练案2 第一章 1.1.1 第2课时共线向量与共面向量-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[2] 第-章1.11.1.1[ A组·基础巩固 1.下列命题中正确的是 A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面 C.若两个非零空间向量AB与CD满足AB+CD =0,则AB∥CD D.若a∥b,则存在唯一的实数入，使a=入b 2.已知非零向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+ 6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 3.在下列条件中，使点M与点A,B,C一定共面 的是 () A.0i=30A-20B-0d B.OM+0A+0B+OC=0 C.MA +MB+MC =0 D.oi=40i-01+20d 4.（多选)在以下命题中，不正确的命题是 A.已知A,B,C,D是空间任意四点，则AB+BC +CD+DA=0 B.Ial-IbI=Ia+b1是a,b共线的充要条件 C.若AB与CD共线，则AB与CD所在直线平行 D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B, C,若0P=xOA+y0B+z0C(其中x,y,∈ R),则P,A,B,C四点共面 5.已知P为空间中任意一点，A,B,C,D四点满 足任意三点均不共线，但四点共面，且PA 号P店-tP心+Di,则实数x的值为() A.3 B.-3 C. D.- 6.设e1,e2是不共线的向量，已知AB=2e1+ke2, CB=e1+32,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共 线，则实数飞为 第2课时共线向量与共面向量] 7.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD 的中点，则EF和AD+BC的关系是 (填“平行”“相等”或“相反”). 8.有下列命题： ①若AB∥CD,则A,B,C,D四点共线； ②若AB∥AC,则A,B,C三点共线； ③若e1,e2为不共线的非零向量，a=4e1- 2 e,b=-e,+102,则a/b: ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量，且满 足等式ke1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0. 其中是真命题的序号是 .(把所有真 命题的序号都填上) 9.已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的 任意一点O,确定在下列条件下，点P是否与 A,B,M一定共面. (1)0M+0i=30-04; (2)0P=40A-0B-0. 27 10.如图，平行六面体ABCD-AB,CD1中，M是 AD的中点，N是BD的中点，判断MN与D,C 是否共线 B组·综合运用 11.在正方体ABCD-AB,C,D1中，点E,F分别 是底面AB,C,D1和侧面CC,D,D的中心，若 EF+入AD=0(入∈R),则入=() A.-1 B.-7 C. D.1 12.已知ij,k是不共面向量，a=2i-j+3k,b= -i+4j-2k,c=7i+5j+入k,若a,b,c三个 向量共面，则实数入= 13.如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，M,N分 别是棱BB1,DD1的中点，P是棱AB1上靠近 A的四等分点，过M,N,P三点的平面交 棱BC于Q,设Bd=入BC,则A= D C M 12 14.如图所示，已知平行四边 形ABCD,过平面AC外 一点0作射线OA,OB, A B H OC,OD,在四条射线上分 别取点E,F,G,H,并且 使E=0F=0G-0H 0A=0B=0C=0D k,求证：E,F,G,H四点共面. C组·拓展提升 15.已知正方体ABCD-AB,C,D,,P,M为空间 任意两点，如果有PM=PB,+7BA+6AA- 4AD,那么M必 () A.在平面BAD1内 B.在平面BA,D内 C.在平面BAD1内D.在平面AB,C1内 16.如图所示，已知四边形 ABCD是平行四边形，点 G P是ABCD所在平面外的 D E 一点，连接PA,PB,PC, B PD.设点E,F,G,H分别 为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心. (1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置 关系，并用向量方法证明你的判断. 2816【解析】(1)证明：0=-号（店+A心），① Oi=-子(B+Bd,② o元=-}(d+a,③ 由①+②+③得0A+0i+0元=0. (2)因为d=号xd+=号d+. 所以i+店-多-$d =(-sd)+(-Ci)-3×}(c+c) -+2(--2(a+-0 练案[2] 1.C若b=0,则a与c不一定共线，故A错误；共面向量的定 义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在 的直线不一定共面，故B错误；：AB+C⑦=0，AB=-C .AB与Ci共线，故AB∥C⑦，故C正确；若b=0,a≠0，则不存 在入，使a=Ab,故D错误 2.ABi=B武+Ci=2a+4b=2AB.A,B,D三点共线。 3.CMA+M2+Md=0,MA=-Mi-M元，点M与点A, B,C必共面. 4.BCDB+BC+Ci+D=A元+Ci+Di=A市+Di=0,A正 确：若a,b同向共线，则Ial-Ib<Ia+b1,故B不正确：由向 量平行知C不正确；D中只有x+y+z=1时，才有P,A,B,C 四点共面，故D不正确.故选BCD. 5Api=号p-xP吃+石=号Pi-xP吃+石(P-Pi) =2成-x成-石成又：P是空间任意一点，A,BC,D四 点满足任意三点均不共线，但四点共面子-一石=1，解 得x=分 6.-8因为Bi=C-C=e1-4e2,A2=2e1+ke2,又A,B,D 三点共线，由向量共线的充要条件得号-，所以k=-8 7.平行设G是AC的中点，连接EG,FG(图略)，则E=E元+ 成=2配+2而=（市+B心），所以2成=市+B成，从 而E7∥(AD+BC). 8.②③④根据共线向量的定义，若AB∥C⑦，则AB∥CD或A, B,C,D四点共线，故①错误；因为AB∥AC且AB,AC有公共点 A,放②正确：由于a=4e-号c,=-4b,所以a/h故③正 确；易知④也正确。 9.【解析】(1)：0+0=30-0， 0劢-}0成+3+3成， -23 ∴.P与A,B,M共面. (2):02=40i-0-0. 又4-1-1=2≠1， .P与A,B,M不共面. 10.【解析】连接AC,如图. B N是BD的中点，四边形ABCD为平行四边形， ∴.N为AC的中点. 又M是AD的中点， ·.M=A-A立 =2记可 =分d-而=2d, .M与D,C共线. 11.B在△CAD中，EF是其中位线，所以E∥A方，且E市= 立因此当办+方=0时A=号 12.6空a,b,c三向量共面，a,b不共线，.存在实数m,n使 7 得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j- 2k)=(2m-n)i+(-m+4n)j+(3m-2n)k..'i,j,k是不共 r7=2m-n, 面向量，. 5=-m+4n,A=5 7 入=3m-2n, 13.子设店=a,花=b,不=c,则P7=P丽+B,i=子a ,网=+成+丽=之+a-b+=a-b,0- M应+B成=b-?c,由题意可知，Pi,,M成共面，设成 mp成+n减，即b-之e=m子a-之c）+n(a-b)= 3 4m+n=0, (子m+n）a-b-c,所以a=-, 解 1 1 -2m=-2 m=1, 得 n=-4 3 λ二4 4【证明】周为85-8需-8-8册， 所以02=k0A,0i=k02,0元=k0元， OH =k OD. 由于四边形ABCD是平行四边形， 所以A亡=A店+AD 因此EG=0元-0成=kO元-kOA=kAC =k(AB+AD)=k(0B-0A+0D-0A) -O求-o成+0i-0成=E市+Ei 由向量共面的充要条件知Ei,E户，E心共面， 又E立，E,EG过同一点E, 从而E,F,G,H四点共面. 15.C PM=PB+7BA +6 AA -4A D'PB'BA +6 BA- 4A D'=PB+BA+6BA-4A D'=PA+6(PA-PB)- 4(PD-PA)=11PA-6P2-4PD,因为11+(-6)+ (-4)=1,于是M,B,A1,D1四点共面. 16.【证明】(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长，交对边于点 M,N,Q,R,连接MW,NQ,QR,RM, D A M B 因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心， 所以M,N,Q,R分别是所在边的中点， 且成=号m,成=号风，成=子风i=子成 由题意知四边形MNQR是平行四边形， 所以M0=M+M亟 =(P咏-Pi)+(P成-P) =2(亦-成)+2(m-P =(+. 又成-成-m-元-2成-多成， 所以E心=E亦+E成由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面。 (2)平行.证明如下： 由（)得成=2成，所以成/成， 所以EG∥平面ABCD, 又丽=成-成=3序-成=成， 所以M∥E市，即EF∥平面ABCD. 又因为EGOEF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行. 练案[3] 1.C由题意，可得E=d,所以(BC,)=(B心，C市)= 180°-(CB,Ci)=180°-60°=120°. 2.BCD因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 故P·Ci=O;因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,可得 PA⊥AD,又AD⊥AB,PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,又PB 23 C平面PAB,所以AD⊥PB,故DA·P=0:同理Pi·AB=0. 所以选BCD. 3.B设间量a,b的夹角为a则as0=治治：一宁，所以0 =120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120° =60°. 4.101al=4,1b1=6,Ic1=2,且(a,b〉=(a,c〉=(b,c〉= 3.la+b+c2=(a+b+c)·(a+b+c)=lal2+1b12+ Icl2+2a·b+2a·c+2b·c=Ia12+Ib|2+IcI2+2 lallbl ·cos(a,b〉+21 allcl·cos(a,c〉+21b1lcl·cos(b,c〉=42 +62+22+4×6+4×2+6×2=100,.1a+b+c1=10.故答 案为10. 5.BC2BA·A元=2a2cos120°=-a2,A错误；2AD·Bi=2DA ·D品=2a2cos60°=a2,B正确：2F元.A元=A元.A元=a2,C正 确；2E成.店-励.成=-励8成=-22，D错误 6.B在空间四边形ABCD中，因为∠ABD=∠BDC=90°，AC= 2BD,所以AB·BD=BD·D元=0，又AC=AB+Bi+D元，则 A元.BD=(AB+Bi+DC)·Bi=IBD12,所以B配在A元上的投 影向量为励：花.交-·花=花 1AC1 IACI IA元2 7.221a+b12=a2+2a·b+2=132+2a·b+192=242, 2a·b=46,1a-b12=a2-2a·b+b2=530-46=484,故 1a-b1=22. 8.60°由条件知(a+3b)·(7a-5b)=71a2-151b2+16a· b=0,(a-4b)·(7a-2b)=71a2+81b12-30a·b=0,两式 相减得46a·b=231b1P,所以a·b=了1b12,代入上面两个 式子中的任意一个，得1a1=b1,所以s(a,)=8治 6=子所以a6=60 9.【解析】CA⊥AB,BD⊥AB, .(C,Bi)=120°. :Ci=CA+AB+B励，且CA·AB=0,B⑦·AB=0, .ICDI2=CD.CD=(CA+AB+BD)(CA+AB+BD)= ICA+AB12+IBD12+2CA.BD+2CA.AB+2B.BD= 1CA2+1AB2+1B12+21C11Bi1·cos<CA,Bi)=62+42 +8+2x6x8×(-)=68, .1Ci1=2√7，故CD的长为27 10.【解析】(1)证明：Bi=BC+C, .Bi.P元=(BC+Ci)·P =Bt.P元+Ci.Pt =1BC1IP元1cos60°+1Ci1IP元1cos120° =22-22=0 .BD LPC,.BD⊥PC