1,则a2=-m,b2=-,所以双曲线的离心率e====.故选D. 7.C　[解析] 由题可得双曲线的渐近线方程为y=±x,所以点(4,2)在直线y=x上,可得=2,所以双曲线的离心率e==.故选C. 8.　[解析] 设双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,连接PF1,因为O,M分别为F1F,PF的中点,所以|PF1|=2|OM|=c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c-a,所以c≥c-a>0,解得1<≤,故该双曲线的离心率e的取值范围是. 9.　[解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=2x.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2x-x=2a, 即x=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,又|F1F2|=2c,∠F1PF2=, 在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=, 即=,可得c=a,故该双曲线的离心率e==. 10.A　[解析] 由题可知F(c,0),A(a,0),将x=c代入-=1(a>0,b>0),得y=±,又直线AB的斜率为3,所以B,所以=3,可得=3,解得c=2a或c=a(舍去),即a2+b2=4a2,所以=,则C的渐近线方程为y=±x.故选A. 11.D　[解析] 设|PF2|=r,则|PF1|=r+2a,所以==r++4a≥8a,当且仅当r=2a时取等号.由2a=r≥c-a,得e=≤3,又e>1,所以1<e≤3.故选D. 12.B　[解析] 由斜杆与圆盘所成的角为60°,得斜杆与竖屏(即与竖屏所在平面)所成的角为30°,则渐近线与x轴正方向的夹角为60°,所以渐近线斜率k1=tan 60°=,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=,所以b2=3a2,所以双曲线的方程为-=1.观察各选项,只有x2-=k(k>0)满足题意.故选B. 13.BC　[解析] 由题可知A1(-1,0),A2(1,0),设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=+1,直线PA1的斜率k1=,直线PA2的斜率k2=.对于A,tan∠PA1A2·tan∠PA2A1=-k1k2=-·=-=-1,故A错误;对于B,直线A2Q的斜率k3=-k1,则k2k3=-1,所以∠PA2Q=90°,故B正确;对于C,由对称性得∠PA1A2=∠QA2A1,由|A1A2|=|A2P|,得∠PA1A2=∠A2PA1,因为∠PQA2+∠A1PA2=90°,所以∠PA1A2=∠QA2A1=∠A1PA2=30°,所以|A1P|=2|A1A2|cos 30°=2,故C正确;对于D,由∠A1PA2=30°,得∠PQA2=60°,所以∠PA1A2=∠QA2A1=30°,所以|A2P|=|A1A2|=2,∠PA2A1=120°,所以S=|A1A2|·|A2P|sin 120°=,故D错误.故选BC. 14.(2,4)　[解析] 设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,椭圆与双曲线的焦距为2c. 根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a1①, 根据双曲线的定义,可得||PF1|-|PF2||=2a2,又|PF1|>|PF2|,所以|PF1|-|PF2|=2a2②, 由①②可得|PF2|=a1-a2, 又线段PF1的中垂线过F2,所以|F1F2|=|PF2|=2c, 所以a1-a2=2c,所以-=2,即-=2,所以=2+, 所以+=2++=2+. 根据双曲线的性质,可得e2>1,所以0<<1,所以2<2+<4,即2<+<4, 所以+的取值范围是(2,4). 15.解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标为(-5,0), 所以直线AM的斜率为kAM=(x≠-5), 同理,直线BM的斜率为kBM=(x≠5). (1)由题意知,kAM∙kBM=,即×=(x≠±5), 化简得点M的轨迹方程为-=1(x≠±5). (2)由题意知,kAM·kBM=-,即×=-(x≠±5), 化简得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5). 16.4　[解析] 如图,设线段PF1的中点为M,则OM⊥PF1(O为坐标原点),又O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以OM∥PF2,|OM|=|PF2|=1,所以PF1⊥PF2.由双曲线C的一条渐近线为y=2x,得=2,所以|MF1|=2,所以|PF1|=2|MF1|=4,所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=×4×2=4.故选D. 17.-　[解析] 因为xy=x2+1,所以y=x+, 当x为正数且趋向于正无穷大时,其图象不断接近于直线y=x,所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线y=x, 曲线C的焦点所在直线与渐近线的夹角为=15°,则=tan 15°=tan(45°-30°)=2-, 所以e2==1+=1+=8-4,所以e=-. 学科网（北京）股份有限公司 $