第1章 01 1.1 空间向量及其运算 01 1.1.1 空间向量及其线性运算 （课时作业）-【学而思】2026-2027学年高中数学选择性必修一课时作业（人教A版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 考点一　空间向量概念的理解 1.下列关于空间向量的说法中,正确的是(　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.空间中所有的单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C.若a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b D.若两个向量相等,则它们的起点与终点相同 2.下列命题中,是假命题的是 (　 ) A.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有= B.对于两个空间向量a,b,“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件 C.只有零向量的模等于0 D.若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p 考点二　空间向量的加减法运算 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,++= (　 ) A. B. C. D. 4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c, 则= (　 ) A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 5.已知四边形ABCD,O为空间中任意一点,且+=+,则四边形ABCD一定是 (　 ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 考点三　空间向量数乘运算 6.[2026·皖南八校高二段考] 若A,B,C,D为空间中不同的四点,则下列各式不一定等于零向量的是 (　 ) A.++ B.++ C.+2+2+ D.-+- 7.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,化简下列各式. (1)++; (2)-+; (3)++(-). 考点四　空间向量共线、共面的判定及应用 8.下列条件中,能说明空间中不重合的三点A,B,C共线的是 (　 ) A.+= B.-= C.||=|| D.= 9.已知空间非零向量a,b,c,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若a,b,c共面,那么a,b,c中至少存在一对向量共线 B.若a,b,c(b,c不共线)共面,那么存在一组实数对(λ,μ),使得a=λb+μc C.若a,b,c不共面,那么a,b,c所在直线中至少存在两条直线异面 D.若a,b,c不共面,那么a,b,c所在直线中不可能存在两条直线异面 10.设空间向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三点共线,则λ=　　　　.  11.[2026·四川绵阳外国语高二月考] 已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间中不重合的9个点(如图所示),并且=k(k>1),=k,=k,=+m(m>0),=+m.求证: (1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面; (2)∥; (3)=k. 12.[2026·广东八校高二检测] 已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,下列条件中能确定M,A,B,C四点共面的是 (　 ) A.=++ B.=2-- C.=++ D.=++ 13.(多选题)下列说法正确的有 (　 ) A.若空间中的点O,A,B,C满足=+,则A,B,C三点共线 B.对于空间中的三个向量,若其中有两个向量共线,则这三个向量一定共面 C. 若G是三棱锥O-ABC的底面ABC的重心,则=(++) D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=-+,则A,B,C,G四点共面 14.(多选题)如图,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且=,=,则(　 ) A.= B.= C.= D.四边形EFGH是梯形 15.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',E,F分别是正方形A'B'C'D'和正方形CC'D'D的中心.若+=+x+y(x,y∈R),则x+y=　　　　.  16.已知三棱锥P-ABC的体积为13,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 17.[2026·武汉二中高二月考] 已知点D在△ABC所在的平面内,O是平面ABC外任意一点,满足=2-x-y,且x>0,y>0,则+的最小值为 (　 ) A.1+ B.2+ C.4+ D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 1.B　[解析] 对于A,向量是既有大小又有方向的量,所有单位向量的模相等,方向不一定相同,所以空间中所有的单位向量不一定相等,所以A错误;对于B,由相反向量的定义知,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,所以B正确;对于C,由向量的定义知,向量不能比较大小,所以C错误;对于D,根据相等向量的定义知,长度相等且方向相同的两个向量是相等向量,但相等向量的起点和终点不一定相同,所以D错误.故选B. 2.D　[解析] 对于A,和的长度相等、方向相同,所以=,故A中命题为真命题.对于B,由|a|=|b|得两个向量的模长相等,但方向不一定相同,充分性不成立;由a=b得两个向量的模长一定相等,必要性成立.所以“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件,故B中命题为真命题.对于C,长度为0的向量叫作零向量,只有零向量的模长等于0,故C中命题为真命题.对于D,向量的平行不具有传递性,比如当n为零向量时,零向量与任何向量都平行,但m,p不一定平行,故D中命题为假命题.故选D. 3.D　[解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由平行四边形法则可得,++=+=.故选D. 4.D　[解析] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为=a,=b,=c,所以=+=+=--=b-a-c=-a+b-c.故选D. 5.A　[解析] ∵+=+,∴=,∴∥且||=||,∴四边形ABCD一定为平行四边形. 6.C　[解析] 对于A,++=0,故A中式子一定为零向量;对于B,++=++=+=0,故B中式子一定为零向量;对于C,+2+2+=(+)+(+)+(+)=+,+不一定为零向量,故C中式子不一定为零向量;对于D,-+-=(-)+(-)=+=0,故D中式子一定为零向量.故选C. 7.解:(1)++=++=. (2)-+=-(-)=-=. (3)++(-)=+(-)=+. 8.D　[解析] 对于空间中的任意三个不重合的点A,B,C,都有+=成立,A错误;若-=,则+=,而+=,所以=,即B,C两点重合,与已知矛盾,B错误;||=||,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,C错误;=,则A,B,C三点共线,选项D正确.故选D. 9.B　[解析] 对于A,当a,b,c共面时,a,b,c相当于平面内的三个平面向量,这三个平面向量可以都不共线,所以A错误;对于B,根据共面向量定理可知B正确;对于C,如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设a=,b=,c=,显然a,b,c不共面,但a,b,c所在直线中没有异面直线,故C错误;对于D,如图,设a=,b=,c=,显然D1D与C1B1异面,所以D错误.故选B. 10.0　[解析] 因为=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,所以=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3,又A,C,D三点共线,所以存在唯一的实数y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],则解得 11.证明:(1)由=+m,得-=m,即=m,所以DC∥AB,故A,B,C,D四点共面.由=+m,得=m,所以HG∥EF,故E,F,G,H四点共面. (2)由=k,=k,=k,得=+m=-+m(-)=k(-)+km(-)=k+km=k(+m)=k, 所以∥. (3)由(2)知=k, 所以=-=k-k=k(-)=k, 所以=k. 12.D　[解析] 当=x+y+z,且x+y+z=1时,M,A,B,C四点共面.对于A,由=++,得1+1+1=3≠1,点M,A,B,C四点不共面,故A不符合题意;对于B,由=2--,得2+(-1)+(-1)=0≠1,点M,A,B,C四点不共面,故B不符合题意;对于C,由=++,得++=≠1,点M,A,B,C四点不共面,故C不符合题意;对于D,由=++,得++=1,点M,A,B,C四点共面,故D符合题意.故选D. 13.ABC　[解析] 对于A,因为=+,且+=1,所以A,B,C三点共线,故A正确;对于B,由空间向量共面定理可知,对于空间中的三个向量,若其中有两个向量共线,则这三个向量一定共面,故B正确;对于C,G为三棱锥O-ABC的底面ABC的重心,设D为BC的中点,连接AD,OD,则=2,所以-=2-2=+-2,故=(++),故C正确;对于D,因为-+≠1,所以A,B,C,G四点不共面,故D错误.故选ABC. 14.ABD　[解析] =-=-=(-)=,故A正确;因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH是△ABD的中位线,则==×=,故B正确;显然直线EF和直线HG相交,EH∥FG,故C不正确,D正确.故选ABD. 15.　[解析] 如图,连接A'C',DC',AC'.因为E,F分别是正方形A'B'C'D'和正方形CC'D'D的中心,所以E,F分别是A'C',DC'的中点,所以=+=+(++)=++,=+=+(++)=++,所以+=++,又+=+x+y(x,y∈R),所以x=1,y=,则x+y=. 16.C　[解析] 由=-++,得13=-+3+4,所以13=--+3+3+4+4,即7=-+3+4,所以=-++,因为-++=1,所以在平面ABC内存在一点D,使得=-++,即=,则=,所以VA-MBC=VM-ABC=VP-ABC=×13=7.故选C. 17.B　[解析]　=+=2-x-y,则=3-x-y,因为A,B,C,D四点共面,所以3-x-y=1,即x+y=2,因为x>0,y>0,所以+=(x+y)=≥2+,当且仅当=,即x=3-,y=-1时取等号.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $