第1章 02 1.2 空间向量基本定理 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 考点一　空间向量的基底 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以构成空间的一个基底的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.,, B.,, C.,, D.,, 2.(多选题)已知O,A,B,C为空间的四个点,则下列说法正确的是(　 ) A.若{,,}构成空间的一个基底,则O,A,B,C四点共面 B.若{,,}是空间的一个基底,则{+,-,}也是空间的一个基底 C.若与共线,则存在一个向量与,构成空间的一个基底 D.+++=0 3.若是空间的一个基底,且向量a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间的一个基底,则实数t=　　　　.  4.{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3.若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 (　 ) A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 考点二　利用空间向量基本定理表示向量 5.在三棱锥P-ABC中,E为棱PC上的一点,且PE=2EC,若=a,=b,=c,则= (　 ) A.a+b+c B.a-b+c C.a-b+c D.a-b+c 6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,点F为棱CC1上靠近C的三等分点.若=x+y+z,x,y,z∈R,则x+y+z的值为(　 ) A. B. C. D.- 考点三　空间向量基本定理的应用 7.如图所示, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=3,AB=5,AA1=4,则cos<,>= (　 ) A. 　　　 B.- C. 　　　D.- 8.(多选题)[2026·江西师大附中高二月考] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ||=||=||=1且 ∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点,设 =a,=b,=c,则下列结论正确的是　　 (　 ) A.=a+b+c B.=a-b+c C.||= D.cos<,>= 9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,DC上的点,且AE=BE,CF=2DF,设=a,=b,=c. (1)以{a,b,c}为基底表示; (2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°,且||=3,||=3,||=3,求||. 10.下列可使非零空间向量a,b,c构成空间的一个基底的条件是 (　 ) A.a+c=2b B.a·b=b·c=c·a=0 C.|a|=|b|=|c|=1 D.a+b+c=0 11.[2026·合肥A10联盟高二期中] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量m=a+xb-c,n=-2a-3b+yc,x,y∈R,若m∥n,则x+y的值是 (　 ) A. B.2 C. D. 12.(多选题)[2026·石家庄七校高二月考] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是B1C1的中点,N为平面A1B1C1D1内一点,若=++λ,=-+μ,λ,μ∈R,则 (　 ) A.λ= B.λ=1 C.μ= D.μ= 13.(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c,若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,则 (　 ) A.=a+b+c B.||= C.⊥ D.cos<,>= 14.[2026·重庆八中高二期中] 已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量p=3a+2b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,则用基底{a+b,a-b,c}表示向量p=　　　　　　.  15.[教材P15习题1.2第8题] 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等,求证:这个四面体相对的棱两两垂直. 16.(多选题)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为正方形A'B'C'D'和正方形C'CDD'的中心,则 (　 ) A.对于任意的x,y,均有,,x+y共面 B.对于任意的x,y,=+x+y C.存在x,y,使得,,x+y共面 D.不存在x,使得=x(++) 17.[2026·湖北孝感高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,=,=2,=2,H在棱PD上,若E,F,G,H四点共面,则=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 1.C　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故选项A错误;向量,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故选项B错误;向量,,不是共面向量,能构成空间的一个基底,故选项C正确;向量,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故选项D错误.故选C. 2.BD　[解析] 由{,,}构成空间的一个基底,可得O,A,B,C四点不共面,A错误;假设{+,-,}不是空间的一个基底,则存在m,n使得=m(+)+n(-),所以=(m+n)+(m-n),与{,,}是空间的一个基底矛盾,所以{+,-,}也是空间的一个基底,B正确;因为与共线,所以对于任意非零向量a,都满足,,a共面,故不存在一个向量与,构成空间的一个基底,C错误;+++=(+)+(+)=+=0,故D正确.故选BD. 3.-1　[解析] 由a,b,c不能构成空间的一个基底,得存在x,y∈R,使得c=xa+yb, 即e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3)=xe1+(x+y)e2+ye3, 所以解得 4.A　[解析] xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3) =(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3,由空间向量基本定理,得 解得故选A. 5.C　[解析] 由PE=2EC,得=+=+=(-)+(-) =-+=a-b+c.故选C. 6.B　[解析] 由题意得=,=,所以=-=++-=++-=+-,所以x=y=1,z=-,所以x+y+z=1+1-=,故选B. 7.D　[解析] ∵AC⊥BC,AC=3,AB=5,∴CB==4,设=3a,=4b,=4c,∵这三个向量不共面且两两垂直,∴{a,b,c}为空间的一个单位正交基底,易知=+=-3a+4c,=+=-4b-4c,∴·=(-3a+4c)·(-4b-4c)=-16,又||==5,||=4,∴cos<,>==-. 8.ACD　[解析] 对于A,=++=++=a+b+c,故A正确;对于B,=+=+=+(-)=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c,故B错误;对于C,||==, ∵||=||=||=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,∴||= ==,故C正确;对于D,cos<,>====,故D正确. 故选ACD. 9.解:(1)=-=-(+)=-a-b+c. (2)由题意知|a|=|b|=|c|=3,<a,b>=<b,c>=<a,c>=60°,则a·b=b·c=a·c=3×3cos 60°=. 因为||2==|a|2+|b|2+|c|2+2 =×9+2××=,所以||=. 10.B　[解析] 由基底的定义可知只有非零空间向量a,b,c不共面时才能构成空间的一个基底.对于A,因为a+c=2b,所以a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间的一个基底,故A错误;对于B,因为a·b=b·c=c·a=0,所以a⊥b,b⊥c,c⊥a,所以a,b,c不共面,则a,b,c可以构成空间的一个基底,故B正确;对于C,在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,满足|a|=|b|=|c|=1,但是a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间的一个基底,故C错误;对于D,因为a+b+c=0,所以a=-b-c,所以a,b,c共面,故a,b,c不能构成空间的一个基底,故D错误.故选B. 11.D　[解析] 因为m∥n,所以==,解得x=,y=2,所以x+y=.故选D. 12.AC　[解析]　=++=++=++,而=++λ,,,不共面,因此λ=,故A正确,B错误;=++=++,则=-+μ=-(++)+μ=++,所以=-=++=++,由N为平面A1B1C1D1内一点,得,,共面,由共面向量定理得μ-=0,因此μ=,故C正确,D错误.故选AC. 13.BD　[解析] 对于A,根据题意可得=++,又BM=2A1M,C1N=2B1N,所以=++=(+)++=(+)++(+)=(-c+a)+c+(-a+b)=a+b+c,故A错误;对于B,因为=a+b+c,所以||2=(a+b+c)2=(|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2a·c)=(3+2|a|·|b|cos 90°+2|b|·|c|cos 60°+2|a|·|c|cos 60°)=×(3+0+1+1)=,所以||=,故B正确;对于C,易知=+,=+=-+,因为·=(+)·(-+)=(c+a)·(c-a+b)=|c|2-a·c+b·c+a·c-|a|2+a·b=1-++-1+0=≠0,所以与不垂直,故C错误;对于D,由C可得·=,因为||2=(c+a)2=|c|2+2a·c+|a|2=1+1+1=3,所以||=,因为||2=(c-a+b)2=|a|2+|b|2+|c|2-2a·c+2b·c-2a·b=1+1+1-1+1-0=3,所以||=,所以cos<,>===,故D正确.故选BD. 14.(a+b)+(a-b)+c　[解析] 设p=3a+2b+c=x(a+b)+y(a-b)+zc,x,y∈R, 即3a+2b+c=(x+y)a+(x-y)b+zc, 因为是空间的一个单位正交基底, 所以解得所以p=(a+b)+(a-b)+c. 15.证明:如图,在四面体S-ABC中,E,F,G,H,M,N分别为所在棱的中点,设=a,=b,=c, 则=-=(b+c)-a=(b+c-a), =-=c-(a+b)=-(a+b-c), 由EF=GH可得||=||,则=, 所以(b+c-a)2=(a+b-c)2, 由此可得(b+c-a)2-(a+b-c)2=4b·(c-a)=0, 所以b·(c-a)=0,即·=0, 所以⊥,即SB⊥AC,同理可证SA⊥BC,SC⊥AB. 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等,则这个四面体相对的棱两两垂直. 16.AC　[解析] 对于A,易知,,,都在平面ADC'B'内,所以对于任意的x,y,都有,,x+y共面,故A正确;对于B,=+=+=++,故x=y=,故B错误;对于C,=+,则当x=,y=0时,,,x+y共面,故C正确;对于D,=+=++,故存在x=1满足=x(++),故D错误.故选AC. 17.　[解析] 设=λ, 则=-=λ-, 又=-=-, 所以=+=-+-=-+-=-+, 因为E,F,G,H四点共面, 所以=x+y, 即λ-=x+y. 又因为AD∥BC,BC=2AD,所以=, 即-=(-), 所以=2-2+, 所以=-=+-, 所以λ-=x+y=++y, 所以解得 故=,所以=. 学科网（北京）股份有限公司 $