第3章 04 专项突破练五 椭圆与双曲线的离心率问题 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

专项突破练五　椭圆与双曲线的离心率问题 【类型综述】 离心率问题是任何解析几何的核心内容之一,其本质是寻找图形中的等量关系,求出a,b,c中任意两个,利用公式或寻找a,b,c的关系,转化为关于e的方程或不等式求解. (1)定义法或公式法求离心率:根据条件求出a,b,c三个量中的任何两个量,然后利用离心率的计算公式求解. (2)利用椭圆、双曲线中的焦点三角形求离心率:在椭圆、双曲线的焦点三角形中,利用椭圆、双曲线的定义及几何图形的性质,求出a,c或a,c的关系计算求解. (3)利用a,b,c齐次式求离心率:将题目中所有几何条件(长度、角度、垂直、平行、比例关系等)最终转化为一个只包含基础量a,b,c的方程.由于离心率 e=,且圆锥曲线中a,b,c 存在固有关系(椭圆:c2=a2-b2;双曲线:c2=a2+b2),目标就是将方程化为关于 e 的方程. (4)利用余弦定理求离心率:在给出的焦点三角形中,已知某些角度时,可以考虑使用余弦定理,通过建立三角形边角之间的关系,并结合圆锥曲线的定义最终消去变量,得到关于离心率的方程.若有两个三角形共边时,还可以多次使用余弦定理来解决. (5)利用正弦定理求离心率:当焦点三角形中已知多个角的关系(特别是顶角θ和底角α,β的关系)时,正弦定理法是最优选择. (6)求离心率的范围:①焦半径的取值范围;②圆锥曲线上的坐标的取值范围;③焦点三角形的顶角的取值范围;④与圆锥曲线有交点,联立得到的范围等.根据以上这些条件,构建离心率的不等式,从而得到离心率的范围. 【针对训练】 1.双曲线C:-=1的离心率为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2 2.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2026·长郡中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线2x-y+2=0平行,则C的离心率为 (　 ) A.2 B. C. D.3 4.若椭圆C:+=1(a>b>0)上存在一点P,使得P到其左、右焦点的距离之比为4∶1,则C的离心率的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2026·江苏天一中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F1作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,且|DF2|=2|OD|,则C的离心率为 (　 ) A. B. 2 C. D. 3 6.已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l:x-2y+2=0与C交于A,B两点,且与x轴和y轴分别交于E,F两点,若|AE|=|BF|,则C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 7.[2026·阳泉高二期末] 已知F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1和C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从F1,F2,A,B,C,D这六点中可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M的离心率的可能取值为 (　 ) A. B. C. D. 9.(多选题)[2026·河北石家庄、张家口等高二联考] 设双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,圆C:x2+y2=a2,过点F1作圆C的切线与双曲线E交于M,N两点,且tan∠F1NF2=,则双曲线E的离心率可能为　　 (　 ) A. B. C. D. 10.[2026·湖北华师大一附中高二期末] 若直线y=x+1与双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两支各有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围为　　　　.  11.[2026·重庆一中高二期中] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0),若在圆M:(x+2)2+(y-5)2=4上存在点P,使得PF2的中点在C的渐近线上,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　　　.  12.[2026·厦门双十中学高二期中] 若F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为　　　　　.  13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别是F1,F2,下顶点为A,射线AF2交椭圆C于点B,△ABF1的内切圆与BF1相切于点P,若=,则椭圆C的离心率为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练五　椭圆与双曲线的离心率问题 1.A　[解析] 因为双曲线C:-=1,所以a=2,b=2,所以c2=a2+b2=20,所以c=2,所以双曲线C的离心率为==.故选A. 2.A　[解析] 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=,|PF1|=.在△PF1F2中,由余弦定理得=+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=a2+a2-2×××,整理可得4c2=,所以e2==,所以e=.故选A. 3.C　[解析] 由题意知,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为双曲线的一条渐近线与直线y=2x+2平行,所以=2,则e====,即双曲线C的离心率为.故选C. 4.C　[解析] 设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,∵椭圆C:+=1(a>b>0)上存在一点P,使得P到其左、右焦点的距离之比为4∶1,∴|PF1|=4|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=a,|PF2|=a,∴a-c≤|PF2|=a≤a+c,解得≤,即≤e,又椭圆的离心率的取值范围为(0,1),∴e的取值范围为.故选C. 5.D　[解析] 由题知F1(-c,0),F2(c,0),双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0. 由点到直线的距离公式可得|DF1|===b,由勾股定理得|OD|===a.在Rt△DOF1中,∠ODF1=,则cos∠DOF1==.在△DOF2中,|OD|=a,|DF2|=2a,|OF2|=c,cos∠DOF2=cos(π-∠DOF1)=-cos∠DOF1=-,由余弦定理得cos∠DOF2===-,整理得c2=9a2,所以c=3a,所以双曲线C的离心率e==3.故选D. 6.B　[解析] 方法一:由题可得E(-2,0),F(0,1),不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),y1<y2.由化简并整理得(4b2+a2)y2-8b2y+b2(4-a2)=0,令Δ=64b4-4b2(4b2+a2)(4-a2)=4a2b2(4b2-4+a2)>0,得a2+4b2>4,所以y1+y2=.因为|AE|=|BF|,所以-y1=(y2-1),所以y1+y2==1,则a2=4b2=b2+c2,所以c2=3b2=3(a2-c2),即4c2=3a2,所以C的离心率e==. 方法二:设EF的中点为D,因为|AE|=|BF|,所以EF和AB的中点重合.由l:x-2y+2=0,得E(-2,0),F(0,1),则D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则且kl==,由+=1,+=1,两式相减得+=0,即+=0,所以=-=×,即a2=4b2=4a2-4c2,则e2==,所以e==.故选B. 7.D　[解析] 由C1:+y2=1,可得a=3,b=1,则c===2,因为四边形AF1BF2是矩形,所以+=(2c)2=32,由A在椭圆C1上,得|AF2|+|AF1|=2a=6,所以(|AF2|-|AF1|)2=2(+)-(|AF2|+|AF1|)2=64-36=28,所以||AF2|-|AF1||=2.设双曲线C2的实轴长为2m,则2m=2,即m=,所以双曲线C2的离心率e===.故选D. 8.BC　[解析] 如图所示,直角可能性有5种:①∠F1BF2=∠F1DF2=90°;②∠F1BA=∠F1DA=∠F2BC=∠F2DC=90°;③∠CBA=∠CDA=90°;④∠BF1D=∠BF2D=90°;⑤∠BCD=∠BAD=90°.当∠F1BF2=∠F1DF2=90°时,|OF1|=|OB|,即b=c,则a==c,则e===;当∠F1BA=∠F1DA=∠F2BC=∠F2DC=90°时,+|AB|2=,即b2+c2+b2+a2=(c+a)2,则a2-ac-c2=0,解得a=c,又a>c>0,所以a=c,所以e===;当∠CBA=∠CDA=90°时,|BC|2+|BA|2=|AC|2,即2(a2+b2)=4a2,则a2=b2,又a>b>0,所以不符合题意;当∠BF1D=∠BF2D=90°时,|BF1|2+|DF1|2=|BD|2,即2(c2+b2)=4b2,则b=c,所以a==c,所以e===;当∠BCD=∠BAD=90°时,|BC|2+|DC|2=|BD|2,即2(a2+b2)=4b2,解得a2=b2,又a>b>0,所以不符合题意.综上,椭圆M的离心率可能为或.故选BC. 9.BC　[解析] 当tan∠F1NF2=>时,点M,N在双曲线的左支上.过点F1作圆C的切线,切点为B,连接OB,则MN⊥OB.过点F2作F2A⊥MN,垂足为A,由题可知|OB|=a,|OF1|=c,则|F1B|===b,因为OB∥F2A,且O为F1F2的中点,所以|F2A|=2a,|AF1|=2b,由tan∠F1NF2=,得|NA|==a,|NF2|=a.由双曲线的定义得|NF2|-|NF1|=2a,即a-=2a,所以2b=a,所以e===,故B正确. 当tan∠F1NF2=<时,点M在双曲线的左支上,点N在双曲线的右支上.过F1作圆C的切线,切点为B,连接OB,则MN⊥OB.过点F2作F2A⊥MN,垂足为A,同上可得,|OB|=a,|OF1|=c,|F1B|=b,|F2A|=2a,|AF1|=2b,由tan∠F1NF2=,得|NA|==a,|NF2|=a.由双曲线的定义得|NF1|-|NF2|=2a,即a+2b-a=2a,所以2b=3a,所以e===,故C正确.故选BC. 10.(,+∞)　[解析] 联立直线和双曲线方程,得(b2-a2)x2-2a2x-a2-a2b2=0, 设直线和双曲线的交点的横坐标为x1,x2, 则x1x2=<0,且Δ=(2a2)2-4(b2-a2)(-a2-a2b2)>0, 所以b2>a2,即c2-a2>a2,即c2>2a2, 所以e2>2,即e>. 故离心率的取值范围为(,+∞). 11.　[解析] 由双曲线C:-=1的右焦点为F2(2,0),得c=2.圆M:(x+2)2+(y-5)2=4的圆心为M(-2,5),半径r=2.设P(m,n)为圆M上的一点,则PF2的中点坐标为,因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=±,即n=±(m+2),所以圆心M(-2,5)到直线y=±(x+2)的距离d=≤2,即4≥25,可得≥,所以e2===1+≥1+=,所以e≥,所以双曲线C的离心率的取值范围为. 12.　[解析] 根据双曲线的定义,可得|BF1|-|BF2|=2a, 因为△ABF2是等边三角形,所以|BF2|=|AB|, 所以|BF1|-|AB|=|AF1|=2a, 又|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF2|=|AF1|+2a=4a. 在△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,∠F1AF2=120°, 所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos 120°, 即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×=28a2,所以c=a, 所以双曲线的离心率e==. 13.　[解析] 设△ABF1的内切圆与F1A,BA分别相切于点M,N,则|F1M|=|F1P|,|AM|=|AN|,|BP|=|BN|,又|AF1|=|AF2|=a,所以|F1M|=|F2N|,即|F1P|=|F2N|,由椭圆的定义可得|BF1|+|BF2|=2a,即|BP|+|F1P|+|BF2|=|BP|+|NF2|+|BF2|=2|BP|=2a,所以|BP|=a,又=,所以|F1P|=a,所以|BF2|=a,|BF1|=a,|BA|=a,|AF1|=a.在△ABF1中,由余弦定理可得cos∠F1BA===.在△F1F2B中,由余弦定理可得cos∠F1BF2===,化简可得=,即700c2=175a2,所以=,所以椭圆C的离心率e==. 学科网（北京）股份有限公司 $