专题1 空间直角坐标系的建立技巧（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

专题1　空间直角坐标系的建立技巧 1.解：由直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，可知AC，BC，CC1三条直线互相垂直，建系如图， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（0，2，2），N（1，0，2），M（1，1，2）， 所以＝（－1，0，2），＝（1，－1，2）， 所以｜cos ＜，＞｜ ＝ ＝＝， 即异面直线BM与AN所成角的余弦值为. 2.解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）. 可得＝（0，0，2），＝（0，2，－2）. 因为＝＝，则＝＋＝， 所以点Q. （2）不存在点M，使得PM∥QC. 理由如下： 方法一：利用向量，先设再证. 设M（1，a，0），0≤a≤2，则＝（1，a，－2）. 又＝，若∥，则存在实数λ使得＝λ， 即无解， 所以不存在点M，使得PM∥QC. 方法二：利用异面直线的判定. 点M在点C处时，显然PM∥QC不成立. 点M不在点C处时，PM⊂平面PBC，QC⊄平面PBC，QC∩平面PBC＝C， 又点C∉PM，所以PM，QC异面. 所以不存在点M，使得PM∥QC. 3.解：建立如图所示的空间直角坐标系，由AB⊥平面BCD， 且BD，CD⊂平面BCD， 所以AB⊥BD，AB⊥CD， 又AD＝BC＝2AB＝2CD， 所以△ABD与△CDB全等， 所以∠CDB＝∠ABD， 即CD⊥BD，所以CD∥BE. 又BD＝＝，由此可得A（0，0，1），B（0，0，0），C（－1，，0），D（0，，0）. 由M是AC的中点，可得M. 由DN＝AN，可得＝. 所以xN＝0，yN＝yD＝，zN＝zA＝，所以N. 4.解：（1）如图，取AD的中点O，连接OE，OS，因为△SAD为等边三角形，则SO⊥AD. 因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，则SO⊥平面ABCD， 又AD⊥BD，OE∥BD，则OE⊥AD，即OA，OE，OS两两垂直， 故以点O为坐标原点，分别以OA，OE，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为AD＝2，AB＝4，AD⊥BD， 所以SO＝AD＝，BD＝＝2， 所以A（1，0，0），B（－1，2，0），C（－3，2，0），D（－1，0，0），S（0，0，），E（0，，0），F. （2）证明：由（1）知＝，＝（1，－2，）， 所以·＝－＋＝0，即⊥. 所以EF⊥BS. （3）设＝λ，则＝λ＝（λ，0，λ），所以＝＋＝（－2＋λ，0，λ）. 因为AH∥EF，所以＝，解得λ＝. 所以＝，即点H在SD的中点处. 5.解：（1）连接AC，BD相交于点O，连接OC1，BC1，DC1， 易知AC1＝BC1＝CC1＝DC1＝3，底面ABCD是正方形，所以四棱锥C1-ABCD为正四棱锥， 分别以OB，OA，OC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，M. （2）＝，故AC1＝＝3. （3）易知＝，＝， 所以cos＜，＞＝＝＝.所以异面直线AM与CB1所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1　空间直角坐标系的建立技巧 [编者按]　空间中的向量运算的结果可以翻译成空间几何关系，是解决立体几何问题的基本方法，例如向量垂直可以推导线线垂直，向量夹角可以表示异面直线夹角，以及后续要涉及的两个平面的夹角、点面距离等，解决这些问题的一个基本前提是建立合适的坐标系，求出点和向量的坐标，进行坐标运算.建立空间直角坐标系的关键是找到或构造出三条共点且两两垂直的直线，并将几何体中尽可能多的顶点放到坐标轴上.需要注意的是，不同的建系方法，点的坐标可能不同，但向量的坐标、所求角的大小，位置关系是确定的. 　 利用共顶点的三条棱建系 　　几何体自带三条相交于同一点且两两垂直的棱，直接建系.常见图形：底面为矩形（底面存在垂直关系）的各种直棱柱、底面为矩形且有一条侧棱垂直底面的棱锥等. 1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1＝2.建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，A1，B1，C1，M，N的坐标，并求异面直线BM与AN所成角的余弦值. 2.[一题多解]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，Q是线段PD上一点，且PQ＝PD. （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，Q的坐标； （2）线段BC上是否存在点M，使得直线PM∥QC？说明理由. 利用线面垂直的关系建系 　　几何体中存在线面垂直关系，可令垂线为z轴，底面中的一条直线为x轴（或y轴），再作出另一条与这两条直线互相垂直的直线为y轴（或x轴）. 3.在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AD＝BC＝2AB＝2CD＝2，M是AC的中点，DN＝AN，建立适当的坐标系求点A，B，C，D，N，M的坐标. 利用面面垂直的关系建系 　　几何体中存在面面垂直关系，利用面面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线，以垂线和交线为其中的两个坐标轴建立坐标系. 4.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，AB＝4，AD⊥BD，△SAD为等边三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是侧棱SC的中点. （1）建立适当的空间直角坐标系，并求点A，B，C，D，S，E，F的坐标； （2）求证：EF⊥BS； （3）在SD上找一点H，使得AH∥EF，并求的值. 利用底面垂直关系建系 　　几何体中无明显的线面垂直或面面垂直，可以在底面中寻找互相垂直的两条直线，以这两条直线分别为x轴和y轴，并以它们的交点为原点，与底面垂直的直线为z轴建立坐标系. 5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为3，M为B1D1中点，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，∠BAD＝90°. （1）建立适当的坐标系，写出点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，M的坐标； （2）求AC1的长； （3）求异面直线AM与CB1所成角的余弦值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $