专题7 椭圆、双曲线的离心率（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

专题7　椭圆、双曲线的离心率 1.A　2.C 3.B　设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，则A1F＝a－c，A1A2＝2a. 易知球的直径4是△PA1A2内切圆的直径. 在直角三角形中，内切圆直径等于两直角边的和与斜边的差， 即PA1＋A1A2－PA2＝4，且PA1＝5，P＋A2＝P， 即PA2－A2A1＝1，25＋A2＝P，A2A1＝12. 所以a＝6. 又易知a－c＝2，所以c＝4. 所以球的直径与A1A2的比， 所以椭圆的离心率为e＝＝. 4.B　由题可知，｜F1F2｜＝2c. 又因为∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，故｜PF2｜＝，｜PF1｜＝. 又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝＝2a，故e＝＝. 5.A　令椭圆半焦距为c，由左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，得b＝c，则a＝＝2c，所以所求离心率e＝＝. 6.D　如图，A（－a，0），M（－a，2b），N（a，2b）， 所以kAMkAN＝·＝＝－＝－4，则＝4， 所以双曲线C的离心率e＝＝. 7.B　由已知可得M（b，0），N（0，a），F（0，c）. 线段NF的垂直平分线的方程为y＝，过M，N，F三点的圆恰与x轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过M，N，F三点的圆的方程为（x－b）2＋＝. N（0，a）在圆上，所以（0－b）2＋＝， 整理得b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0， 化为e2＋e－1＝0，由0＜e＜1，解得e＝. 8.D　因为点P在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2＝90°. 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，由题意不妨设P在第一象限，则 由得2（m2＋n2）＝8c2＝4a2＋c2，化简可得＝， 所以离心率e＝＝＝. 9.D　椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即｜FP｜＝｜FA｜. 又｜FA｜＝－c＝，｜PF｜∈， ∴∈[a－c，a＋c]. ∴ac－c2≤b2＝a2－c2≤ac＋c2，∴ 整理得 又e∈（0，1），解不等式得≤e＜1. 10.B　由已知得F1（－c，0），F2（c，0），设P（x0，y0），则＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0）， 因为·＞0，所以（－c－x0，－y0）·（c－x0，－y0）＞0，即－c2＋＋＞0，即＋＞c2. 因为点P是椭圆上的任意一点，所以＋表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 因为（＋）min＝b2，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，即＜，所以e＝∈.故选B. 11.B　根据双曲线方程可得，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0. 设P（x0，y0），PA的中点为Q，由A（－2，0），得Q. 因为Q在渐近线上，所以b·±a·＝0，即bx0±ay0－2b＝0， 所以点P为圆M与直线bx±ay－2b＝0的公共点. 由题意圆M的圆心为（2，4），半径为2， 则圆心M到直线bx±ay－2b＝0的距离d＝＝＝， 所以d＝≤r＝2，解得e＝≥2. 所以C的离心率的取值范围为[2，＋∞）. 12.　解析：设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），F2（c，0）.由题意得，A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）， 则＝（a，－b），＝（－c，－b）. 因为∠B1PA2为向量与的夹角，且∠B1PA2为钝角， 所以·＜0，所以b2－ac＜0. 又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＜0， 即1－e－e2＜0，解得e＜或e＞， 因为e∈（0，1），所以＜e＜1. 13.D　｜F1F2｜＝2，设双曲线的方程为－＝1. ∵｜AF2｜＋｜AF1｜＝4，｜AF2｜－｜AF1｜＝2a， ∴｜AF2｜＝2＋a，｜AF1｜＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°， ∴＋＝， 即（2－a）2＋（2＋a）2＝（2）2， ∴a＝，∴e＝＝＝. 故选D. 14.B　因为椭圆＋＝1（b＞0）与双曲线－＝1（a＞0）有公共焦点，设F（c，0）， 则c2＝9－b2＝a2＋4，则a2＝5－b2，直线OP的方程为y＝x，即2x－ay＝0， 点F到直线OP的距离为｜FP｜＝＝2. 设椭圆的左焦点为E，连接PE，则｜PE｜＝6－｜PF｜＝4. 在Rt△OPF中，cos∠OFP＝＝， 在△PEF中，由余弦定理可得cos∠EFP＝＝＝， 所以＝，解得c＝，因此，椭圆的离心率为＝.故选B. 15.　解析：因为AO的中点M为双曲线的左顶点，所以a＝2m， 椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足PF1⊥PF2， 所以 可得 所以a2＋m2＝2c2， 代入a＝2m可得＝，则椭圆的离心率e＝. 阶段验收（六）　3.2　双曲线 1.C　由已知得，双曲线的顶点（±a，0）到渐近线bx±ay＝0的距离d＝＝，故＝，e＝＝2.故选C. 2.C　由题意知，双曲线的方程为－＝1，椭圆的标准方程为＋＝1， 椭圆的焦点在x轴上，且a2＝24，b2＝18，所以c2＝a2－b2＝6. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以m＞0，且m＋m＝c2＝6，解得m＝3. 3.C　因为PF1⊥PF2，所以＝·｜PF1｜｜PF2｜＝8，即｜PF1｜｜PF2｜＝16， 由双曲线定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，所以＋－2｜PF1｜｜PF2｜＝4a2， 即＋＝4a2＋32， 又＋＝4c2，所以4a2＋32＝4c2， 所以4b2＝32，解得b＝2. 故选C. 4.C　依题意，PF1⊥PF2，双曲线C：－＝1的半焦距c＝， 由cos∠PF2F1＝，得｜PF2｜＝｜F1F2｜＝，则｜PF1｜＝，而｜PF1｜－｜PF2｜＝2a， 于是c＝5a，即5a＝，解得a＝，c＝，而点O是线段F1F2中点， 所以点O到直线PF1的距离为｜PF2｜＝＝. 故选C. 5.B　根据题意，F（0，－2）是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），且M（x1，y1），N（x2，y2）. 由已知条件易得直线l的斜率k＝kPF＝＝1，则有＝1， 变形可得y1－y2＝x1－x2.因为M，N两点在双曲线上，所以 两式相减得－＝0.又因为MN的中点为P（3，1）， 所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，化简得b2＝3a2. 又因为c＝2，所以a2＋b2＝4，解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线的方程为y2－＝1. 故选B. 6.A　在△F1PF2中， 由e＝＝＝ ＝＝ ＝·. 因为θ∈，所以＋θ∈， 所以cos∈，所以e∈.故选A. 7.BD　曲线C1：4x2＋3y2＝48整理得＋＝1， 则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中＝16，＝12， 所以＝－＝4，离心率为e1＝＝＝， 故曲线C1的长轴长2a1＝8，故A错误； 曲线C2：x2－＝1是焦点在x轴上的双曲线，其中＝1，＝3， 所以＝＋＝4，离心率为e2＝＝＝2，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误； C2：x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，故B正确； 又e1·e2＝×2＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确. 8.ACD　由题知A（－，0），B（，0），焦点为（±3，0）， 以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆，其参数a＝3，c＝， 则方程为＋＝1，则A正确； 由方程知双曲线C的离心率为＝，则B错误； 令P（m，n），则Q（m，－n），则kAPkBQ＝·＝－， 又－＝1，则n2＝4，则kAPkBQ＝－＝－，则C正确； 由双曲线渐近线方程为y＝±x，即2x±y＝0，则焦点到渐近线的距离为＝2，则D正确.故选A、C、D. 9.2　解析：双曲线－＝1，则a2＝4，b2＝5， 所以c＝＝＝3，所以双曲线的右焦点为（3，0）， 所以右焦点（3，0）到直线y＝2x＋4的距离为＝＝2. 10.　解析：由题意可知PF1⊥PF2，∴＋＝. 在双曲线中，设｜PF1｜＝t（t＞2a），则｜PF2｜＝t－2a，｜F1F2｜＝2c， 又∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，即t＋t－2a＝×2c，∴t＝c＋a. 由＋＝，可得t2＋（t－2a）2＝（2c）2，即t2－2at＋2a2－2c2＝0， ∴－2a＋2a2－2c2＝0， 即c2＋ac＋a2－ac－2a2＋2a2－2c2＝0， ∴a2＝c2，即＝，＝＝. 所以所求渐近线的斜率为. 11.解：（1）不妨设双曲线的一个焦点坐标为（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，即bx＋ay＝0， 依题意＝1，结合c2＝a2＋b2，解得b＝1.（2分） 又离心率e＝＝＝，所以a2＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1.（4分） （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意得x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 又－＝1，－＝1，两式相减得－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，（7分） 所以kAB＝＝＝＝1.（9分） 又直线l过点M（4，1），所以直线l的方程为y－1＝x－4，（11分） 即x－y－3＝0，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.（13分） 12.解：（1）因为双曲线的实轴长为6，所以a＝3. 因为双曲线的离心率为，所以＝，解得c＝2.（3分） 由a2＋b2＝c2，得b＝，则C的方程为－＝1.（4分） （2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），因为直线l过定点B（－2，0），显然直线l不垂直于y轴，则设直线l：x＝my－2（m≠±）， 联立方程组消去x得（m2－3）y2－4my－5＝0.（8分） 由Δ＝16m2＋20（m2－3）＞0，得m2＞， 则y1＋y2＝，y1y2＝.（10分） 因为A为双曲线C的左顶点，所以A（－3，0）， 直线AE的斜率kAE＝，直线AF的斜率kAF＝，（12分） 所以kAE·kAF＝ ＝ ＝ ＝＝＝，（14分） 即直线AE与AF的斜率之积为定值.（15分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7　椭圆、双曲线的离心率 [编者按]　离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是解析几何中的常见问题，解决离心率问题的基本方法有：（1）直接求出a，c，利用定义求出e.（2）求出或.①椭圆中，利用e＝求离心率；双曲线中，利用e＝求离心率，注意双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.②利用代数或几何关系，得到关于a，c的方程（或不等式），利用pc2＋qac＋ra2＝0（或不等式pc2＋qac＋ra2≥0）求离心率，两边同时除以a2，得到关于e的方程（或不等式）. 　 直接由a，c的值求离心率 　　若已知椭圆（双曲线）方程或能直接依据已有条件求出a，c的值，可以直接代入离心率的公式e＝. 1.已知A（－1，0），B（1，0），对曲线C上的任意一点P恒有｜PA｜＋｜PB｜＝4，则C的离心率e为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D.2 2.已知双曲线C：－＝1（b＞0）经过点，则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C. D. 3.[模块融合]如图，直径为4的球放在地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆.已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于地面且与球相切，PA1＝5，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 由a，b，c的关系求离心率 　　利用代数关系，如椭圆（｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a）和双曲线定义（＝2a）、正余弦定理等得到相应的代数关系，化简得到或；利用几何关系，如线段长度相等、特殊的三角形、点在曲线上等化简得到或. 4.（2026·浙江金华期中）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥x轴，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 5.（2026·福建四重点校联考）以椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点和上顶点为顶点的三角形是正三角形，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 6.（2026·江苏南通期中）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，直线y＝2b与双曲线C交于点M，N，若直线AM与AN的斜率之积是－4，则双曲线C的离心率是（　　） A.2 B. C. D. 7.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点、上顶点和上焦点分别是M，N，F.若x轴恰与过M，N，F三点的圆相切，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 8.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜，则双曲线E的离心率为（　　） A. B. C. D. 由a，b，c的关系求离心率的取值范围 　　利用椭圆和双曲线中的参数的关系、三角形三边关系、基本不等式、判别式、线段长度关系、特殊点的存在性等建立关于a，b，c的不等式，即可求出离心率的取值范围. 9.（2026·辽宁沈阳期中）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，且满足·＞0，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　） A. B.（0，） C.（，） D.（，1） 11.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），A（－2，0），若圆M：（x－2）2＋（y－4）2＝4上存在点P使得PA的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（　　） A.（1，2] B.[2，＋∞） C.（1，3] D.[3，＋∞） 12.如图，椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　　. 共焦点椭圆与双曲线的离心率 　　共焦点的椭圆与双曲线问题，常结合二者的定义建立方程组解答.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则有 其中a为椭圆的长半轴长，m为双曲线的实半轴长. 13.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 14.已知椭圆＋＝1（b＞0）与双曲线－＝1（a＞0）有公共焦点，F为右焦点，O为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点P，且满足OP⊥FP，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 15.椭圆＋＝1（a＞b＞0）与双曲线－＝1（m，n＞0）有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，AO的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率e＝　　　　. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $