第1章 09 重点强化练一 空间向量的运算 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

重点强化练一　空间向量的运算 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),若a与b共线,则x的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.-4 D.-5 2.[2026·成都七中高二月考] 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c共面,则实数λ= (　 ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 3.[2026·河北唐山高二月考] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为棱A1C1的中点.设=a,=b,=c,则= (　 ) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 4.[2026·沈阳东北育才学校高二月考] 已知点A(1,0,-2),B(3,1,0),若平面α的一个法向量为n=(0,-2,1),则直线AB与平面α的位置关系是 (　 ) A.AB∥α B.AB⊥α C.AB⊂α D.AB∥α或AB⊂α 5.[2026·南京师大附中高二月考] 已知向量a,b,c不共面,则下列各组中的三个向量不共面的是 (　 ) A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a+b,b+c,a-c 6.[2026·河南新乡高二期中] 如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,D是BC的中点,=,则= (　 ) A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 7.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程,先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图,堤坝斜面与底面的交线记为l,点A,B分别在堤坝斜面与地面上,过点A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为C,D,若AC=CD=BD=3,二面角A-l-B的大小为120°,则AB= (　 ) A.3 B.3 C.3 D.6 8.[2026·湖北十堰高二期中] 在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2,点M为S-ABC的外接球上任意一点,则·的最大值为 (　 ) A.4 B.2 C.2 D.2+2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在空间直角坐标系中,向量a=(2,-1,m),b=(-2,1,-2),则下列说法中正确的是 (　 ) A.向量(-1,1,1)是b的一个单位向量 B.若|a|=3,则m=±2 C.若<a,b>为钝角,则m>- D.若a在b上的投影向量为b,则m=-3 10.关于空间向量,以下说法正确的是 (　 ) A.若O为平面ABC外任意一点,=++,则M,A,B,C四点一定共面 B.若直线l的一个方向向量为m=(2,4,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,-2,1),则l∥α C.若平面α,β的一个法向量分别为u,v,且u=(1,2,-2),v=(-2,3,2),则α⊥β D.若向量p=mx+ny+kz(x,y,z是不共面的向量),则称p在基底下的坐标为(m,n,k),若p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为 11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,则 (　 ) A.AC1= B.AC1⊥BD C.四边形BDD1B1的面积为 D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若空间向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则a在b上的投影向量的坐标为　　　　　　.  13.设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　　.  14.[2026·山东青岛二中高二期中] 在正三棱锥P-ABC中,PA=4,AB=3,点M满足=x+y+(3-x-y),则AM的最小值为　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(0,3,3),b=(-2,5,3). (1)求a与a-b的夹角; (2)若a+b与a-tb互相垂直,求实数t的值. 16.(15分)[2026·浙江强基联盟高二月考] 如图所示的实验装置由矩形ABCD和ABEF构成,且AB=4,AD=AF=3,∠DAF=.动点M,N分别在对角线BD,AE上移动,且AN与DM长度保持相等.记=a,=b,=c,且=λ,λ∈[0,1]. (1)当λ=时,用向量a,b,c表示,. (2)λ为何值时,||最小? (3)是否存在M,N使得MN⊥平面ABCD?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练一　空间向量的运算 1.C　[解析] 由题意可设a=λb,λ∈R,∴(2,-1,2)=λ(-4,2,x),即解得故选C. 2.B　[解析] a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,则(1,3,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),所以解得故选B. 3.A　[解析] 由题意可得=++=++=++=++(-)=++=a+c+b.故选A. 4.D　[解析] 因为=(2,1,2),n=(0,-2,1),所以·n=0,所以AB∥α或AB⊂α.故选D. 5.C　[解析] 对于A,b+c=-(b-c)+2b,故b-c,b,b+c共面.对于B,a+b+c=(a+b)+c,故a+b,c,a+b+c共面.对于C,假设a+b=x(a-c)+yc,整理得a+b=xa+(-x+y)c,即b=(x-1)a+(-x+y)c,则a,b,c共面,与题意矛盾,故a+b,a-c,c不共面.对于D,a+b=(b+c)+(a-c),故a+b,b+c,a-c共面. 6.D　[解析] 由=得=,则=+=+=+(-)=+×(+)-=++=a+b+c.故选D. 7.D　[解析] 由题意可知||=||=||=3,·=·=0,·=3×3×cos 60°=.因为=++,所以==+++2·+2·+2· =32+32+32+0+0+2×=36,所以||=6.故选D. 8.D　[解析] 三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2,将三棱锥S-ABC补成正方体SADB-CPQR,设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,球心为O,则2R==2,∴R=, 取AB的中点E,连接OE,MO,∵SA⊥SB,∴AB为△SAB的外接圆的一条直径,则E为△SAB外接圆的圆心,∴OE⊥平面SAB,∵AB⊂平面SAB,∴OE⊥AB,∵AE=AB=SA=,∴OE==1.由球的几何性质可知,当M,O,E三点共线且点O在线段ME上时,||取得最大值,=||+||=+1.∵=+,=+=-,∴·=(+)·(-)=-=-2≤-2=2+2,当且仅当||=+1时,等号成立.因此·的最大值为2+2.故选D. 9.BD　[解析] b的单位向量是±=±=±,故A错误;由|a|=3,可得|a|==3,得m=±2,故B正确;由a·b=(2,-1,m)·(-2,1,-2)=-4-1-2m<0,得m>-,当a∥b时,==,得m=2,所以当<a,b>为钝角时,m>-且m≠2,故C错误;由a在b上的投影向量为b=b=b=b,即-5-2m=1,得m=-3,故D正确.故选BD. 10.ACD　[解析] 对于A,因为=++,++=1,所以M,A,B,C四点共面,故A正确;对于B,直线l的一个方向向量为m=(2,4,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,-2,1),则m=-2n,所以m∥n,则l⊥α,故B错误;对于C,因为u·v=-2+6-4=0,所以u⊥v,所以α⊥β,故C正确;对于D,由题意得p=a+2b+3c,设p=x1(a-b)+y1(a+b)+z1c=(x1+y1)a+(y1-x1)b+z1c,则解得则p在基底下的坐标为,故D正确.故选ACD. 11.BD　[解析] 因为=++,所以=+++2·+2·+2·=12+12+12+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=6,故||=,A错误;=++,=-,则·=(++)·(-)=·-+-·+·-·=1×1×cos 60°-12+12-1×1×cos 60°+1×1×cos 60°-1×1×cos 60°=0,故⊥,即AC1⊥BD,B正确; 连接BD1,B1D,易知四边形BDD1B1为平行四边形,=++,=++,=+++2·+2·+2·=12+12+12+2×1×1×cos 120°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 120°=2,即||=,同理||=,故四边形BDD1B1为矩形,其面积为1×1=1,C错误; 过A1作A1E⊥平面ABCD,则E在直线AC上,过E作EF⊥AB于F,连接A1F,因为A1E⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以A1E⊥AB,又EF⊥AB,A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面A1EF,所以AB⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,所以AB⊥A1F,故AF=AA1·cos 60°=,AE==,A1E==,故平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为×1×1××2×=,D正确.故选BD. 12.　[解析] 由a=(1,0,1),b=(0,1,-1),得a·b=1×0+0×1+1×(-1)=-1,|b|==, 所以a在b上的投影向量为b=(0,1,-1)=. 13. 　[解析] ∵=2e1-e2,=3e1+3e2,∴=+=5e1+2e2,又∵A,C,D三点共线,∴∥,∵e1,e2不共线,∴=5,∴2-5k=0,∴k=. 14.2　[解析] 如图所示,延长PA,PB,PC分别至点D,E,F,使得=3,=3,=3, 所以=x+y+(3-x-y)=++, 又++=1,所以M,D,E,F四点共面, 所以AM的最小值,即为点A到平面DEF的距离, 因为=3,所以点A到平面DEF的距离是点P到平面DEF的距离的. 又因为PD=PE=PF=3PA=12,DE=DF=EF=3AB=9, 所以三棱锥P-DEF为正三棱锥, 取等边三角形DEF的中心为O,连接DO,PO,可得PO⊥平面DEF, 所以PO即为点P到平面DEF的距离. 在等边三角形DEF中,因为DE=DF=EF=9,所以2DO==6,则DO=3, 在直角三角形POD中,PO===3, 即点P到平面DEF的距离为3,所以AM的最小值为2. 15.解:(1)由a=(0,3,3),b=(-2,5,3),得a-b=(2,-2,0), 则|a|=3,|a-b|=2,a·(a-b)=-6, 因此cos<a,a-b>===-,又<a,a-b>∈[0,π], 所以<a,a-b>=,所以a与a-b的夹角为. (2)依题意,a+b=(-2,8,6),a-tb=(2t,3-5t,3-3t),由a+b与a-tb互相垂直, 得(a+b)·(a-tb)=0,即-2×2t+8(3-5t)+6(3-3t)=0, 所以t=. 16.解:(1)由=可知点M是DB的中点,则=(+)=(a+b), 易得AE=BD,AN=DM,则N是AE的中点, =(+)=(a+c), 故=-=(a+c)-(a+b)=(c-b). (2)因为=λ,则=λ,λ∈[0,1], 可得=-=-(+)=λ(+)-[+λ(-)]=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc, 因为|a|=4,|b|=|c|=3,b·c=3×3×cos=,a·b=a·c=0 所以||===3, 则当λ=时,||取得最小值. (3)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD,因为AB,AD⊂平面ABCD, 所以MN⊥AB,MN⊥AD, 由(2)知,=(λ-1)b+λc, 则·=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0, 由·=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,化简得9(λ-1)+λ=0,解得λ=∈[0,1], 故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $