练案10 第一章 1.4.2 第1课时用空间向量研究距离问题-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[10]第一章1.41.4.2[第1课时用空间向量研究距离问题] A组·基础巩固 5.如图，正方形ABCD的边长为4，E,F分别是 1.空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1), AB,AD的中点，GC⊥平面ABCD,且GC=2,则 点B到平面EFG的距离为 () N(3,-2,2),则，点P到直线MN的距离为 ( A.22 B.25 D C.3 D.25 B 2.已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，E, A.10 B.2面 D.1 10 11 5 F,G,H分别是棱AB,AD,BC1,DC的中点， D(0,0,0),F(1,0,0),平面GHDB的法向量为 6.(多选)已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长 n=(2,-2,1),则两平行平面EFDB和平面 为1.点E,0分别是AB1,AC1的中点，则下 列说法正确的是 () GHDB之间的距离为 ( A号 B.2 A点A到直线BE的距离是5 c号 B.点4到直线BE的距离是，5 5 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满 C.点0到平面ABC,D,的距离为 4 足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距 离是 D点0到平面ABC,D,的距离为号 46 B.6 7.（多选)棱长为1的正方体ABCD-AB,C1D 6 3 中，M,N分别是线段BB1,B,C1的中点，则 G③ 6 D.3 3 A.MN∥平面ACD1 4.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD- B.MN⊥平面ACD1 ABC1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直 线A,C的距离为 C点M到平面ACD,的距离为2 D D.直线MN到平面ACD,的距离为5 8.已知AB∥平面a,平面的法向量为n= D (1,0,1),平面a内一点C的坐标为(0,0,1)， 直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直线AB B 到平面的距离为 43 9.已知直线1的方向向量为m=(1,√2，-1)，若 B.235 7 点P(-1,1,-1)为直线1外一点，A(4,1, √/35 -2)为直线1上一点，则P到直线1的距离为 C. D.1 144 10.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长是1，E13.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正 是AA1的中点，求： 方体ABCD-AB,C,D,点M是线段DC1上 (1)点D到AC的距离； 的动点，则点M到直线AD,距离的最小值为 (2)CA1到平面BDE的距离. D A M. D x 14.正方体ABCD-AB1C1D1的棱长为4，M,N, E,F分别为AD1,AB1,C1D1,BC1的中点， 求平面AMN与平面EFBD的距离. D M N B B组·综合运用 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D1中， M,N分别是AB,,CD的中点，则点B到截面 AMC,N的距离为 ( D M B D N A.2 B.26 3 C.3 D.42 3 12.如图所示，多面体是由底 面为ABCD的长方体被 平行四边形AEC,F所截 而得到的，其中AB=4, D BC=2,CC1=3,BE=1. A 则BF的长为 ,点C到平面AEC,F 的距离为 -145 C组·拓展提升 16.如图所示，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，底 面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，CA=2, 15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,LABC=2 侧棱AA=2,D是CC的中点，则在线段AB AB=BC=专AD=a,PA上平面ABCD,且 上是否存在一点E(异于A1,B两点)，使得点 PA=a,点F在AD上，且CF⊥PC. 4到平面D的距肉为， B LA (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离. 146立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0),A1(0,0,25),B(-2,0,0),B1(-4,0,2√5)， C(-2,25,25), 可得BB=(-2,0,25),AC=(-4,25,25),AB= (-2,0,-23), 设Bi=入BB=(-2,0,23),A∈[0,1]， 可得AD=AB+BD=(-2A-2,0,25A-25), 假设在棱BB,(含端点)上存在一点D使A,D⊥AC1, 则A,D·AC=4(2x+2)+25(25x-23)=0, 解得A=5 所以存在一点D使A,D⊥AC, 此时BD=5B,=寺 16.【解析】(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系. D 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0), P(0,0,A),M(2,1,2),N(1,0,2), BC=(-2,0,2),F2=(-1,0,A),F2=(1,1,0), M=(-1,-1,0),N2=(-1,0,A-2). 当入=1时，F序=(-1,0,1)， 因为BC=(-2,0,2), 所以BC=2FP,即BC∥F 又BC,与FP无公共点，所以BC,∥FP 而FPC平面EFPQ,且BC,￠平面EFPQ 故直线BC,∥平面EFPQ: (2)假设存在符合题意的入.设平面EFPQ的法向量为n= (x,y,z）, F2.n=0 则由 可得厂+y=0, F.n=0, -x+λz=0 于是可取n=(A,-入，I).同理可得平面PQMN的一个法向 量为m=(入-2,2-入，1). 则m·n=(入-2,2-入，1)·（入，-入，1）=0， 即λ（入-2）-入(2-入)+1=0， 解得人=1±号故存在人=1±受 —25 使平面EFPQ⊥平面PQMW. 练案[10] 1.A因为M=(1,1,1),所以M的一个单位方向向量为u= 号（1,1.)因为成=(1.-1,3)，故1m1 下+(-+-T成=91-1+3)=，所以 点P到直线MW的距离为√PM产-1PM.u2=√1-3= 22 2.B两平行平面EFD,B,和平面GHDB之间的距离，就是点F到 平面GMDB的距离4=D.n-1x2+0x(-2)+0x1山 √22+(-2)2+1 2 3 3.D分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),Pi=(1,0,0).可以求得 平面ABC的-个法向量为m=(11,1),则d=P,mL-尽 4.B由题意知A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),所以BC=(0, 20-123所u-(六是活) 112 I4 CI 所以点B到直线A,C的距离d=TBC-(B心. IA CI 5.B以C为坐标原点，C⑦所在直线为x轴，C2所在直线为y 轴，CC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系（图略），则F(4, 2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),所以B2=(2,0,0), F正=(-2,2,0)，E元=(-2，-4,2).设平面EFG的法向量为 m·FE=0, m=(x,y,z),则 即 -2x+2y=0, m·E元=0,1-2x-4y+2z=0. 令x=1, 则y=1,z=3,则m=(1,1,3),所以点B到平面EFG的距离d 1B2·ml2T Iml 11 6.BC以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1, 0),4(0,0).c111,).D0,10,(20,1）0(2 3,1）,所以店=(1,0,0)，成=（-3,0,1），所以点4到 线的能尚4√（函高）广-√写 A 25放A错误，B正确：易知G方-(-分分0）平面 ABC,D1的一个法向量为DA=(0,-1,1).则点0到平面 ABC,D1的距离d,= G言停放c正魔，D IDAI 错误. 7.AD如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。 D iD M 则D0,0,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),M（1,1,2）4(1,0, 0),所以Ai=(0,1,)4花=(-1,1,0)，AD=(-1,0, 1).设平面4Cn的法向最为a=(,,期：正0：即 ln·AD=0, {-x+y=0令x=1,则y==1,所以n=(1,1,).所以点以 L-x+z=0. 到平面AC0,的距离d=m-5又/丽，且示- Inl 2而，放MN/平面ACD,故直线MN到平面ACD的距离 为号 &号因为B/平面®，所以直线AB到平面a的距离可转化 为点A到平面α的距离，易知C=(1,2,0),所以点A到平面 a的距离d=1C·nl-1-2 22 9厅易知时i=(50,1).册=（分号-），所以P 到直线的距离 d=√-（网预） =3+0+(-1)2-(3+0+3) =√26-9=√/17. I0.【解析】以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系， 26 C 则A(0,0,0),C(1,10),B(1,00),E(00,3）41(0,0. 1),D(0,1,0),D(0,1,1) 设M为4C钩中点，则M(220） (1)因为AD1=CD1,所以MD,的长即为点D,到AC的距离. 多每孤=专。 所以点D,到AC的距离为% (2)易知CA∥平面BDE,所以直线CA1上任一点到平面 BDE的距离都相等， 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 易知8d=(-1,1,0),成=（-1,0，)，=(0,0， ） rn·B=-x+y=0, 所以 …成=-+7=0， 令x=1,则y=1,z=2,所以n=(1,1,2), 所以以彩平百E的美有4.区公-言合 11.B以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,2 轴，建立空间直角坐标系， D M A B C 则A(2,0,0),M(2,1,2),N(0,1,0),C1(0,2,2),B(2,2,0) 设平面AMCN的法向量为m=(x,y,z),则 rm·A7=(x,y,z)·(0,1,2)=y+2z=0, 令x=1,则 m·A=(x,y,z）·(-2,1,0)=-2x+y=0, y=2,z=-1,故平面AMC,N的一个法向量为m=（1,2, -1),所以点B到截面AMC,N的距离4=：mL。 1(0,2,0)·(1,2,-1)1_26 /1+4+1 3 12.2643 11 如图，建立空间直角坐标系，则B(2,4,0), A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C(0,4,3) 'D 设F(0,0,z).由题意，知四边形AEC,F为平行四边形 所以由A市=EC,得(-2,0,2)=(-2,0,2).所以z=2,所以 F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).所以1B1=26,即BF 的长为26.设n1为平面AEC,F的一个法向量，显然n1不 垂直于平面ADF.因为A正=(0,4,1)，A=(-2,0,2),所以 可设m,=(,1),则由·正=0， 得内+10，所以 "1m,·=0,1-2x+2=0, =1. =-所以4=(1.寸小因为C=0.03,设 CC与n1的夹角为a,则cosa= cC·n ICC IInI 3 =433 所以点C到平面AEC,F的距离为 3×√+6+ 33 d=1cC1csa=3x43_4V3☒ 33 11 13。设0，m,a)0≤m0),直线仙，的-个单位方向 向量为，易知5=(-号0，号)，=0.-0，a-m.故 点M到直线AD,的距离d=√MD2-(MD·s)2= (a-m)-(a-m)-vn-omtzo 3 √层(a号）厂+了所以当m=分时，d取得最小值。 为√分-月放d的最小值为号 14.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dx, D. M B x 则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4) F(2,4,4),N(4,2,4).所以E=(2,2,0),M=(2,2,0), AM=(-2,0,4),B7=(-2,0,4),所以E求=M,B=Ai 所以EF∥MN,BF∥AM,因为EFOBE=F,MWN∩AM=M.所 以平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的法 向每，则”·心=2+2y0解得二22取1，则 n.Ai=-2x+4z=0, -25 x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).点A到平面EFBD的距离即 为平面AMN到平面EFBD的距离.因为AB=(0,4,0),所以 平面AMN与平面EFBD间的距离d=M店，mL=8 Inl -31 15.【解析】(1)由题意知AP,AB,AD两两垂直，建立空间直角 坐标系，如图， D x C 则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a) 设F(0,m,0), 则C7=(-a,m-a,0),C2=(-a,-a,a). 因为PC⊥CF,所以CFLC, 所以c7.C=(-a)·(-a)+(m-a)·(-a)+0=a2- a(m-a）=0, 所以m=2a,即F(0,2a,0). 设平面PCF的法向量为n=(x,y,z), 则·=-a+ay=0, "In.CP=-ax-ay+az=0, 解得， z=2x. 取x=1,得n=(1,1,2) 设点A到平面PCF的距离为d,由A元=(a,a,0), 得d=1AC.nl-0x1+ax1+0x2_5。 Inl 6 3 (2)由于B=(-a,0,a),BC=(0,a,0),AP=(0,0,a) 设平面PBC的法向量为n,=(xo,%,), 由·=-a+%=0, ln1·BC=ayo=0, 得6， Lyo=0. 取x=1,得n1=(1,0,1). 设点A到平面PBC的距离为h, 因为AD∥BC,AD丈平面PBC,所以AD∥平面PBC, 设h为AD到平面PBC的距离， 所以6=形n4:互 1m122a 16.【解析】假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA, CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空 间直角坐标系. A 则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0), AA=(0,0,2),B4=(2,-2,2). 设B2=ABA,Ae(0,1), 则E(2入，2(1-A),2A), Ai=(-2,0,1),A2=(2(A-1),2(1-A),2), 设n=(x,y,z)为平面AED的法向量， 则"·Ad=0, 9ln.A正=0， 即2x+8=0, 12(入-1)x+2(1-A)y+2Az=0, 取1则y头-2 即m=(1,头，2)为平面4D的-个法向蛋 因为点A到平面AED的距离 d=10·n川26 Γ3 所以26 4 3 /1-3入) W5+(1-A) 又Ae(0,),所以A=分 故存在点E,且当点E为AB的中点时，点A,到平面AED的 距离为2,6 练案[11] 1.Da=0或a=T-0,且ue(0,号]，因而cosa=lcos01. 2C由已知得线面角的范围是[0，引：(a,m〉-1与 法向量所在直线所成的角为号1与α所成的角为石 3.B建立如图所示的空间直角坐标系， C 则E(0,1,0),C(0,2,0),B1(1,2,1),D1(0,0,1),EB=(1, 1,1),D1C=(0,2,-1),设异面直线EB1与D,C所成的角为 0,则cos0= 1EB·D,C1I1×0+1×2+1×(-1)1 1 EBIID,C1√2+12+1×√0+22+(-1) 5 15 4.D如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0, 0),B(2,2,0),C(0,2,0),C(0,2,1), D2 X .BC=(-2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面BBD,D,.平面 BBDD的一个法向量为AC=(-2,2,0)..BC与平面 —25 BB,D,D所成角的正弦值为Icos(AC,BC)1= IAC·BCI IACIIBCI 4 /10 22×5-5 5.B如图所示，建立空间直角坐标系， 设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是A= (0,10,取Pm的中点E,则E(0,7,7）正=(0， 分)，易知是平面PHB的法向量，正是平面P0D的法向 量1s(,1=会，：平面PB与平面PCD的夹角 为45°. 6.BCD若a⊥n,则直线l∥平面a或在平面&内，故选项A不 正确；若a∥n,则a也是平面a的一个法向量，所以直线lL 平面α，故选项B正确：直线与平面所成角的正弦值等于直线 与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若s(a,m)=方 则直线1与平面α所成角的大小为石，故选项C正确：若 csm)=怎，则平面a,B夹角的大小为名故选项D 正确 1. 在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AA1⊥平面ABC,且ABL AC,以点A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间坐标系，如图所示， B D X 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),C(0,2,4), D(1,1,0),AD=(1,1,0),AC=(0,2,4),易知平面A1BA的 一个法向量为n=(0,1,0).设平面ADC,的法向量为m=(x, m·AD=0, y,2),则 0可得+y0,。令y=-2,则x=2. m.AC=-0,2y+4z=0, z=1.所以平面ADC,的一个法向量为m=(2,-2,1),设平面 ADC1与平面A,BA的夹角为0，则cos0=Icos(m,n〉I= 号引子所以平面0c,与平面A卧夹角的余弦值 为号 平面0y的一个法向量为n=(0,0,1).设平面a的法向 8.5