【期中专项】专项02 等腰、直角三角形与对称性质（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

专项02　等腰、直角三角形与对称性质 目 录 考点01 线段的垂直平分线（提升） 考点02 角平分线（提升） 考点03 等腰与等边三角形（基础—提升） 考点04 直角三角形两大性质（提升） 考点01 线段的垂直平分线 难度：提升　|　6 题 1．如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则________． 2．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么________度． 3．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图 （1）在图1中找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． （2）在图2中画出线段的中垂线． 4．（1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，，垂足为点C，________，点P是直线MN上的任意一点． 求证：________． 证明： （2）如图2，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由． 5．对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． （1）请在以下证明过程中填入适当理由证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． （2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） （3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） 6．已知：如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，垂足为F，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是等腰三角形． 考点02 角平分线 难度：提升　|　6 题 7．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（ ） A. 角平分线与边上中线的交点 B. 角平分线与边上中线的交点 C. 角平分线与边上中线的交点 D. 角平分线与边上中线的交点 8．如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. C. B. D. 9．如图．在中，，分别平分，，且交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E，则以下结论：①；②；③点O在的角平分线上；④；⑤若点O到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是________． 10．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点D．若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 11．【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 12．某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 考点03 等腰与等边三角形 难度：基础—提升　|　8 题 13．如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 14．下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接． ∵，， ∴ ． 又∵，， ∴ ≌（ ） ∴． ∵， ∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A. B. C. D. 15．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 C. B. D. 或 16．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（ ） A. 1 C. 3 B. 2 D. 72 17．已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分，则它的底边长是________． 18．如图，已知A是线段上一点，在的同侧分别作等边与等边，连接，，交点为M，与交于点P，与交于点Q，连接． （1）则下列结论正确的是________．（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）求证：； （3）判断的形状，并说明理由． 19．在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 20．如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． （1）求证是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 考点04 直角三角形两大性质 难度：提升　|　10 题 21．下列说法错误的是（） A. 有一个角是直角的三角形是直角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 一个三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则这个三角形是直角三角形 D. 一个三角形中，若最大角等于另两角之和，则这个三角形是直角三角形 22．如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 23．如图中，，是中线，， 则________． 24．如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．以下四个结论①；②；③；④．正确的是________． 25．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 26．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， ，，则_____ ． （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 27．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 28．如图，，，是直角三角形吗?为什么? 29．如图，在中，，． （1）尺规作图：作斜边的垂直平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法) ． （2）在 (1) 的条件下，证明：． 30．如图，在中，，，延长交于点． （1）如图1，证明： （2）如图2，为线段上一点，且，连接并延长交于点，①求证：． ②若，填空：=_______，_______．(不写过程) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02　等腰、直角三角形与对称性质 目 录 考点01 线段的垂直平分线（提升） 考点02 角平分线（提升） 考点03 等腰与等边三角形（基础—提升） 考点04 直角三角形两大性质（提升） 考点01 线段的垂直平分线 难度：提升　|　6 题 1．如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，，平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么________度． 【答案】50或40 【分析】本题考查了等边对等角，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是正确画出图形，分类讨论求解，本题根据点E在点D左边或右边两种情况，根据三角形内角和为，得到或，再利用等边对等角即可求解． 【详解】解：如图1，点E在点D左边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 如图2中，点E在点D右边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 故答案为：50或40． 3．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图 （1）在图1中找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． （2）在图2中画出线段的中垂线． 【答案】（1）如图，点C即为所作； （2）如图所示，直线即为所作； 【分析】此题考查格点作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理， （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可 【小问详解】解：∵， ∴为等腰三角形． 【小问详解】解：∵， ∴直线是线段的中垂线． 4．（1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，，垂足为点C，________，点P是直线MN上的任意一点． 求证：________． 证明： （2）如图2，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意证明，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）已知：如图1，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 证明：， ， 在和中，， ， ； （2）， 理由：是线段的垂直平分线， ，， ，， ， 即． 5．对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． （1）请在以下证明过程中填入适当理由证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． （2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） （3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） 【答案】（1）垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定填空即可求解． （2）过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、； （3）模仿例题，利用垂直平分线的性质解决问题即可． 【小问详解】证明：垂直平分 （垂直平分线的性质） （等边对等角） 在中， ， （等角对等边） 、是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 【小问详解】解：如图所示， 过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、， 则、、、是等腰三角形； 【小问详解】解：如图所示， 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．已知：如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，垂足为F，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）如图所示，是的垂直平分线． （2）证明：因为在中，， 所以, 所以, 因为是的垂直平分线， 所以, 所以, 所以， 又， 所以， 所以是等腰三角形． 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线交于点D，垂足为F，再连接，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，再根据等腰三角形的性质即可求证． 【小问详解】略 【小问详解】略 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握并应用这些性质是解题的关键． 考点02 角平分线 难度：提升　|　6 题 7．凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（ ） A. 角平分线与边上中线的交点 B. 角平分线与边上中线的交点 C. 角平分线与边上中线的交点 D. 角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【详解】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 8．如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 9．如图．在中，，分别平分，，且交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E，则以下结论：①；②；③点O在的角平分线上；④；⑤若点O到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的定义．利用角平分线的性质、三角形内角和定理、外角定义等知识，逐一分析每个结论即可． 【详解】解：∵为外角的角平分线，平分， ∴，， 又∵是的外角， ∴，故①正确； ∵，分别平分，， ∴，， 则， ∴，故②正确； 连接，如图所示： ∵，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点O在的角平分线上，故③正确； ∵， 又∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误； ∵，分别平分，， ∴点O到，，的距离均为2， ∴，故⑤错误． 综上所述，一定成立的有①②③． 故答案为：①②③． 10．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点D．若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵于E，于D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到； （2）根据角平分线的性质得到，先证明得，再证明得，再由即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：点在上，，，垂足分别为、，且． 求证：是的平分线． 请根据上述已知和求证，写出证明过程． 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请求出的面积．提示：过点作的垂线 【答案】（1）．证明：在和中， ，， ， ， 是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ， ，， 平分， ， 是的中点， ， ， 又，， 是平分线． （3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得，根据角平分线的判定，即可得证． （3）过点作交延长线于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交延长线于，作于，作于，如图， 平分，平分， ，， ， ， ，，， ， ． 12．某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【答案】（1）①，；②选择： 在中，是它的角平分线， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h， 则； 选择： 点D在上， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为， 则； （2）①证明：，， 由（1）得， ， 是的中点， ， ， 又是的角平分线， 垂直平分； ②如图，即为所求； ． 【分析】（1）根据角平分线的性质、三角形面积公式，可得答案； （2）①由（1）得，依次推出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直平分；② 根据高的定义作，延长交的延长线于点G，设，，则，，再证，推出，，，最后根据列式得出，即可得出． 【小问详解】解：①根据“发现”，完成填空：， ② 略 【小问详解】解：① 略 ②延长交的延长线于点G， 设，， 由①得， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由①得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，第二问有一定难度，正确作出辅助线，熟练运用三角形面积公式是解题的关键． 考点03 等腰与等边三角形 难度：基础—提升　|　8 题 13．如图，在等边中，，连接、交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，通过证明，则，运用外角性质得，再结合，得，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， 故①正确的； ∴ 故③正确的； ∴， ∵，， ∴， 故②正确的； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④错误的； 故选：C． 14．下面是老师在投影屏上展示的一道证明题，需要补充横线上符号代表的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，在中，，在，，上分别取，，三点，，． 求证：． 证明：如图，连接． ∵，， ∴ ． 又∵，， ∴ ≌（ ） ∴． ∵， ∴（等腰三角形的顶角平分线与 重合）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定玘性质和等腰三角形三线合一的性质，根据证明，得出，再根据等腰三角形“三线合一”可得出 【详解】证明：如图，连接． ∵，， ∴． 又∵，， ∴（） ∴． ∵， ∴（等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线重合）． 所以，代表 代表 代表代表底边上的中线 故选：C 15．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 C. B. D. 或 【答案】D 【分析】由题意知，分等腰三角形是锐角三角形，等腰三角形是钝角三角形两种情况求解作答即可． 【详解】解：由题意知，分等腰三角形是锐角三角形，等腰三角形是钝角三角形两种情况求解： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图②， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的底角为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．数形结合与分类讨论是解题的关键． 16．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（ ） A. 1 C. 3 B. 2 D. 72 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握等腰三角形的性质是关键，根据等腰三角形的三线合一得到是角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：已知是等腰底边上的高， ∴是等腰中的角平分线， ∵点F到直线的距离为3， ∴点F到直线的距离为3， 故选：C ． 17．已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分，则它的底边长是________． 【答案】或 【分析】根据题意可知，三角形的一腰和另一腰的一半之和为或者是． 【详解】解：当三角形的一腰和另一腰的一半之和为时，底边长为， 当三角形的一腰和另一腰的一半之和为时，底边长为. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 18．如图，已知A是线段上一点，在的同侧分别作等边与等边，连接，，交点为M，与交于点P，与交于点Q，连接． （1）则下列结论正确的是________．（填写序号即可） ①；②；③；④． （2）求证：； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①②④； （2）证明：∵等边与等边， ∴， ∵A是线段上一点， ∴， ∴， 又， ∴； ∴． （3）证明：是等边三角形，理由如下：∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）由证明，判断①，全等三角形的性质，三角形的外角的性质，求出，判断②；证明，得到，，可判断③，进一步得到是等边三角形；利用内错角相等，两直线平行，判断④． （2）由证明即可得到结论； （3）先证明，可得， 结合，可得结论． 【小问详解】解：∵等边与等边， ∴， ∵A是线段上一点， ∴， ∴， 又， ∴；故①正确； ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，，故③错误； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①②④． 【小问详解】略 【小问详解】略 19．在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 【答案】（1）如图为所求作： （2）；；； 【分析】（1）根据垂线的画法作出垂线，连接即可． （2）根据等腰三角形的性质可得，，再根据为中点，可得，从而证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明为等边三角形,即可得出答案． 【小问详解】解：以点为圆心画弧，交于两个点，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点长度的二分之一画弧交于一点，连接交点和点，交于点，连接即可． 【小问详解】略 【点睛】本题考查了垂线的画法，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． （1）求证是等腰三角形； （2）若，求的度数； （3）若，的周长为，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，利用等边对等角求得的度数，则可求得的度数； （3）将的周长转化为的长即可求得． 【小问详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问详解】解：在中， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴； 【小问详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 考点04 直角三角形两大性质 难度：提升　|　10 题 21．下列说法错误的是（） A. 有一个角是直角的三角形是直角三角形 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 一个三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则这个三角形是直角三角形 D. 一个三角形中，若最大角等于另两角之和，则这个三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．根据直角三角形的定义与判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：∵有一个角是直角， ∴根据定义，该三角形是直角三角形． 选项B：∵有两个角互余，即和为， ∴第三个角为，是直角三角形． 选项C：根据三角形外角性质，任意一个外角都等于与它不相邻的两个内角之和，该性质对所有三角形都成立，故不能判定其为直角三角形． ∴选项C错误． 选项D：设最大角为，另两角为和， ，且， ， ，此三角形是直角三角形． 故选：C． 22．如图，将两块大小相同的三角板（的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若交于点，交于点，交于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①由得出对应角相等，利用角的和差即可得出结论； ②由得出对应角和对应边相等，进而可得； ③利用的直角三角形，求出另一个锐角，利用角的和差表示出，进而可求出答案； ④由和得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论． 【详解】解：①根据题意可知， ， ， 即，故①正确； ②根据题意可知， ， 又， ∴， 故②正确； ③在中， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∴， 故③正确； ④由和得， ， ∴， 即， 故④正确； 故选：D． 23．如图中，，是中线，， 则________． 【答案】 或 105度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得是等边三角形，进而可得，最后利用三角形外角的性质和角的和差关系求出，从而可得，进而可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， ， ， ， ∵是中线， ∴， ∴是斜边上的中线， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 故答案为：． 24．如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．以下四个结论①；②；③；④．正确的是________． 【答案】①③④ 【分析】根据将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，可得，，即得，可判断①正确，由，，得，，即知是等边三角形，，设，则，，而，有，即得，可判断②错误，又可判断③正确，根据，，得，可判断④正确． 【详解】解：∵将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处， ∴，， ∴，故①正确， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形，， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，故②错误， ∵，， ∴，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系是解题的关键． 25．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， （2）证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接． ，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ，， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】（1）略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 26．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， ，，则_____ ． （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由． ②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”，理由如下，如图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【小问详解】解： 是“准互余三角形”， ， ， ， 故答案为：． 【小问详解】解：①略 ②如图， 由题意得， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 27．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】小胡的证明方法： ， ， 、、、分别是、、的中点， ，，， ， ， ． 小吴的证明方法：如图，连结， ，是的中点， ，即和为直角三角形， 、分别是、的中点， ∴，， ． 小明的证明方法：如图，连结 ，，和交于点， ，是的中点， 是的角平分线， 、分别是、的中点， ，， ， 是边的中垂线， ． 【分析】小胡的方法：由得，由、、、分别是、、的中点得，所以可以通过证明证明； 小吴的方法：连结，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明； 小明的方法：连结，，和交于点，证明是的角平分线，得出，则是边的中垂线，即可得证． 【详解】略 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 28．如图，，，是直角三角形吗?为什么? 【答案】是，见解析 【分析】由，推出．再由，得出，从而，即可得答案． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查的是直角三角形的判断，解题的关键是掌握直角三角形的定义和三角形的内角和定理． 29．如图，在中，，． （1）尺规作图：作斜边的垂直平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法) ． （2）在 (1) 的条件下，证明：． 【答案】（1）如图所示，直线l即为所求． （2）证明：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】本题考查了三角形内角和，线段垂直平分线的作法，含度角的直角三角形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得，结合直角三角形的性质即可得证． 【小问详解】略 【小问详解】略 30．如图，在中，，，延长交于点． （1）如图1，证明： （2）如图2，为线段上一点，且，连接并延长交于点，①求证：． ②若，填空：=_______，_______．(不写过程) 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②； 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定 （1）根据题干所给条件，可用证明三角形全等． （2）①根据等腰三角形性质，可得出∠ADB=120°，由（1）可知，再证，可得，由三角形内角和定理，可求得，于是可证得．②构造含的直角三角形，即可求出和的长，从而求得,要求，根据为的中点，故求出面积，即可求得． 【小问详解】证明∵ ∴ 在和中， 【小问详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 即． ②作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故， 由①可知， ∴， 如图，连接, ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴点为中点，即是的中线， 故，，且，，， ∴ ， ∴， 故答案为：；． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专项02等腰、直角三角形与对称性质 目录 考点01线段的垂直平分线（提升） 考点02角平分线（提升） 考点03等腰与等边三角形（基础一提升） 考点04直角三角形两大性质（提升） 考点01线段的垂直平分线 难度：提升「6题 1.10 2.50或40 3.(1)如图，点C即为所作： (2)如图所示，直线EF即为所作： 4.(1)AC=BC,PA=PB,证明见解析；(2)∠CAD=∠CBD,见解析 5.(1)垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边(2)见解析(3)见解析 6.(1)如图所示，DF是AB的垂直平分线 1/10 (2)证明：因为在△ABC中，AB=AC,∠B=36°， 所以∠C=∠B=36°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-36°=108°， 因为DF是AB的垂直平分线， 所以AD=BD, 所以∠1=∠B=36°， 所以∠DAC=∠BAC-∠1=108°-36°=72°， 又∠ADC=∠B+∠1=36°+36°=72°， 所以∠DAC=∠ADC, 所以△ACD是等腰三角形. 考点02角平分线 难度：提升|6题 7.D 8.B 9.①②③ 10.(1)证明：，OC是∠AOB的角平分线， ∴.∠AOP=∠BOP, .PE⊥OB于E,PD⊥OA于D, ∴.∠PEO=∠PDO=90°， 在△POD与△POE中， ∠PDO=∠PEO ∠POD=∠POE, OP=OP ∴.△POD≌△POEAAS, ∴.PD=PE; (2)解：AF=AE+BF,理由如下： 2/10 .DF⊥AB, ∴.∠C=∠AFD=90°， .AD平分∠CAB, ∴.CD=DF, 在Rt△ACD和Rt△AFD中， AD=AD CD=DF ∴.Rt△ACD≌Rt△AFD|HL, ∴.AC=AF, 在Rt△DCE和Rt△DFB中， CD=DF DE=DB .∴.Rt△DCE≌Rt△DFB HL, .∴.CE=BF, .AF=AC=AE+CE, .∴.AF=AE+BF. 11.(1)PD=PE.证明：在Rt△PDO和Rt△PEO中， PD=PE,OP=OP .∴.Rt△PDO2Rt△PEO HL, ∴.∠DOP=∠EOP, ∴.OC是∠AOB的平分线.： (2)证明：如图，过点E作EF⊥AD于F, .·∠B=∠C=90°， .∴.BE⊥AB,EC⊥CD AE平分∠BAD, .∴.EB=EF, .E是BC的中点， ∴.EC=EB ∴.EC=EF, 又.EF⊥AD,EC⊥CD, ∴.DE是∠ADC平分线， (3)SAABE=12 3/10 12.1)0AB.BD AC'CD' ②选择6地=AB S△ACD AC ,在△ABC中，AD是它的角平分线， ∴.点D到AB和AC的距离相等， 即△ABD中AB边上的高，和△ACD中AC边上的高相等，设为h, 则四 LAB·h AB SAACD C.h 2 选择6四=BD SAACD CD 点D在BC上， ∴.点D到BD和CD的距离相等， 即△ABD中BD边上的高，和△ACD中CD边上的高相等，设为h, 则S6四 D.h 2 BD SAACD CD.h 1 CD' 2)①证明：BD=2CD,C肌=2， :由1)得m=A8D=2 S△ACD AC CD ∴.AB=2AC, E是AB的中点， .∴.AB=2AE, .∴.AC=AE, 又.'AD是∠BAC的角平分线， ∴.AD垂直平分CE; ②如图，BF即为所求： 4/10 S△BDF=1. SAACD 考点03等腰与等边三角形 难度：基础一提升|8题 13.C 14.C 15.D 16.c 17.7或11 18.(1)①②④：（2)证明：，等边△ABD与等边△ACE, ∴.AB=AD,AE=AC,∠BAD=60°=∠EAC, A是线段BC上一点， .∴∠DAE=180°-60°-60°=60°， ∴.∠BAE=∠DAC=120°， 又AB=AD,AE=AC, .△ABE≌△ADC: ∴BE=DC (3)证明：△APQ是等边三角形，理由如下：，△ABE≌△ADC; ∴.∠ABE=∠ADC, .∠BAD=∠DAQ=60°，∠ABE=∠ADC,AB=AD, .△ABP≌ADQ, ∴.AP=AQ, .∠PAQ=60°， ∴.△APQ是等边三角形. 5/10 19.（1)如图为所求作： C2）∠B=∠C=80-∠A:BD=CD:∠BDE=∠CDF=609:ED-m E A B D 20.(1)见解析(2)∠DBC=30°；(3)32 考点04直角三角形两大性质 难度：提升|10题 21.C 22.D 23.105°或105度 24.①③④ 25.解：（1)如图所示： 延长BD到E,使得DE=BD,连接AE. AD-CD 在△ADE和△CDB中，∠ADE=∠BDC, DE=BD ∴.△ADE≌△CDB SAS, .∴.AE=BC,∠AED=∠CBD, ∴.AEBC(内错角相等，两直线平行)， ∠ABC+∠BAE=180°（两直线平行，同旁内角互补）· .∠ABC=90°， ∴.∠BAE=90, AE=BC 在△ABE和△BAC中，∠ABC=∠BAE, AB=AB ∴.△ABE≌△CBA SAS, .∴.AC=EB. 6/10 .BD-BE-TAC, (2)证明：连接CD .'∠ACB=90°，且D为AB的中点， CD-BD-号AB ∠B=∠DCB, CE-AB, .∴.CE=CD, .∠E=∠CDE, .∴.∠DCB=2∠E, .∴.∠B=2∠E; (3)解：如图所示，过D作DH⊥AB于H,连接CH. .∠DHB=90°，且CD=BC, HC=BC=CD. ∴.∠CHB=∠B. ∠B=30°. ∠CHB=30°， ∠CHD=60°， ∴.△HCD为等边三角形. ∴.CH=DH,∠HCD=60°， ∠BAC=∠B=150∠ACD=∠B+∠BAC=45 ∴.∠ACH=∠HCD-∠ACD=15°， ∴.∠ACH=∠CAH. ∴.AH=CH=DH. .∴.△AHD为等腰直角三角形. ∠HDA=45°， ∴.∠ADB=∠ADH+∠BDH=105°. 7/10 --E D B H B 26.(1)15°(2)①∧ABD是准互余三角形，理由如下，如图， .AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD, .∠ACB=90° .∴.∠BAC+∠B=90°， ∴.2∠BAD+∠B=90°， .∴.△ABD是“准互余三角形”： ②33°或24° 27.小胡的证明方法： .∵AB=AC, ∠B=∠C, ,:D、E、F、分别是BC、AB、AC的中点， 8/10 'BD-CD.BE-AB.CF-AC, ∴BE=CF, .∴.△BED≌△CFD(AAS), .DE=DF. 小吴的证明方法：如图，连结AD, .AB=AC,D是BC的中点， .∴.AD⊥BC,即△ABD和△ACD为直角三角形， E、F分别是AB、AC的中点， :.DE=IAB,DF=1AC, 2 ∴.DE=DF 小明的证明方法：如图，连结 AD,EF,AD和EF交于点O, .AB=AC,D是BC的中点， .∴.AD是∠BAC的角平分线 .E、F分别是AB、AC的中点， AE=号AB,AF=AC .'AE=AF, ∴.AD是△AEF边EF的中垂线， ∴DE=DF. E B C D E F B 9/10 28.是，见解析 29.(1)如图所示，直线1即为所求. (2)证明：连接BD, .直线l垂直平分AB, .∴.AD=BD ∴.∠ABD=∠A=30°， ,∠C=90°， .∴.∠ABC=90°-30°=60°， ∴.∠DBC=30°， CD=号BD=AD,即AD=2CD, 30.(1)见解析(2)①见解析②2+2V3:3+1 10/10