第3章 01 3.1 椭圆 01 3.1.1 椭圆及其标准方程 02 第2课时 轨迹问题 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

第2课时　轨迹问题 考点一　定义法求轨迹方程 1.已知坐标平面上的两点A(-1,0)和B(1,0),动点P到A,B两点的距离之和为常数3,则动点P的轨迹是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.射线 B.线段 C.圆 D.椭圆 2.设点M(0,-5),N(0,5),△MNP的周长为36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为 (　 ) A.+=1(x≠0) B.+=1(x≠0) C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0) 3.已知点P(x,y)的坐标满足+=t+(t>0),则点P的轨迹是 (　 ) A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段 考点二　相关点法求轨迹方程 4.如图,在圆x2+y2=9上任取一点P,过P作x轴的垂线段PD,垂足为D,并延长DP至M,使得|PM|=|DP|,则点M的轨迹方程是 (　 ) A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠±4) C.+=1(x≠±3) D.+=1(x≠±) 5.已知P为椭圆+=1上一动点,记原点为O,若=2,则点Q的轨迹方程为　　　　　　.  考点三　直接法求轨迹方程 6.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2,则点M的轨迹方程为 (　 ) A.y=-x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1) C.x=-y2+1(y≠±1) D.x=y2+1(y≠±1) 7.到y轴的距离等于1的点的轨迹方程为　　　　.  8.已知两点A(-5,0),B(5,0),动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,则点P的轨迹方程是　　　　　　　.  9.已知A(0,-1),B(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-t,t∈(0,1],求M的轨迹方程,并说明曲线的类型. 10.已知||=3,A,B分别在x轴和y轴上运动,O为坐标原点,=+,则点P的轨迹方程为 (　 ) A.x2+=1 B.+y2=1 C.+y2=1 D.x2+=1 11.已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,则点N的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 12.已知一动圆M与圆O1:(x+3)2+y2=4外切,同时与圆O2:(x-3)2+y2=100内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 13.(多选题)已知A(-a,0),B(a,0),l1:ax-y=0,l2:ax+y=0,其中a>1,点P为平面内一点,记点P到l1,l2的距离分别为d1,d2,则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是 (　 ) A.|PA|+|PB|=4a B.|PA|2+|PB|2=4a2 C.d1+d2=4a D.+=4a2 14.已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4,则复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为　　　　　　.  15.已知点P到定点F(-1,0)的距离与到定直线l:x=-4的距离之比为. (1)求点P的轨迹方程; (2)若∠PFO=120°(O为坐标原点),求△PFO的面积. 16.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,若点P是棱上一点,则满足|PA|+|PC'|=2的点P的个数为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.12 17.在△ABC中,sin B+sin C=2sin A,已知点B(-3,0),C(3,0),则点A到直线BC的最大距离为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　轨迹问题 1.D　[解析] 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2,因为动点P到A,B两点的距离之和为常数3,所以|PA|+|PB|=3>2=|AB|,由椭圆的定义可知动点P的轨迹是椭圆.故选D. 2.B　[解析] 由题意可知,△MNP的顶点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去上、下顶点),又c=5,2c+2a=36,所以a=13,则b2=a2-c2=144.故△MNP的顶点P的轨迹方程为+=1(x≠0).故选B. 3.D　[解析] 因为t>0,所以t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,又+=t+(t>0),所以+=t+(t>0).令F1(-2,0),F2(2,0),则=|PF2|,=|PF1|,即|PF1|+|PF2|=t+(t>0).当t=2时,|PF1|+|PF2|=4,又|F1F2|=4,所以此时点P的轨迹是线段F1F2;当t>0且t≠2时,|PF1|+|PF2|>4=|F1F2|,此时点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.综上所述,点P的轨迹是椭圆或线段.故选D. 4.C　[解析] 设M(x,y),则P,由题知x≠±3,又点P在圆x2+y2=9上,所以x2+=9,化简可得+=1,所以点M的轨迹方程是+=1(x≠±3).故选C. 5.+=1　[解析] 设点Q(x,y),由=2得P(2x,2y),又点P为椭圆+=1上的动点, 所以+=1,整理得+=1,所以点Q的轨迹方程是+=1. 6.A　[解析] 设M(x,y)(x≠±1),则kAM-kBM=-=2,整理得y=-x2+1(x≠±1),所以动点M的轨迹方程是y=-x2+1(x≠±1).故选A. 7.x=±1　[解析] 到y轴的距离等于1的点(x,y)满足|x|=1,即x=±1. 8.x2+y2-x+25=0　[解析] 设P(x,y),由题意可得=3,化简可得2x2+2y2-25x+50=0,即x2+y2-x+25=0. 9.解:设M(x,y),则kBM==(x≠0),kAM ==(x≠0).由kBM·kAM=-t,得·=-t(x≠0), 整理得+y2=1(x≠0),故M的轨迹方程为+y2=1(x≠0).当t∈(0,1)时,M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去A和B两点); 当t=1时,M的轨迹为圆(除去A和B两点). 10.A　[解析] 设P(x,y),A(a,0),B(0,b).由=+,可得(x,y)=(a,0)+(0,b)=,所以则所以||===3,化简可得x2+=1,所以点P的轨迹方程为x2+=1.故选A. 11.C　[解析] 连接NQ,如图所示.由题意知|NM|=|NQ|,|NP|+|NM|=6,则|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,故点N的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆.设其方程为+=1(a>b>0),则c=2,2a=6,则a=3,故b==,则椭圆的方程为+=1,即点N的轨迹方程为+=1.故选C. 12.A　[解析] 设动圆M的半径为R,因为动圆M与圆O1:(x+3)2+y2=4外切,同时与圆O2:(x-3)2+y2=100内切,所以|MO1|+|MO2|=2+R+10-R=12,又|MO1|+|MO2|>|O1O2|=6,所以动圆M是以原点为中心,焦点在x轴上的椭圆.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则解得所以b2=a2-c2=27,故椭圆的方程为+=1,即动圆圆心M的轨迹方程为+=1.故选A. 13.AD　[解析] 对于A,根据椭圆的定义得,|PA|+|PB|=4a>|AB|,所以点P的轨迹为椭圆,故A正确;对于B,设P(x,y),则由(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=4a2,可得x2+y2=a2,所以点P的轨迹为圆,故B错误;对于C,由+=4a,可得|ax-y|+|ax+y|=4a,则点P的轨迹为4条线段,不是椭圆,故C错误;对于D,由+=4a2,可得a2x2+y2=2a2(a2+1),因为a>1,所以点P的轨迹为椭圆,故D正确.故选AD. 14.+=1　[解析] 设z=x+yi(x,y∈R),复数z在复平面内对应的点为P(x,y),F1(-1,0),F2(1,0). 连接PF1,PF2,则|z+1|=∣x+1+yi|==|PF1|, 同理|z-1|=|PF2|,则|z+1|+|z-1|=|PF1|+|PF2|=4>2, 即点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=1,则b==, 所以点P的轨迹方程为+=1. 15.解:(1)设点P(x,y),点P到直线l的距离为d, 依题意有=,即|PF|=d,而d=|x+4|, 所以=|x+4|,两边平方化简整理得+=1, 所以点P的轨迹方程为+=1. (2)由(1)得点P的轨迹为椭圆,F为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F',连接PF',则F'(1,0),|FF'|=2,|OF|=1,|PF|+|PF'|=4, 又∠PFO=120°, 所以在△PFF'中,|PF'|2=|PF|2+|FF'|2-2|PF||FF'|·cos∠PFO,得|PF|=, 所以S△PFO=|OF||PF|·sin∠PFO=. 16.B　[解析] 连接AC',∵正方体的棱长为1,∴|AC'|=.∵|PA|+|PC'|=2,∴点P在以A,C'为焦点的椭圆绕AC'旋转得到的椭球上.∵P在正方体的棱上,∴P应是椭球与正方体的棱的交点,结合正方体的性质可知,应该在棱B'C',C'D',CC',AA',AB,AD上各有一点满足条件,故选B. 17.3　[解析] 在△ABC中,sin B+sin C=2sin A,由正弦定理可得|AC|+|AB|=2|BC|=12>|BC|, 所以点A的轨迹是以B,C为焦点,且长轴长2a=12的椭圆(除去与x轴的交点). 设点A的轨迹方程为+=1(a>b>0,y≠0),则a=6,c=3,所以b==3, 故点A的轨迹方程为+=1(y≠0). 如图所示, 由图可知,点A到直线BC距离的最大值为b=3. 学科网（北京）股份有限公司 $