1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [教材知识——一遍过] 1.D　由A（0，0，1），P（1，0，1），则＝（1，0，0）， 所以·a＝－2，＝1，而｜a｜＝＝， 则点P（1，0，1）到直线l的距离为＝＝. 求点线距离可按如下方法与步骤： 方法一：步骤一，求直线l的单位方向向量； 步骤二，求向量与单位方向向量的数量积·； 步骤三，利用PQ＝可得距离. 方法二：步骤一，求向量与直线l的方向向量的夹角的余弦值cos θ； 步骤二，利用同角三角函数基本关系求夹角的正弦值sin θ； 步骤三，求向量的模｜｜； 步骤四，求sin θ·｜｜，即所求距离. ｜方法技巧｜ 2.A　如图所示，建立空间直角坐标系，则P（0，0，3），D（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，0）. 因为O为△PBC的重心，＝－2，所以M（0，0，2），O， 所以＝，＝（0，－2，2），则｜｜＝，·＝，｜｜＝2， 故点O到直线DM的距离d＝＝. 3.A　易知＝（－1，－2，4），n＝（－2，－2，1）， 所以点P到平面α的距离d＝＝＝. 4.C　因为＝（－1，1，1），＝（1，0，－2），＝（－5，1，3）， 设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）， 则故可取n＝（2，1，1）， 所以点P到平面ABC的距离为＝＝＝. 5.　解析：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），M，故＝， ＝（1，0，1），＝（1，1，0），设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）， 则令x＝1，则y＝－1，z＝－1，n＝（1，－1，－1）， 故点M到平面A1BD的距离为d＝＝＝. 利用空间向量求解点到平面的距离的一般步骤：（1）求平面的法向量；（2）求平面外一点与平面内一点所连线段对应的向量在法向量上的投影向量的模，即为该平面外的点到平面的距离. ｜方法技巧｜ 6.C　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则C（0，12，0），D1（0，0，5）. 设B（x，12，0），B1（x，12，5）（x＞0），则＝（－x，0，0），＝（0，－12，5）. 设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c）， 由n⊥，n⊥， 得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0， n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0， 所以a＝0，b＝c，取n＝（0，5，12）. 又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝. 因为B1C1∥平面A1BCD1，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.故选C. 7.B　两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（1，2，7），＝（1，2，7），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），故两平面间的距离d＝＝＝3. 8.（1）1　（2）　（3）　（4）　解析：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），C（0，1，0），＝（0，1，0），＝（1，1，0），＝（1，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，1，0）. （1）方法一：用几何法先明确CD为两条平行直线A1D和B1C间的距离，由CD＝1，可得两条平行直线A1D和B1C间的距离为1. 方法二：转化为点到直线的距离，利用坐标运算.平行直线A1D和B1C间的距离即点B1到直线A1D的距离. 所以所求距离为＝1. （2）设平面A1DB的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则即取x＝1，可得n＝（1，－1，－1）， ＝（1，0，0），则点C到平面A1DB的距离为＝＝， 所以两个平行平面A1DB和D1CB1间的距离为. （3）＝（0，1，0），则点A到平面A1DB的距离为＝＝. （4）点A到直线D1C的距离为＝＝. 9.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系， E，F，A（1，0，0），C1（0，1，1）. 因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， 令u＝＝，＝，＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝. （2）因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. 由（1）知，B1（1，1，1），＝（1，0，0），＝（0，1，1），＝. 设平面AB1E的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则即取z＝2， 可得n＝（1，－2，2）， 所以点C1到平面AB1E的距离为＝，所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 空间中求解直线到平面的距离（线面平行）、平面到平面的距离（面面平行），一般都可以转化为点（直线或平面上任一点）到平面的距离求解. ｜方法技巧｜ [综合素养——全提升] 1.C　分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为＝＋＋， 所以＝. 易知＝（1，0，0），｜｜＝＝. 又·＝1×＋0×＋0×＝， ｜｜＝＝1， 所以＝＝， 所以点P到直线AB的距离为d＝＝＝. 2.D　根据题意建立空间直角坐标系，如图. 设AC，BD相交于点O，连接PO，易知在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥AO. 又AO＝，PA＝，所以PO＝＝2. 所以A（2，0，2），D（0，0，2），B1（2，2，0），P（1，1，4），＝（－2，0，0），＝（1，1，2），＝（0，2，－2）. 设平面PAD的一个法向量为n＝（x，y，z）. 所以令z＝1，可得y＝－2，x＝0，即n＝（0，－2，1）. 所以点B1到平面PAD的距离d＝＝＝＝. 3.A　如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（1，2，0），F（0，1，2），G（2，1，2），A（2，0，0）， 所以＝（1，2，0），＝（0，1，2）. 设平面DEF的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则令x＝4， 则y＝－2，z＝1，所以n＝（4，－2，1）. 方法一：而＝（0，1，2），设＝t，故＝（0，t，2t）. 设P（x，y，z），则＝（x－2，y，z），得到解得 可得P（2，t，2t），即＝（2，t，2t）.所以点P到平面DEF的距离d＝＝＝＝.故A正确. 方法二：易知AG∥DF，所以点P到平面DEF的距离，即直线AG到平面DEF的距离，即点A到平面DEF的距离.因为＝（－2，0，0），所以点A到平面DEF的距离为＝＝，即点P到平面DEF的距离为. 4.ABD　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1）. A正确：＝（－1，1，0），＝（1，0，－1）.∵AM＝2MC，C1N＝2BN，∴＝＝，＝＝，∴M，N， ∴＝.∵·＝－＋＝0，·＝－＝0， ∴MN⊥AC，MN⊥C1B，∴线段MN是异面直线AC与BC1的公垂线段. B正确：＝（1，1，0），＝（1，0，1）.设向量n＝（x，y，z）为BD和B1C公垂线的方向向量， 则令x＝1，则y＝－1，z＝－1，即n＝（1，－1，－1），∵＝（0，0，1），∴异面直线BD与B1C的距离d＝＝＝. C错误：＝， ∵·＝－－＋＝0，∴MD1⊥MN， ∴点D1到直线MN的距离d＝｜｜＝＝. D正确：设平面DMN的一个法向量为m＝（a，b，c）， 则 令a＝2，则b＝－1，c＝－1，即m＝（2，－1，－1）， ∴点D1到平面DMN的距离d＝＝＝. 5.　解析：以底面中心为原点，取CD的中点M，AD的中点N，易知OM，ON，OP两两垂直，以O为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，A，B，C，D. 由PA＝2，正方形ABCD对角线的长度为2，可得PO＝，P（0，0，）， 又E为PD的中点，所以E，＝，｜｜＝，＝（－，0，0），｜｜＝， 所以点B到直线CE的距离d＝＝＝. 6.2　解析：已知平面α的点法式方程为－2（x－2）＋y＋2（z－3）＝0，可得平面α的法向量为u＝（－2，1，2），平面α上一点P0（2，0，3）. 所以＝（－1，－2，－3），·u＝2－2－6＝－6. 又｜u｜＝＝3， 所以点P到平面α的距离d＝＝＝2. 7.解：（1）由已知得B（1，1，0），D1（0，0，1），E， 所以＝，＝（－1，－1，1）， 所以｜｜＝. 所以向量在向量上的投影向量的坐标为 ·＝××（－1，－1，1）＝. （2）设点E在直线BD1上的投影为H. 方法一：由（1）知＝，所以点E到直线BD1的距离为＝＝. 方法二：由（1）知＝－＝，所以点E到直线BD1的距离为｜｜＝＝. （3）设平面BD1E的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 取x＝1，y＝－，z＝， 则平面BD1E的一个法向量为n＝. 又A（1，0，0）， 所以＝（0，1，0）， 所以点A到平面BD1E的距离为＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　 用空间向量研究距离问题 　 用空间向量求点线距 1.（2026·浙南名校联考）若直线l的方向向量为a＝（－2，1，1），A（0，0，1）∈l，则空间一点P（1，0，1）到直线l的距离为（　　） A. B. C. D. 2.（2026·广东东莞四校联考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，＝－2，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（　　） A.　 　B. C.　 　D. 用空间向量求点面距 3.已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，则点P（－2，1，4）到平面α的距离为（　　） A.　　　B. C.5　　　D.10 4.在三棱锥P-ABC中，＝（－1，1，1），＝（1，0，－2），＝（－5，1，3），则点P到平面ABC的距离为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1的中点，则点M到平面A1BD的距离为　　　　. 用空间向量求线面距、面面距 6. 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） 　 A.5 B.8 C. D. 7.（2026·辽宁大连期中）两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（1，2，7），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A. B.3 C. D. 8.[教材习题变式]如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）两条平行直线A1D和B1C间的距离为　　　； （2）两个平行平面A1DB和D1CB1间的距离为　　　； （3）点A到平面A1DB的距离为　　　； （4）点A到直线D1C的距离为　　　. 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. （1）求直线FC1到直线AE的距离； （2）求直线FC1到平面AB1E的距离. 　 1.已知点P在棱长为1的正方体ABCD-EFGH的内部且满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为（　　） A. B. C. D. 2.如图，这个立体图形是由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的，其中AB＝2，PA＝，则点B1到平面PAD的距离为（　　） A.6 B. C. D. 3.[一题多解]（2026·湖北武汉期中）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱BC，C1D1，A1B1的中点，P为AG上的动点，则点P到平面DEF的距离为（　　） A. B. C. D. 4.（多选）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝2MC，点N在BC1上，且C1N＝2BN.下列结论正确的是（　　） A.线段MN是异面直线AC与BC1的公垂线段 B.异面直线BD与B1C的距离为 C.点D1到直线MN的距离为 D.点D1到平面DMN的距离为 5.（2026·山东青岛四区联考）在正四棱锥P-ABCD中，AB＝，PA＝2，点E是PD的中点，则点B到直线CE的距离为　　　　. 6.[新定义]在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0（x0，y0，z0），且以u＝（a，b，c）为法向量，可得平面的点法式方程为a（x－x0）＋b（y－y0）＋c（z－z0）＝0.若已知平面α的点法式方程为－2（x－2）＋y＋2（z－3）＝0，则点P（3，2，6）到平面α的距离为　　　　　. 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）求点E到直线BD1的距离； （3）求点A到平面BD1E的距离. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $