3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 第2课时 轨迹问题 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦轨迹问题，分层设计从定义辨析到综合应用，梯度衔接紧密，通过基础巩固、进阶提升、综合拓展三阶路径，培养数学眼光中的几何直观与数学思维的推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|轨迹定义辨析、直接法求轨迹|第1题辨析椭圆与线段，强化概念本质；第2题直接法求轨迹，巩固基础知识| |进阶层|代入法/几何法求轨迹、多知识点综合辨析|第5题结合圆与垂直平分线，体现几何法应用；第6题多选题综合考查轨迹定义| |综合层|复杂情境轨迹推导、轨迹证明|第15题折叠问题融合空间观念，第16题圆与椭圆关联证明，提升数学语言表达能力|

第2课时　轨迹问题 1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2.已知动点P到两坐标轴的距离相等,则点P的轨迹方程为 (　 ) A.y=x B.y=-x C.y=±x D.y=x2 3.[2026·襄阳四中高二月考] 已知动点P(x,y)的坐标满足2=|x-4|,则点P的轨迹是 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4.已知点C的轨迹方程为+y2=1,点P(4,0),则PC的中点M的轨迹方程为 (　 ) A.x2+4y2=1 B.(x-2)2+4y2=1 C.x2+4(y-1)2=1 D.x2+4(y-4)2=1 5.已知点M(-3,0),点P是圆N:x2-6x+y2-55=0上的一个动点,线段MP的垂直平分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.(多选题)下列说法不正确的是 (　 ) A.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则动点P的轨迹是椭圆 B.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是椭圆 C.当1<k<4时,方程+=1表示椭圆 D.若动点M的轨迹方程为+=1,则点M的轨迹是椭圆,且焦点坐标为(±,0) 7.已知点P在圆x2+y2=4上运动,DP⊥x轴,垂足为D,点M在DP的延长线上,且=,则点M的轨迹方程为　　　　.  8.若两定点A,B间的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为　　　　.  9.(13分)已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l:x=8的距离之比是常数,记点P的轨迹为曲线C,求曲线C的标准方程. 10.[2026·泉州五中高二期中] 若△ABC的周长为10,且AB边的长为4,则△ABC的面积的最大值为 (　 ) A.4 B.2 C.5 D.5 11.设向量s=(x,y+1),t=(y-1,x)(x,y∈R),若|s|+|t|=4,则点M(x,y)的轨迹C的方程是 (　 ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 12.(多选题)已知定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 (　 ) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 13.已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内(不包括边界)一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切,则动点M的轨迹方程为　　　　　　　.  14.(15分)[2026·秦皇岛高二期中] 已知点P是圆(x+2)2+y2=1上一动点,直线l:x=2,PQ⊥l,Q为垂足,M是PQ的中点,求M的轨迹方程,并指出它是什么图形. 15.已知一张纸上面有半径为4的圆C,在圆C内有一个定点A,且AC=2,折叠纸片,使圆C上某一点A'刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A'取遍圆C上所有点时,所有折痕与A'C的交点形成的曲线记为S,以CA的中点为原点,CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则曲线S的方程为　　　　　　.  16.(15分)如图,圆x2+y2=3和圆x2+y2=4是圆心均为原点O的同心圆,R为大圆上一动点,连接OR交小圆于点K,过点R作x轴的垂线RH,垂足为H,再过点K作直线RH的垂线KQ,垂足为Q.当点R在大圆上运动时,求证点Q的轨迹是椭圆,并求出椭圆的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　轨迹问题 1.D　[解析] ∵|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,∴点M在线段F1F2上.故选D. 2.C　[解析] 设点P的坐标为(x,y),由题意得|x|=|y|,即y=±x.故选C. 3.B　[解析] 由2=|x-4|两边平方得4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即4x2-8x+4+4y2=x2-8x+16,即3x2+4y2=12,因此点P的轨迹方程是+=1,所以点P的轨迹为椭圆.故选B. 4.B　[解析] 设点M的坐标为(x,y),点C的坐标为(x0,y0),由中点坐标公式得即又点C的轨迹方程为+y2=1,所以+(2y)2=1,整理得M的轨迹方程为(x-2)2+4y2=1.故选B. 5.B　[解析] 由题意得圆N的标准方程为(x-3)2+y2=64,则圆心为N(3,0),半径r=8.连接QM,因为|QM|=|QP|,所以|QN|+|QM|=|QP|+|QN|=|NP|=8>|MN|=6,所以点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=6,所以c=3,a=4,所以b2=7,所以动点Q的轨迹方程为+=1.故选B. 6.AC　[解析] 对于A,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,则动点P的轨迹为以F1,F2为端点的线段,所以A中说法不正确;对于B,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,则由椭圆的定义,可得动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以B中说法正确;对于C,当4-k=k-1,即k=时,方程+=1表示圆,所以C中说法不正确;对于D,若动点M的轨迹方程为+=1,则点M的轨迹是椭圆,其中a2=4,b2=2,可得c==,所以焦点坐标为(±,0),所以D中说法正确.故选AC. 7.+=1(y≠0)　[解析] 设点M的坐标为(x,y),点P(x0,y0),由题意可知y0≠0,且则 ∵点P在圆x2+y2=4上运动,∴x2+=4(y≠0),整理得+=1(y≠0),故点M的轨迹方程为+=1(y≠0). 8.4π　[解析] 以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,不妨令B(3,0).设M(x,y),依题意得=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则点M的轨迹为圆,围成区域的面积为4π. 9.解:依题意得=,即2=|8-x|, 两边平方得4(x2-4x+4+y2)=64-16x+x2, 整理得+=1,故曲线C的标准方程为+=1. 10.B　[解析] 由题意得AB+AC+BC=10,又AB=4,所以AC+BC=6>AB=4,则点C在以A,B为焦点的椭圆上,且长轴长为2a=6,焦距为2c=4,则a=3,c=2,所以b==.不妨令椭圆的焦点在x轴上,如图,则点C的轨迹方程为+=1(y≠0),所以S△ABC=AB·|yC|=×4·|yC|=2|yC|,又0<|yC|≤,所以(S△ABC)max=2×=2.故选B. 11.C　[解析] 由题意可得+=4,它表示点M(x,y)到点(0,1),(0,-1)的距离之和为4,又4>2,所以点M(x,y)的轨迹为以(0,1),(0,-1)为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b2=3,可得点M(x,y)的轨迹C的方程为+=1.故选C. 12.BC　[解析] ∵F1(0,-3),F2(0,3),∴|F1F2|=6,又a>0,∴|PF1|+|PF2|=a+≥2=6,当且仅当a=,即a=3时等号成立.当a+=6时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2;当a+>6时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆.故选BC. 13.+=1(x≠±2)　[解析] 取点E(-1,0),连接ME.设线段FM的中点为P,圆P与圆O内切于点Q,连接OP,PQ.易知O,P,Q三点共线,因为O,P分别为线段EF,MF的中点,所以|ME|=2|OP|,所以|ME|+|MF|=2|OP|+2|PQ|=2|OQ|=4>|EF|,故点M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且2a=4,则a=2,又c=1,则b==,故动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2). 14.解:设M(x,y),P(x0,y0),则(x0+2)2+=1. 易知Q(2,y0),因为线段PQ的中点为M,所以x=,y=y0,即x0=2x-2,y0=y,代入(x0+2)2+=1,得4x2+y2=1,即+y2=1, 故M的轨迹方程为+y2=1,M的轨迹是椭圆. 15.+=1　[解析] 由题意,不妨令C(-1,0),A(1,0),设折痕与A'C和AA'分别交于M,N两点,则MN⊥AA',连接MA,则|MA'|=|MA|,所以|MA|+|MC|=|MA'|+|MC|=|A'C|=4>|AC|=2,故所有折痕与A'C的交点形成的曲线为以C,A为焦点的椭圆,故曲线S的方程为+=1. 16.解:设点K(cos α,sin α),R(2cos α,2sin α), 则Q(2cos α,sin α),令Q(x,y),即 ∵cos2α+sin2α=1,∴+=1, ∴点Q的轨迹是椭圆,椭圆的方程为+=1. 学科网（北京）股份有限公司 $