精品解析：辽宁省葫芦岛市东北师范大学连山实验高中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

东北师范大学连山实验高中高三年级2024-2025学年度 第一次摸底考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮按干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集共有个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，即可确定真子集的个数. 【详解】因为，所以其真子集个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，然后代值计算即可 【详解】由，得， 所以， 故选：A 3. 已知点在角的终边上，且，则的值为 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合角的范围即可得解. 【详解】因为点在角的终边上， 由三角函数的定义可知，且点在第四象限，所以. 故选： 4. “”是“，成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式恒成立，可求得，即可得出答案. 【详解】因为，成立，则，即. 所以，“”是“，成立”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 求值 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】,选C. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 函数有一个零点 C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，判断函数的单调性，结合单调性性质判断A，由指数函数的性质可得，结合零点定义判断B，举反例判断C，证明，由此可得函数的对称性，判断D，综合可得答案． 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数， 函数在R上为增函数，易得在R上为增函数， 则有，A错误； 对于B，，有，则有， 所以没有零点，B错误； 对于C，，， 所以，不是偶函数，C错误； 对于D，因为， 所以 所以， 所以函数的图象关于点对称，D正确； 故选：D． 7. 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当，即时，取得等号， 则，解得. 故选：C. 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数； 【详解】令． ①当时，，则函数在上单调递增， 由于，由零点存在定理可知，存在，使得； ②当时，，由，解得． 作出函数，直线的图象如下图所示： 由图象可知，直线与函数的图象有两个交点； 直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. （多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可. 【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确； 对于B显然正确； 对于C，当时，，显然不符合； 对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确. 故选：ABD． 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解. 【详解】因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； 又由， 所以，所以D正确； 联立方程组 ，解得，所以B正确； 由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数是最小正周期为2的周期函数 D. 若函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的对称性，以及条件的变形，即可判断ABC；首先判断函数的周期性，再利用周期性和函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以函数是奇函数，故A正确； 因为，所以，又， 所以，所以，所以，所以为偶函数.故B正确； 因为，所以是最小正周期为4的周期函数，故C错误； 因为，所以，那么， 所以也是周期为4的函数， ， 因为，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质和应用，理解抽象函数，理解自变量的任意性，从而学会变形，达到判断性质的目的. 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. “等边三角形都是等腰三角形”的否定是________________. 【答案】有的等边三角形不是等腰三角形 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可得解. 【详解】先翻译“等边三角形都是等腰三角形”，即等边△ABC，△ABC是等腰三角形； 全称命题的否定，先把全称量词改为存在量词，再把结论进行否定即可. 所以“等边三角形都是等腰三角形”否定为：有的等边三角形不是等腰三角形. 故答案为：有的等边三角形不是等腰三角形. 13. 等差数列中，设为其前项和，且，，则当______时，最小. 【答案】7 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可。 【详解】因为为等差数列，不妨设其公差为d，易知， 则，即是关于n的二次函数， 又，所以关于对称， 由二次函数性质知时，最小. 故答案为：7 14. 设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法整理不等式，构造函数并研究单调性，可化简不等式，利用分离参数，再构造新函数，利用单调性，可得答案. 【详解】由于在时恒成立， 则时恒成立. 令，，则， 所以在上单调递增， 当时，由，则； 当时，由，则显然成立； 综上所述：，可得，即. 令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用幂指恒等代换进同构整理，由此构造函数即可. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解关于的不等式. 【答案】时，解集为，时解集为，时解集为． 【解析】 【分析】通过移项通分化分式不等式为整式不等式，然后分类讨论可得． 【详解】, 时，不等式可化为，解为或， 时，不等式可化为，解为， 时，不等式可化为，解为． 综上，时，解集为，时解集为，时解集为． 16. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，所以可求的值. （2）先分析函数的单调性，根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式化成代数不等式，再分离参数，转化成恒成立问题，求函数的最值即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以. 【小问2详解】 因为. 随着的增大，变大，变小，变大，变大. 所以函数在上单调递增. 由. 所以在恒成立. 所以，恒成立. 因为（当且仅当时取“”）. 所以，即k的范围是. 17. 已知函数的最小值为. （1）求m的值； （2）若的定义域为，求的单调递增区间； （3）若，，求的值. 【答案】（1）1 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）把函数化成的形式，根据函数的最小值求参数值. （2）求函数的单调区间，再分析函数在上的单调性. （3）根据条件求出，，再结合二倍角公式和诱导公式求的值. 【小问1详解】 因为. 由得：； 【小问2详解】 由，，. 所以函数在，上单调递增， 在，上单调递减. 令，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 令，函数在上单调递增. 又，所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 故函数的增区间为， 【小问3详解】 由. 因为，所以，且，所以， 所以. 所以. 所以. 18. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）直接赋值，然后建立等式求解即可； （2）先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意知： 当时，，① 当时，，② 联立①②，解得（舍去）， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 所以． 设数列中存3项（其中成等差数列）成等比数列． 则， 所以，即， 又因为成等差数列， 所以， 所以， 化简得， 所以， 又，所以，与已知矛盾， 所以在数列中不存在不同的3项成等比数列． 19. 已知函数 （1）若，求证：当时，; （2）若在区间上单调递增，试求k的取值范围; （3）求证： 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)求导可得，再分析单调性，进而得出导函数的范围即可得的单调性，进而证明即可. (2)由题意可知导函数大于0恒成立，参变分离可得在区间上恒成立.构造函数求最小值即可. (3)由(1)中的结论，代入可得，再累加求和利用裂项放缩求证即可. 【详解】（1），则．所以 所以在上递增，所以 所以在上递增，故． （2）由题得，导函数在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. 设，则，故在上，单调递减；在上，单调递增；故. 故，解得.即k的取值范围为． （3）由（1）知，对于，有，取为有， 则，取，从而有， 于是 ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值证明不等式的问题，同时也考查了参变分离求参数范围的问题、根据前问的结论结合数列中的放缩证明不等式的问题.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北师范大学连山实验高中高三年级2024-2025学年度 第一次摸底考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮按干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集共有个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知点在角的终边上，且，则的值为 A. B. C. D. 4. “”是“，成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 求值 A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 函数有一个零点 C. 函数是偶函数 D. 函数的图象关于点对称 7. 若关于x不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. （多选）已知数列前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数是最小正周期为2的周期函数 D. 若函数满足，则 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. “等边三角形都是等腰三角形”的否定是________________. 13. 等差数列中，设为其前项和，且，，则当______时，最小. 14. 设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为______ 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解关于的不等式. 16. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围. 17. 已知函数的最小值为. （1）求m的值； （2）若的定义域为，求的单调递增区间； （3）若，，求的值. 18. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 （1）若，求证：当时，; （2）若在区间上单调递增，试求k的取值范围; （3）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$