3.2.2双曲线的简单几何性质基础题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（） A. B. C. D. 2.双曲线的顶点坐标为（） A.， B.， C.， D.， 3.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（） A.或 B.或 C.或 D.或 4.（2025-2026·湖南高二上期末）已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（） A. B. C. D. 5.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知双曲线x2－y2＝4，若过点P作直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则点P的坐标可能是(　　) A.(1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2) 7.（2025-2026·安徽芜湖高二上月考）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A.2 B. C. D.3 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）下列双曲线中，以直线为渐近线的是（） A. B. C. D. 10.（2025-2026·湖南常德高二上期末）已知双曲线的上焦点为，直线是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（） A.到的距离为 B.的焦距为 C.的离心率为 D.若，则的最小值为 11.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（） A.2 B.3 C. D. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为                   ． 13.（2025-2026·湖南高二上期中）已知双曲线的右焦点为，则点到的一条渐近线的距离为                   ． 14.设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知双曲线的离心率是，焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点），求的值. 16.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点. (1) 求双曲线标准方程 (2)点为双曲线右支上第一象限的点，轴，点为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线方程 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为， 将点代入方程，得， 所以双曲线方程为. 故答案选：C. 2.双曲线的顶点坐标为（） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】双曲线方程为,可得,即. 由于双曲线的焦点在轴上,因此顶点坐标为和. 3.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A 【解析】由， 设，，. 若圆锥曲线为椭圆， 由椭圆定义得， 由得， 故离心率. 若圆锥曲线为双曲线， 由双曲线定义得， 即， 由得， 从而离心率. 故选：A. 4.（2025-2026·湖南高二上期末）已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由双曲线得，. 所以，. 焦点在轴的双曲线渐近线方程为. 代入得. 故选：A. 5.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】联立，整理得. 当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，若，得，此时方程化为，解得，符合仅有一个公共点的条件. 若，则方程为一元二次方程，直线与双曲线相切时仅有一个公共点，由，化简解得. 由此可得直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为，故”或“能推出”直线与双曲线有且仅有一个公共点”，反之不成立，因此是充分不必要条件. 故选：A. 6.已知双曲线x2－y2＝4，若过点P作直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则点P的坐标可能是(　　) A.(1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2) 【答案】B 【解析】设A(x1,y1), B(x2,y2)，P(x0,y0).由题意得 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0， 所以2x0(x1-x2)-2y0(y1-y2)=0，所以=k=. 当点P的坐标为(1,2)时，k=，直线AB的方程为y-2=,所以y=. 把y=代入双曲线方程得Δ0. 对于选项A,C,D中点P的坐标，经检验知不满足Δ0.故选B. 7.（2025-2026·安徽芜湖高二上月考）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由双曲线得实半轴长，半焦距， 左、右焦点为，， 设圆与三边，，分别相切于点，，， 由切线长定理得. 结合，解得，， 计算得，故点坐标为. 因为轴，内切圆半径为，在第一象限， 所以坐标为，计算得. 为的内心，故平分， 即直线的倾斜角为， 由此得. 故选：D. 8.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A.2 B. C. D.3 【答案】C 【解析】设，，， 代入双曲线方程得，两式作差整理得，变形得. 直线斜率，结合中点性质，， 代入得， 故. 设直线倾斜角为，得， 由是以为底边的等腰三角形，得直线的倾斜角为， 故. 由二倍角公式得， 代入化简得，结合得， 故离心率. 故选：C. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）下列双曲线中，以直线为渐近线的是（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】对于选项A： 由双曲线方程,得其标准形式为,其中. 因为焦点在轴上的双曲线渐近线方程为, 故渐近线方程为,与题设渐近线一致,所以选项A正确. 对于选项B： 由双曲线方程,得其标准形式为,其中. 因为焦点在轴上的双曲线渐近线方程为, 故渐近线方程为,与题设渐近线不一致,所以选项B错误. 对于选项C： 由双曲线方程,得其标准形式为,其中. 因为焦点在轴上的双曲线渐近线方程为, 故渐近线方程为,与题设渐近线不一致,所以选项C错误. 对于选项D： 由双曲线方程,得其标准形式为,其中. 因为焦点在轴上的双曲线渐近线方程为, 故渐近线方程为,与题设渐近线一致,所以选项D正确. 答案为 AD. 10.（2025-2026·湖南常德高二上期末）已知双曲线的上焦点为，直线是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则（） A.到的距离为 B.的焦距为 C.的离心率为 D.若，则的最小值为 【答案】CD 【解析】因为双曲线的渐近线方程为,而直线是渐近线, 所以,解得,故的标准方程为. 对于选项A：焦点到直线的距离为,故A错误. 对于选项B：焦距为,故B错误. 对于选项C：离心率,故C正确. 对于选项D：设下焦点为,由双曲线定义得, 即,所以, 其中, 故最小值为,当、、共线时取得,故D正确. 11.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（） A.2 B.3 C. D. 【答案】AD 【解析】双曲线的渐近线方程为，分两种情况讨论直角顶点. 时，联立直线与渐近线方程，解得，即. 由，代入坐标化简得，整理得，解得，故. 时，由直角性质得，代入渐近线方程得，即. 将代入直线方程得，化简得，即，从而. 综上，双曲线的离心率可能为或. 故选：AD. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期末）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为                   ． 【答案】 【解析】由题意设双曲线的方程为，整理得. 由双曲线性质得，故，得双曲线的右焦点坐标为. 因为右焦点在直线上，代入坐标得，解得. 将代入所设方程化简得双曲线的标准方程为. 故答案为：. 13.（2025-2026·湖南高二上期中）已知双曲线的右焦点为，则点到的一条渐近线的距离为                   ． 【答案】2 【解析】由双曲线得，即，右焦点坐标为. 双曲线的渐近线方程为，取其中一条渐近线化为一般式，由点到直线距离公式计算得距离. 故答案为：. 14.设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线与交于另一点，若，，则的离心率为                   . 【答案】 【解析】连接，，设，得，由双曲线定义得，. 设，得，. 由，在中，，代入得，整理得，①. ，在中，，代入得，整理得，②. 由②①得，，故，得，. 在中，，即，化简得. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知双曲线的离心率是，焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点），求的值. 【答案】(1) 解：由双曲线离心率为、焦距为, 得. 得. 由, 得. 故双曲线的方程为. (2) 解：设. 联立, 消去得. 由直线与双曲线交于两点, 得, 即且. 由韦达定理,. 结合, 由, 得, 整理为. 将韦达定理结果代入, 得, 化简得, 得,满足且. 故. 16.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点. (1) 求双曲线标准方程 (2)点为双曲线右支上第一象限的点，轴，点为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线方程 【答案】解：(1)由离心率得，结合， 整理得. 将点代入双曲线方程，结合化简得， 解得， 从而， 故双曲线标准方程为. (2)由，得， 即，右焦点的横坐标为. 由轴得的横坐标为， 代入双曲线方程得， 解得， 因为在第一象限， 故， 即. 双曲线左顶点为， 计算得直线的斜率， 由点斜式整理得直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $