第1章 03 滚动习题(一)[范围：1.1～1.2] （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

滚动习题(一) 1.A　[解析] 因为3-2可用向量,线性表示,所以对于空间中的三个向量,,3-2,它们一定是共面向量,故选A. 2.C　[解析] ∵(++2)·(-)=0,∴(+)·(-)=0,可得=,即AB=AC,则△ABC一定是等腰三角形.故选C. 3.C　[解析] 因为向量n=x(a-b)+y(b-c)+4(a+c)=(x+4)a+(y-x)b+(-y+4)c,m=2a+3b-c,且m∥n,所以存在实数λ,使得n=λm,则解得所以x+y=6.故选C. 4.D　[解析] 设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,等号两边同时平方得a2+2a·b+b2=c2,又因为|a|=2,|b|=3,|c|=4,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=.故选D. 5.D　[解析] 由题意得=++=+-+=-++-=-++,又=a,=b,=c,∴=-a+b+c.故选D. 6.B　[解析] 若t=-1,则=--3+5,-1-3+5=1,所以P,A,B,C四点共面,充分性成立;若P,A,B,C四点共面,当=0时,t可取任意值,所以不能得到t=-1,故必要性不成立.所以“t=-1”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件,故选B. 7.C　[解析] 过点P作平行于底面的截面圆O1,过点Q作平行于底面的截面圆O2,则O1O2=6.设圆柱的底面圆半径为r,则2πr=12,解得 r=,于是<,>==.由=++,得||=== =,所以P,Q两点间的距离为.故选C. 8.B　[解析] 由PO⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,得PO⊥CE,即·=0.由题可知,·(+)=·(++-)=·(-)=·=·-·=0-||||cos∠ACE=-||2=-=-12.故选B. 9.ABD　[解析] 若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=+=0,故A正确;单位正交基底中的基向量的模为1,且互相垂直,故B正确;空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个球面,故C错误;若a=b,b=c,则a=c,故D正确.故选ABD. 10.ABD　[解析] 由题知a,b,c不共面,则a,2b,3c不共面,所以a,2b,3c能构成空间的一个基底,故A正确;设a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xb+(x+y)c,即方程组无解,所以a+b,b+c,c+a不共面,故a+b,b+c,c+a能构成空间的一个基底,故B正确;设a+2b=m(2b+3c)+n(3a-9c)=3na+2mb+(3m-9n)c,即解得即a+2b=(2b+3c)+(3a-9c),所以a+2b,2b+3c,3a-9c共面,不能构成空间的一个基底,故C错误;设a-b-c=λb+μc,因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以方程无解,所以a-b-c,b,c不共面,能构成空间的一个基底,故D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] 对于A,S△ABO=||||sin∠AOB,而|×|=||||sin∠AOB,故S△ABO=|×|,故A正确;对于B,·= ||||cos∠AOB,当∠AOB∈时,tan∠AOB有意义,则·tan∠AOB= ||||sin∠AOB=|×|,故B正确;对于C,因为||=||=2,·=2,所以cos∠AOB=,sin∠AOB=,所以|×|=2,故C错误;对于D,×的模长即为平行六面体底面OACB的面积,×的方向垂直于底面,由数量积的几何意义可知,|·(×)|就是在垂直于底面OACB的向量上的投影向量的模长(即为平行六面体的高)乘底面的面积,即为平行六面体的体积,故D正确.故选ABD. 12.-2　[解析] ∵A,B,C,D四点共面且任意三点不共线,P为平面ABCD外一点,=-2+5+λ,∴1=-2+5+λ,∴λ=-2. 13.0　[解析] 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设=a,=b,=c,则=+=b+c,=++=-a-b+c,所以·=(b+c)·(-a-b+c)=-a·b-b2+b·c-a·c-b·c+c2=-a·b-b2-a·c+c2=-2×2×-4-2×3×+9=0,因此⊥,所以cos<,>=0,即直线BC'与CA'所成角的余弦值为0. 14.　[解析] 由题知,,不共面,又=x+y+z,x+y+z=1,所以点M在平面ABC内,则当PM⊥平面ABC时,||最小. 如图,取BC的中点D,连接AD,当PM⊥平面ABC时,点M在AD上,且AM=AD=××1=, 此时PM===,即||的最小值为. 15.解:(1)在正四面体OABC中,=a,=b,=c,因为=2,=3, 所以=,=,所以=++=+(-)+(-)=-a+b+c. (2)依题意得,|b|=|c|=|a|=12,a·b=b·c=c·a=12×12×cos 60°=72, 所以||=== =. 16.解:(1)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1, a·b=0,a·c=,b·c=. 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, =+=+=+(+)= +(+)=a+b+c, 又=x+y+z=xa+yb+zc, ∴x=1,y=z=,∴x+y+z=2. (2)=+=b+c,∴||====. 又||== ===, ·=·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c+c·b+c2=0+++++=2, ∴cos<,>===, ∴sin<,>===, ∴S△AOD'=||||sin<,>=×××=, ∴△AOD'的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(一)[范围:1.1~1.2] (时间:45分钟　分值:101分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于空间中的三个向量,,3-2,它们一定是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.无法判断 2.若点D在△ABC所在的平面外,(++2)·(-)=0,则△ABC的形状一定是(　 ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 3.已知{a,b,c}是空间的一个基底,m=2a+3b-c,n=x(a-b)+y(b-c)+4(a+c),若m∥n,则x+y= (　 ) A.0 B.-6 C.6 D.5 4.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 5.[2026·合肥六中高二期中] 如图, 在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在棱OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=(　 ) A.a-b+c B.a+b-c C.a+b-c D.-a+b+c 6.[2026·辽宁大连八中高二月考] 对于空间中任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=t+(2t-1)+(7+2t),则“t=-1”是“P,A,B,C四点共面”的 (　 ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图①,正方形ABB1A1的边长为12,其内有两点P,Q,点P到边AA1,A1B1的距离分别为3,2,点Q到边BB1,AB的距离分别为3,2.现将正方形卷成一个圆柱,使AB和A1B1重合(如图②),则此时P,Q两点间的距离为 (　 ) A. B. C. D. 8.[2026·湖南衡阳高二阶段练] 如图,正四面体PABC的棱长为4,PO⊥平面ABC,O为垂足,=,延长CO交AB于点E,则·(+)= (　 ) A.12 B.-12 C.16 D.-16 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 (　 ) A.若A,B, C, D是空间中任意四点,则有+++=0 B.单位正交基底中的基向量的模为1,且互相垂直 C.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点轨迹是一个圆 D.若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c 10.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的有 (　 ) A.a,2b,3c B.a+b,b+c,c+a C.a+2b,2b+3c,3a-9c D.a-b-c,b,c 11.已知一对不共线的向量a,b的夹角为θ,定义a×b为一个向量,其模长为|a×b|=|a|·|b|sin θ,其方向同时与向量a,b垂直(如图①所示).在平行六面体OACB-O'A'C'B'中(如图②所示),下列结论正确的是 (　 ) A.△OAB的面积为|×| B.当∠AOB∈时,|×|=·tan∠AOB C.若||=||=2,·=2,则|×|= D.平行六面体OACB-O'A'C'B'的体积V=|·(×)| 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知A,B,C,D四点共面且任意三点不共线,平面ABCD外一点P满足=-2+5+λ,则λ=　　　　.  13.如图, 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=2,AA'=3,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则直线BC'与CA'所成角的余弦值为　　　　.  14.已知正四面体PABC的棱长为1,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,则||的最小值为　　　　.   四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·广西崇左高二阶段练] 在正四面体OABC中,=a,=b,=c,=2,=3. (1)用基底{a,b,c}表示; (2)若|a|=12,求||. 16.(15分)[2026·湖北武汉江岸区高二期中] 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=AA'=1,∠DAB=90°,∠A'AB=∠A'AD=60°,点O为BC'的中点,=x+y+z. (1)求x+y+z的值; (2)求△AOD'的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $