【期中专项】专项04 实数（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

专项04　实数 目 录 考点01 算术平方根的非负性（提升） 考点02 估算与整数部分（提升） 考点03 平方根与立方根的规律探索（拓展） 考点04 新定义与跨学科综合（拓展） 考点01 算术平方根的非负性 难度：提升　|　4 题 1．若，则的算术平方根是________． 【答案】2 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再代入根据算术平方根求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 的算术平方根是2． 故答案为：2． 2．若，求的平方根是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 3．若，为实数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为 4．已知一个正数m的平方根为和． （1）求m的值； （2）且a，b，c是的三边长，求的面积． 【答案】（1）169 （2）24 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值； （2）利用非负性，求出的值，勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再利用面积公式进行计算即可． 【小问详解】解：∵正数m的平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问详解】∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积是． 【点睛】本题考查平方根的性质，非负性和勾股定理逆定理．熟练掌握正数的平方根有2个互为相反数，非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． 考点02 估算与整数部分 难度：提升　|　4 题 5．以下说法错误的是（ ） A. 的平方根是 C. B. 的整数部分是3 D. 的绝对值是 【答案】A 【分析】此题考查了无理数的估算、实数的性质、立方根和平方根等知识．利用相关法则计算后进行判断即可． 【详解】A. ，的平方根是，故选项错误，符合题意； B. ∵，∴，∴的整数部分是3，故选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故选项正确，不符合题意； D. ∵，∴，则，∴的绝对值是，故选项正确，不符合题意； 故选：A 6．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ） A. C. B. 2 D. 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故选：A． 7．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是_________，小数部分是_________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【小问详解】解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； 【小问详解】解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 8．是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是____________，小数部分是____________； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【答案】（1）4， （2） 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键： （1）利用夹逼法进行估算即可； （2）利用夹逼法进行估算求出的值，再进行计算即可． 【小问详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为； 故答案为：4，； 【小问详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 考点03 平方根与立方根的规律探索 难度：拓展　|　3 题 9．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第________数． 【答案】 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． 10．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为________． 【答案】1014 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ． 原式． 故答案为：1014． 11．阅读下列解题过程：；；；…… （1）计算：_______；_______； （2）按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【小问详解】解：； ， 故答案为：；； 【小问详解】解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； 【小问详解】解： ． 考点04 新定义与跨学科综合 难度：拓展　|　3 题 12．如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，它的千位数字与百位数字之和的平方，刚好等于后两位数，则称为“和方数”．如：，，是“和方数”，则最大的和方数是________；把“和方数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．已知是“和方数”，（且均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的有________个． 【答案】① ② 6 【分析】根据，且它的千位数字与百位数字之和的平方，刚好等于后两位数，千位数字与百位数字的和为9，且于是得到最大数为；根据已知得到一个四位数为是“和方数”，于是得到，根据题意，，得到，继而得到，结合恰好能被7整除，分类解答即可． 本题考查了完全平方公式，数的表示法，整除的意义，熟练掌握完全平方公式，整除的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，且它的千位数字与百位数字之和的平方，刚好等于后两位数， ∴千位数字与百位数字的和为9，且 ∴最大的和方数是， 故答案为：； ∵ ∴一个四位数为是“和方数”， ∴， 根据题意，得， ， ∴， ∵恰好能被7整除，且均为整数且不相等， ∴或， ∴或， ∴四位数为或是“和方数”， ∴四位数为或或或或或， 有6个， 故答案为：6． 13．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ________； ②________； ③________． 【答案】① 2 ② 3 ③ 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为：①2；② 3；③． 【点睛】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 14．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】（1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）证明： 即 连接，设 ，， ， 即； （3）480米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【详解】证明：（1）略 （2）略 （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专项04 目录 考点01算术平方根的非负性（提升） 考点02估算与整数部分（提升） 考点03平方根与立方根的规律探索（拓展） 考点04新定义与跨学科综合（拓展） 考点01算术平方根的非负性 难度：提升|4题 1.2 2.±V6 3好 4.(1)169(2)24 考点02估算与整数部分 难度：提升|4题 5.A 6.A 7.(1)4,17-4(2)±/15 8.(1)4,17-4(2)±3 考点03平方根与立方根的规律探索 难度：拓展丨3题 9.1981 10.1014 1/2 实数 11.(1) n+1 考点04新定义与跨学科综合 难度：拓展|3题 12.①7281②6 2023 13.①2②3③ 2024 14.(1)方法1：正方形的面积=c2, 方法2：正方形的面积=4×b+b-a=a+b, ∴.a2+b2=c2(2)证明：.△ADC≌△BDF .∴.∠DAC=∠DBF.'∠BDF=90°∴.∠DBF+∠BFD=90°. .∴.∠DAC+∠AFE=90°即∠AEF=90 连接FC,设EF=X 5-5m+S+5a版b+0+以，S号AC-肥 2 cx, 心号b2+12±1cx=是1 即a2+b2=c2: (3)480米 B 2/2 ∠BFD=∠AFE 2 专项04　实数 目 录 考点01 算术平方根的非负性（提升） 考点02 估算与整数部分（提升） 考点03 平方根与立方根的规律探索（拓展） 考点04 新定义与跨学科综合（拓展） 考点01 算术平方根的非负性 难度：提升　|　4 题 1．若，则的算术平方根是________． 2．若，求的平方根是________． 3．若，为实数，且满足，求的平方根． 4．已知一个正数m的平方根为和． （1）求m的值； （2）且a，b，c是的三边长，求的面积． 考点02 估算与整数部分 难度：提升　|　4 题 5．以下说法错误的是（ ） A. 的平方根是 C. B. 的整数部分是3 D. 的绝对值是 6．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ） A. C. B. 2 D. 7．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是_________，小数部分是_________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 8．是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是____________，小数部分是____________； （2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 考点03 平方根与立方根的规律探索 难度：拓展　|　3 题 9．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第________数． 10．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为________． 11．阅读下列解题过程：；；；…… （1）计算：_______；_______； （2）按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； （3）计算：． 考点04 新定义与跨学科综合 难度：拓展　|　3 题 12．如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，它的千位数字与百位数字之和的平方，刚好等于后两位数，则称为“和方数”．如：，，是“和方数”，则最大的和方数是________；把“和方数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．已知是“和方数”，（且均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的有________个． 13．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ________； ②________； ③________． 14．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $