章末综合测评（一） 空间向量与立体几何（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

章末综合测评（一）　空间向量与立体几何 1.C　2.C　3.D　4.B　5.A 6.A　因为向量m，p，n共面，则m＝yp＋zn，即（4，5，x）＝y（2，2，0）＋z（－2，0，4）， 所以解得 故选A. 7.B　因为AC＝BC，O为AB的中点， 则OC⊥AB， 由圆锥的几何性质可知SO⊥平面ABC. 以点O为原点，OC，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则S（0，0，4），B（0，－2，0），C（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），N（0，1，1）. 设平面SBC的法向量为n＝（x，y，z），＝（2，2，0），＝（0，2，4）， 则取y＝－2，可得n＝（2，－2，1）. 又因为＝（0，3，1），所以点N到平面SBC的距离d＝＝＝.故选B. 8.B　因为棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，则OO1是该正四棱台的高，设为h. 过点O分别作BC，AB的平行线交AB，BC于点E，F， 则以点O为原点，以OE所在的直线为x轴，以OF所在的直线为y轴，以OO1所在的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB＝4，A1B1＝2，所以A1（1，－1，h），B（2，2，0），C（－2，2，0），A（2，－2，0）， ＝（1，3，－h），＝（－4，0，0）， 易知平面ABC的一个法向量为n＝（0，0，1）， 设平面A1BC的法向量为m＝（x，y，z）， 则即令z＝3，则y＝h，x＝0， 所以平面A1BC的法向量为m＝（0，h，3），则｜m｜＝＝. 因为二面角A1-BC-A的正切值为2，则二面角A1-BC-A的余弦值为， 所以＝｜cos＜n，m＞｜＝＝，解得h＝6. 该四棱台上底面积S1＝22＝4，下底面积为S＝42＝16， 所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积V＝h（S＋S1＋）＝×6×（16＋4＋8）＝56.故选B. 9.BCD　对于A，a＋b＝（3，1，0），由空间向量的模长公式得｜a＋b｜＝＝，故A错误； 对于B，a·b＝2－1＝1，故B正确； 对于C，2a＋b＝（5，1，1），故C正确； 对于D，由模长公式得｜b｜＝＝， 由投影向量的坐标公式得，向量a在b上的投影向量的坐标为b＝b＝，故D正确. 10.CD　设＝a，＝b，＝c. 对于A，＝＋＝a＋c，＋＝a－c， 所以∥（＋）不成立，故A错误； 对于B，＝（－c＋a－b＋c）2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1， 又3＝3b2＝3， 所以（＋－）2≠3，故B错误； 对于C，＝＋＋＝a＋b＋c，－＝b－a， 所以·（－）＝（a＋b＋c）·（b－a）＝b2－a2＋b·c－a·c＝1×cos 45°－1×cos 45°＝0，故C正确； 对于D，｜｜＝｜a＋b＋c｜＝＝ ＝＝3，故D正确.故选C、D. 11.ABD　如图，建立空间直角坐标系Axyz， 则B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，2，2），C1（2，0，2），A1（0，0，2），E（1，1，2）. 对于A，＝（1，1，2），＝（0，2，0），＝（2，0，0），＝（0，0，2）， 所以＋＋＝（0，1，0）＋（1，0，0）＋（0，0，2）＝（1，1，2）＝，故A正确； 对于B，＝（2，0，－2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）， 设平面A1CE的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则令x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝（1，－1，1）， 所以·n＝0，即⊥n，又AB1⊄平面A1CE，所以AB1∥平面A1CE，故B正确； 对于C，＝（1，1，2），＝（2，0，－2），则·＝－2，｜｜＝，｜｜＝2， 所以｜cos＜，＞｜＝＝＝， 即异面直线AE与A1C所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，设平面ACE的一个法向量为m＝（a，b，c）， 则 令c＝1，则a＝0，b＝－2，所以m＝（0，－2，1）， 得·m＝－2，所以点A1到平面ACE的距离为d＝＝＝，故D正确. 故选A、B、D. 12.－　解析：因为a∥b，且a，b均不是零向量，故存在非零实数k使得a＝kb，即 解得所以λ＋μ＝－. 13.　解析：因为＝2，所以＝， 则＝λ＝λ（＋）＝λ＋ ＝λ＋（＋＋）＝＋＋＝＋＋. 因为P，A，C，F四点共面， 所以＋＋＝1，解得λ＝. 14.　解析：以D为坐标原点，，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，如图. 设四面体AB1EF的外接球的球心为O（x，y，z），半径为R. 因为A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，1，2），B1（2，2，2）， 所以解得O，R2＝， 故四面体AB1EF的外接球的表面积为4πR2＝. 15.解：（1）由题可知＝3，＝i，＝j，＝k， 所以－＝3（－），即＝＋＝j＋k，又MN＝2NS， 所以＝＝j＋k， 所以＝－＝j＋k－i.（3分） 又点H为PF的中点， 所以＝＋＝i＋k， 所以a＝＋＝j＋k－i＋i＋k ＝－i＋j＋k.（6分） （2）因为∠ESF＝，∠ESP＝∠FSP＝，SE＝SF＝4，SP＝6， 由（1）问知i·j＝i·k＝6×4×＝12，j·k＝0，（8分） 所以·＝· ＝×·i·j＋×·i·k－i2＋×·k·j＋×k2－·k·i＝××12＋××12－×36＋××16－×12＝－.（13分） 16.解：（1）证明：∵PA＝AD＝1，且E为棱PD的中点， ∴AE⊥PD. ∵四边形ABCD为正方形， ∴CD⊥AD.（2分） 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE.（4分） 又∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD.（6分） （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB⊥AD， ∴以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.（8分） 又∵E为PD的中点， ∴E， 则＝（1，1，0），＝，＝（1，1，－1）.（10分） 设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令x＝1，即n＝（1，－1，1），（12分） ∴cos ＜，n＞＝＝－， ∴直线PC与平面ACE所成角的正弦值为.（15分） 17.解：（1）证明：因为∠BCD＝90°，CD＝BC＝2， 所以BD＝4，∠CBD＝45°. 在△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝4，由余弦定理得， AD＝＝4， 所以AD2＋BD2＝AB2， 即∠ADB＝90°，AD⊥BD. 取AD的中点O，连接PO，因为△PAD是等边三角形，所以PO⊥AD.（3分） 又因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 又因为BD⊂平面ABCD， 所以PO⊥BD. 又因为PO∩AD＝O，PO，AD⊂平面PAD， 所以BD⊥平面PAD.（6分） （2）取AB的中点N，连接ON，则ON∥BD，所以AD⊥ON， 以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，－2，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C（2，4，0），P（0，0，2）， ＝＋＝＋λ＝（0，－2，2）＋λ（2，4，－2）＝（2λ，4λ－2，2（1－λ）），（9分） 又＝（4，0，0），设平面MBD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则 即（12分） 当λ＝时，平面MBD⊥平面ABCD，不符合题意； 当λ≠时，令z＝2λ－1，得平面MBD的法向量为n＝（0，（λ－1），2λ－1），（13分） 易知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1）， 由于平面MBD与平面ABCD夹角的余弦值为， 故有｜cos＜m，n＞｜＝＝， 解得λ＝或λ＝.（15分） 18.解：（1）证明：由AA1⊥平面ABCD，得AA1⊥AC. 又AB⊥AC，AA1∩AB＝A，所以AC⊥平面AA1B1B.所以AC⊥BE.（1分） 因为AB＝1，AC＝AA1＝2，＝. 所以＝＝，∠EAB＝∠ABB1＝90°， 所以△ABE∽△BB1A，所以∠ABE＝∠AB1B. 因为∠B1AB＋∠AB1B＝90°，所以∠B1AB＋∠ABE＝90°，所以BE⊥AB1.（3分） 又AC∩AB1＝A，所以BE⊥平面ACB1.（4分） 所以平面BCE⊥平面ACB1.（5分） （2）由（1）知，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），D1（1，－2，2），E.（7分） 由（1）知，＝为平面B1AC的一个法向量.（8分） 设平面D1AC的一个法向量为n＝（x，y，z）， 因为＝（1，－2，2），＝（2，0，0），则 令z＝1，则y＝1，x＝0，所以平面D1AC的一个法向量为n＝（0，1，1）.（10分） 所以cos＜n，＞＝＝＝. 所以平面D1AC与平面B1AC夹角的余弦值为.（13分） （3）设＝λ＝（－λ，－2λ，0），0≤λ≤1， 则F（2－λ，－2λ，0），＝.（14分） 设点F到直线BE的距离为d， 则d＝ ＝ ＝＝. 所以当λ＝时，dmin＝，即F到直线BE距离的最小值为.（17分） 19.解：（1）证明：取PB中点E，连接AE，EN，则EN＝BC，EN∥BC. 又AD＝BC，AD∥BC，∴EN∥AD且EN＝AD， ∴四边形ADNE为平行四边形，则DN∥AE，（2分） 又DN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB， ∴DN∥平面PAB.（4分） （2）由已知得，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝45°，由余弦定理知AB＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC. 又PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，建立如图空间直角坐标系Axyz. 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（－1，1，0），P（0，0，1），N.（7分） 显然平面PAB的法向量r＝（0，1，0），＝， ∴点N到平面PAB的距离d＝＝＝1.（9分） （3）假设存在点M满足题意，令＝λ，λ∈[0，1]，则M（－λ，λ，1－λ）. 显然平面ACD的法向量m＝（0，0，1），设平面MAC的法向量为n＝（x，y，z）， 由⇒取n＝（1－λ，0，λ），（11分） ∴cos 45°＝｜cos＜m，n＞｜＝＝＝， 即2λ2＝1－2λ＋2λ2，解得λ＝，（13分） ∴M，∴＝，n＝.（14分） 记BM与平面MAC所成角为θ， 则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝. ∴存在点M满足要求，且BM与平面MAC所成角的正弦值为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评（一）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（0，1，－1），B（1，1，2），点B关于y轴对称的点为C，则｜AC｜＝（　　） 　 A. B. C. D.2 2.已知空间向量a＝（1，3，－2），b＝（2，－m，－2），若a⊥b，则m＝（　　） A.1 B.－2 C.2 D. 3.（2026·河南TOP二十名校调研）已知点A（1，0，－2），B（3，1，0），若平面α的一个法向量为n＝（0，－2，1），则直线AB与平面α的位置关系是（　　） A.AB∥α B.AB⊥α C.AB⊂α D.AB∥α或AB⊂α 4.（2026·北京东城月考）如图，在斜棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b＋c B.－a－b－c C.－a＋b＋c D.－a－b＋c 5.（2026·陕西西安期中）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝BB1，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 6.已知向量m＝（4，5，x），p＝（2，2，0）及n＝（－2，0，4）共面，则x的值为（　　） A.2 B.1 C.－1 D.3 7.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO＝AB＝4，AC＝BC，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为（　　） A. B. C.1 D.2 8.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1，AB＝4，A1B1＝2，二面角A1-BC-A的正切值为2，则正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为（　　） A. B.56 C.12＋20 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间向量a＝（2，0，1），b＝（1，1，－1），则以下说法正确的是（　　） A.｜a＋b｜＝ B.a·b＝1 C.2a＋b＝（5，1，1） D.向量a在b上的投影向量的坐标为 10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，则（　　） A.∥（＋） B.（＋－）2＝3 C.·（－）＝0 D.｜｜＝3 11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，点E为B1C1的中点，则下列说法正确的是（　　） A.＝＋＋ B.AB1∥平面A1CE C.异面直线AE与A1C所成角的余弦值为 D.点A1到平面ACE的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知空间向量a＝（λ＋1，2λ，1），b＝（6，2，2－μ），且a∥b，则λ＋μ＝　　　　. 13.（2026·广东佛山H7联考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足＝2，点F满足＝λ，若P，A，C，F四点共面，则λ＝　　　　. 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点，则四面体AB1EF的外接球的表面积为　　　　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在三棱锥P-SEF中，FM＝3ME，MN＝2NS，点H为PF的中点，设＝i，＝j，＝k. （1）记a＝＋，试用向量i，j，k表示向量a； （2）若∠ESF＝，∠ESP＝∠FSP＝，SE＝SF＝4，SP＝6，求·的值. 16.（15分）（2026·江苏无锡六校联考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1， E为棱PD的中点. （1）求证：AE⊥平面PCD； （2）求直线PC和平面ACE所成角的正弦值. 17.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝2CD＝2BC＝4，M是棱PC上的点，且＝λ，0≤λ≤1. （1）求证：BD⊥平面PAD； （2）设平面MBD与平面ABCD的夹角为θ，若cos θ＝，求λ的值. 18.（17分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，＝. （1）求证：平面BCE⊥平面ACB1； （2）求平面D1AC与平面B1AC夹角的余弦值； （3）若F为线段CD上的动点，求F到直线BE距离的最小值. 19.（17分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝CD＝，BC＝2，PA＝1，N为PC的中点. （1）求证：DN∥平面PAB； （2）求点N到平面PAB的距离； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $