第1章 09-易混易错练1（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何易混易错点，分层设计从选择辨析到解答综合，梯度覆盖单一关系认知到建系运算应用，强化数学思维与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础辨析|向量夹角与空间角关系|选择题（1-3题）辨析线面角、二面角概念，结合易错警示| |综合应用|建系与坐标求解|解答题（4-6题）综合证明与计算，深化法向量应用|

专题专项练 易混易错练1 易错点1　弄不清向量夹角与空间角的关系 1.(2026山东部分学校联考)在三棱锥A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=AD=1,点M,N分别为棱BC,AD的中点.给出以下说法:①AB⊥CD;②MN=;③侧棱与底面所成角的正弦值为;④直线AM与CN所成角的正弦值为.其中正确的个数是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(2026安徽阜阳田家炳实验中学月考)在四面体ABCD中,已知DA=BD=DC=1,∠ADB=,∠ADC=,∠BDC=,则CD与平面ABD所成角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2026广东东莞四校联考)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,若A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,A1C1=1,AB=AC=AA1=2,M为BC的中点,则平面MAC1与平面AC1C夹角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2026四川成都郫都月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC,E为PD的中点,如图所示. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)若△PAB为等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD=2,求二面角P-AC-E的余弦值. 易错点2　不能正确建系或求点的坐标 5.(2025安徽蚌埠五河一中月考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AC=5,BC=12,三棱锥P-ABC的体积为100,求二面角A-PB-C的余弦值. 6.如图,在四棱台ABCD-EFGH中,上、下底面均是正方形,且侧面是全等的等腰梯形,EG=2AC=4,上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面,且NM与侧面所成角的正切值为. (1)求点A到平面MHG的距离; (2)求二面角E-HM-G的余弦值. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 易混易错练1 1.B　由题知AB⊥AC,AB⊥AD, 因为AC,AD⊂平面ACD,AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD, 因为CD⊂平面ACD,所以AB⊥CD,故①正确. 同①易得AD⊥平面ACB, 因为AM⊂平面ACB,所以AD⊥AM,即AN⊥AM. 由题意得BC=BD=DC==,AN=ND=,BM=MC=,AM=. 根据勾股定理可得MN===,故②错误. 设点A到底面BCD的距离为h,则由等体积法可得VA-BCD=VB-ACD,即S△BCDh=S△ACD×AB, 即××××h=××1×1×1,解得h=, 所以侧棱与底面所成角的正弦值为=,故③正确. 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),M,C(0,1,0),N, 则=,=, 所以cos<,>===-, 又异面直线夹角的范围是,所以异面直线AM和CN所成角的余弦值为=, 因此直线AM与CN所成角的正弦值为=,故④错误. 易错警示　两异面直线所成角的范围是,而两向量夹角的范围是[0,π],要注意两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2.C　设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=,<a,c>=,<b,c>=, 故a,b,c可构成空间的一个基底. 设平面ABD的法向量为n,且n=xa+yb+zc, 则n⊥,n⊥,即 即令x=1,则y=-1,z=-2,所以n=a-b-2c, 设CD与平面ABD所成的角为θ, 则sin θ=|cos<c,n>|====, 又θ∈,所以cos θ=. 易错警示　设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|. 易出错的点:①误以为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值就是线面角的正弦值,而忘加绝对值;③不清楚线面角的范围. 3.B　由A1A⊥平面ABC,且AB,AC⊂平面ABC,可得A1A⊥AB,A1A⊥AC, 又AB⊥AC,所以A1A,AB,AC两两互相垂直,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), 则=(1,1,0),=(0,1,2), 设平面MAC1的法向量为n=(x,y,z),则 取x=2,可得y=-2,z=1,所以n=(2,-2,1), 易知平面AC1C的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0), 设平面MAC1与平面AC1C的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|===. 4.解析　(1)证明:取PA的中点F,连接BF,EF. 由E,F分别为PD,PA的中点,得EF∥AD,AD=2EF, 又AD∥BC,AD=2BC,所以EF∥BC,EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF, 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB. (2)取AB的中点O,CD的中点G,连接PO,OG, 由△PAB为等边三角形,知PO⊥AB. 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,知PO⊥平面ABCD.又OG⊂平面ABCD,故PO⊥OG. 由AD∥OG,AD⊥AB,知OG⊥AB. 以O为坐标原点,OB,OG,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(-1,0,0),C(1,1,0),D(-1,2,0),P(0,0,),则E, 则=(2,1,0),=(1,1,-),=. 设平面PAC的法向量为m=(a,b,c), 则即 取b=2,得m=, 设平面ACE的法向量为n=(d,e, f), 则即 取e=-2,得n=(1,-2,). 则cos<m,n>= ==-. 由图形知,二面角P-AC-E为锐二面角, 故二面角P-AC-E的余弦值为. 易错警示　设两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,平面α与平面β所成二面角为θ,若θ为锐角,则cos θ=|cos<n1,n2>|;若θ为钝角,则cos θ=-|cos<n1,n2>|. 注意:二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是. 5.解析　(1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC, 因为AC⊥BC,PA,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC, 因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. (2)因为AC=5,BC=12,AC⊥BC,所以S△ABC=×12×5=30, 又因为三棱锥P-ABC的体积为100,即×PA×30=100,所以PA=10. 以A为原点,过A且平行于BC的直线为x轴,AC,AP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则A(0,0,0),B(12,5,0),C(0,5,0),P(0,0,10), 所以=(0,0,10),=(12,0,0),=(12,5,-10), 设平面APB的法向量为n=(x,y,z), 则则z=0,令x=-5,得y=12,则n=(-5,12,0), 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), 则则a=0,令b=2,得c=1,则m=(0,2,1), 设二面角A-PB-C的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos<m,n>|===. 由图形知二面角A-PB-C的平面角是锐角,所以二面角A-PB-C的余弦值为. 易错警示　运用“坐标法”解答空间几何问题时,要分析空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,一般利用线面垂直找到z轴,利用线线垂直找到x、y轴,解题时要准确找到垂直关系,避免建错坐标系. 6.解析　(1)如图,分别取BC,FG的中点I,J,连接IJ,NJ,MI.取NJ的中点K,连接IK. ∵MN⊥平面ABCD,∴MN⊥MA,MN⊥MB,MN⊥MI. 由题意得,NK=NJ=MI,且NK∥MI,∴四边形MNKI为矩形,∴MN∥IK, 又∵四边形BCGF为等腰梯形,∴K在平面BCGF内的射影在IJ上, ∴∠KIJ为NM与侧面所成的角. ∵NM与侧面所成角的正切值为, ∴MN=×NJ=××EG=1. 易知AC⊥BD.以M为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则M(0,0,0),A(1,0,0),H(0,-2,1),G(-2,0,1). ∴=(-2,0,1),=(0,-2,1). 设平面MHG的法向量为m=(x1,y1,z1), 由取x1=1,得m=(1,1,2), 又=(1,0,0), ∴点A到平面MHG的距离d===. (2)由(1)得E(2,0,1),=(2,0,1), 设平面MEH的法向量为n=(x2,y2,z2), 由取x2=-1,得n=(-1,1,2). ∴cos<m,n>===. 由图可知二面角E-HM-G的平面角为钝角, ∴二面角E-HM-G的余弦值为-. 学科网（北京）股份有限公司 $