【期中专项】专项03 勾股定理及其综合应用（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

专项03　勾股定理及其综合应用 目 录 考点01 勾股定理与逆定理（基础） 考点02 用勾股定理解三角形（提升） 考点03 构造与网格（提升） 考点04 勾股定理与折叠问题（拓展） 考点05 实际应用与最短路径（拓展） 考点01 勾股定理与逆定理 难度：基础　|　6 题 1．我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，，斜边长为．下列各组数中，满足，，关系的是（ ） A. 2，3，5 C. 6，8，10 B. 7，8，9 D. 5，11，12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理定理，根据勾股定理逐项判定即可得到结论． 【详解】∵，，为直角三角形的三边， ∴， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 2．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（ ） A. 13 C. 13或 B. D. 不确定 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理．根据题意，已知的两边只能作直角边，即可得到本题答案． 【详解】解：由题意知，5与12只能是两直角边， 第三个勾股数：， 故选：A． 3．已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度，求出中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形中，两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角， ∴不是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴ ∴不是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不妨设， ∵， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 【答案】（1）54；（2）△ABC不是直角三角形． 【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16 ∴AB= 同理：AC= ∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54； （2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2 ∴△ABC不是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． 6．如图是一块地，已知，且 （1）连接，说明是直角三角形； （2）求这块地的面积 【答案】（1）解： ， ， ， 又， ； ， ， 又， ， ， 是直角三角形； （2） 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理． （1）先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）两个直角三角形的面积差即为的面积． 掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． 【小问详解】略 【小问详解】． 考点02 用勾股定理解三角形 难度：提升　|　6 题 7．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 C. 48 B. 42 D. 56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 8．项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表： 项目 铺设水管的测量和计算 驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算 测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上 测量数据 经测量米，米，于点C，于点D 小组交流 …… 请根据表中数据，求铺设水管的长． 【答案】铺设水管的长米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先求出，再根据中，，中，，得到，代入解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴中，， 中，， ∴， ∴ 解得， ∴铺设水管的长米． 9．如图，已知在中，，，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连结． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）的长度为15； （2）当为等腰直角三角形时，的值为4秒或28秒； （3）当为等腰三角形时，的值为32秒或秒或20秒． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）当时，为等腰直角三角形，据此求解即可； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【小问详解】解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为15； 【小问详解】解：由题意得：，则， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 即或， 解得或， ∴的值为4秒或28秒； 【小问详解】解：在中，，， ∴， 若，如图， 则，即； 若，如图， 则在中，， 解得：； 若，如图， 则； ∴当为等腰三角形时，的值为32秒或秒或20秒． 10．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如图1，在中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高． 特例感知 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ）； 深入探究 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 推广应用 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，是边上的高，过点D作交于点E． 若，试求线段的长度． 【答案】（1）是；（2），证明如下： ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理， （1）根据勾股高三角形的定义，即可求解； （2）根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得，即可求解； （3）过点A作于点G，根据勾股高三角形的定义，可得，再证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，是等腰直角三角形，， ∵，且是边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形； 故答案为：是； （2）略 （3）如图，过点A作于点G， ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． （1）求证：； （2）当时，求证：是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）证明：、分别是边、上的高线， ． 的中点为点， ，． ． 的中点为点， ． （2）证明：由（1）知， 的中点为点， ． ，． ， ． ． ． 是等腰直角三角形． （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等腰直角三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出的长度，根据勾股定理可求出的长度，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【小问详解】略 【小问详解】略 【小问详解】， ． ． 的中点为点， ． 12．如图，已知是等腰直角三角形，其中，，点为上任意一点，过点作于点，连接，取的中点，连接，，． （1）求证：①； ②为等腰直角三角形； （2）若，，试求的长． 【答案】（1）证明：①∵，，点为点的中点， ∴，， ∴． ②∵点为点的中点， ∴， 由①知，， ∴，， ∴，． 又，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等腰直角三角形． （2） 【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，即可求证；②根据中点的定义可得，则，，根据等角对等边和三角形的外角定了可得，，进而得出，即可求证； （2）根据，，可推出是的垂直平分线，则，，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据等腰直角三角形的性质得出，即可求解． 【小问详解】略 【小问详解】解：由①知， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴， ∵是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形等角对等边，勾股定理，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用． 考点03 构造与网格 难度：提升　|　5 题 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 14．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（ ） A. 米 C. 米 B. 米 D. 米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是________三角形；计算的面积________． 【答案】① 直角 ② 【分析】根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明是，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴是，且, ∴， 故答案为：直角；． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键． 16．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】（1）10 （2）①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【小问详解】如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． 【小问详解】解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 17．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．在给定的网格中按要求用直尺画图： （1）在图①中，画一条线段，使长度为，且点在格点上． （2）在图②中，画一个，使的面积为，且点、在格点上． （3）在图③中，画一个等腰，使的面积为，且点、在格点上． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，割补法求三角形面积： （1）利用勾股定理和网格的特点求解即可； （2）画一个以点A为直角顶点，直角边的长为的等腰直角三角形即可； （3）如解析图，取格点E、F，则即为所求． 【小问详解】解：略； 【小问详解】解：略； 【小问详解】解：略． 考点04 勾股定理与折叠问题 难度：拓展　|　8 题 18．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ） A. C. B. D. 2 【答案】A 【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为， 在中，, ， 为的中点， , ， ,解得， 由翻折的性质可知, ,， ， ， ， ， , , , 为直角三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键． 19．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（ ） A. C. 或 B. D. 或 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分两种情况：当点在点左边时和当点在点右边时，分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在点左边时，如图所示， 由折叠可得，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当点在点右边时，如图所示， 由折叠可得，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上，或， 故选：． 20．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（ ） A. 5 C. B. D. 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用这两个知识是解题的关键； 由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，将沿折叠，使点C恰好落在边上点E处， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 21．如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在的边所在的直线上时，长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况，①当点落在的边的延长线上时，过点作于，于，由折叠的性质得，则，再由三角形面积得，即可解决问题；②当点落在的边的延长线上时，，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： 如图1，当点落在的边的延长线上时， 过点作于，于， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点落在的边的延长线上时， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键． 22．如图，在中，，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则折痕为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识． 根据折叠的性质得到，求出的长，故，再根据勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：在中，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， 即， ， ， 取的中点H，连接，则，， ， ， ， ，， ， ， ，， 同理， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是________． 【答案】42 【分析】连接，过点B作于点M，过点B作于点E，用等面积法求出，再用勾股定理求出和的长度，证明，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点B作于点M，过点B作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， 在中，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：42． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用等面积法求出三角形的高，正确画出辅助线，构造全等三角形． 24．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合．已知，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先通过折叠的性质得到，再通过勾股定理求出的长度，最后根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：因为四边形由四边形折叠而成， 所以． 在中，有， 所以，解得， 所以阴影部分的面积为． 25．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 【答案】（1），理由如下： ∵等腰直角，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 如图1，记的交点为， ∵，， ∴， ∴； （2） （3） 【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得； （2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：∵，， ∴， 如图2，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为； 【小问详解】解：由翻折的性质可知，，， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴， 同理（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 考点05 实际应用与最短路径 难度：拓展　|　8 题 26．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D ． 27．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是________． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 28．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 29．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯脚B到墙壁OC的距离为0.7m．当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，点B沿水平地面向外滑动到点． （1）当时，与的长度相等吗？请说明理由． （2）如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就会滑倒，那么在第（1）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 【答案】（1）解：与的长度不相等． 理由：在中，． 因为，所以． 在中，， 所以， 所以与的长度不相等． （2）解：梯子不会滑倒．理由如下： 设墙壁上有一点，地面上有一点，使， 则在中，． 因为，所以（1）中的梯子与地面的夹角大于，所以梯子不会滑倒． 【分析】（1）线段的长度与线段的长度不相等．在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． （2）设梯子顶端从处下滑米，点B向外也移动米，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问详解】略 【小问详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的性质，熟练掌握相关特点即可解答． 30．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）解：，，， 是直角三角形， 如图， 过点作于， 是直角三角形， ， 即， ． 距离台风中心及以内的地区会受到影响，而， 海港会受到台风影响． （2） 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用三角形面积得出的长，进而得出海港受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问详解】略 【小问详解】解：如图所示， 在直线上取点，连接， 使， 则， ， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 31．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【答案】（1）即为所求； （2）直线即为所求； （3）．点即为所求， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形的高的定义画出图形； 取的中点，作直线即可； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可． 【小问详解】解：略； 【小问详解】解：略； 【小问详解】解：由对称可知， ， 当点、、三点在同一条直线上时的值最小， 最小值的长． 故答案为： 32．如图，一条笔直的马路边有A，B两个公交站台相距25km，C，D为两所学校，且，，垂足分别为A，B．已知，现在要在公路边建一图书馆H，使得C，D两所学校到图书馆H的距离相等，且．图书馆H应建在距离公交站A多远处？学校C到这条公路的距离是多少千米？ 【答案】应建在距离站10km处，学校到公路的距离是10km． 【分析】本题考查全等三角形的知识，熟练掌握是解决本题的关键． 根据垂直的性质和等量代换证明，由全等三角形的判定和性质，得到即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ∴， ∴15km，． ∵两站相距25km， ∴=25km， ∴km， ∴学校到公路的距离是10km． 答：应建在距离站10km处，学校到这条公路的距离是10km． 33．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． （1）图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； （2）若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ （3）如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】（1）解：如图： （2）沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 （3）蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； 【小问详解】解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专项03 勾股定理及其综合应用 目录 考点01勾股定理与逆定理（基础） 考点02用勾股定理解三角形（提升） 考点03构造与网格（提升） 考点04勾股定理与折叠问题（拓展） 考点05实际应用与最短路径（拓展） 考点01勾股定理与逆定理 难度：基础」6题 1.C 2.A 3.D 4.12 5.(1)54:(2)△ABC不是直角三角形 6.(1)解：.‘CD⊥AD .∴.∠ADG=90°， .AD=4,CD=3, .AC2=AD2+CD2=42+32=25 又.AC>0, ∴.AC=5; ·.BC=12,AB=13 .AC2+BC2=52+122=169, 又.AB2=169, .∴.AC2+BC2=AB2, ∴.ㄥACB=90, ∴.△ABC是直角三角形： 1/7 (2)24m2 D B 考点02用勾股定理解三角形 难度：提升6题 7.D 8.铺设水管DB的长6.4米 9.(1)AP的长度为15；(2)当△ACP为等腰直角三角形时，t的值为4秒或28秒；(3)当△ABP为等 腰三角形时，t的值为32秒或12.5秒或20秒. 10.(1)是；(2)AD=BC,证明如下： :△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB, ..AC2-BC2=CD2, .AC2-AD2=CD2, ∴AC2-AD2=AC2-BC2, 即AD2=BC2, ..AD=BC; (3)2a. 11.(1)证明：.BD、CE分别是边AC、AB上的高线， .∴.∠BDC=∠CEB=90°. .BC的中点为点F, EF-BG.DF-BG. .∴.EF=DF .ED的中点为点G, ∴.FG⊥DE (2)证明：由(1)知∠BDC=∠CEB=90°， 2/7 BC的中点为点F, .'EF=DF=-BC=BF=CF. .∴.∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB. .∠A=45, ∴.∠ABC+∠ACB=135°. .∴.∠BFE+∠CFD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2∠ABC+∠ACB .∠EFD=180°-∠BFE+∠CFD=90°. ∴.△迴就是等腰直角三角形. (3)V2 12.(1)证明：①，∠BCD=90°，DE⊥AB,点O为BD点的中点， .0E-BD.OC-BD, ∴.OC=OE :点O为BD点的中点， o0-号D 0a0E-号BD.0c-D. ∴.OC=OB,OE=OB, .∴.∠OCB=∠OBC,∠OBE=∠OEB 又∠COD=∠OCB+∠OBC,∠DOE=∠OBE+OEB, ∴.∠COD=2∠OBC,∠DOE=2∠OBE, AC=BC,∠ACB=90°， ∴.∠ABC=45°， .∴.∠COE=∠COD+∠DOE=2∠OBC+∠OBE=2∠ABC=2×45°=90°. 又OC=OE, ∴△OCE为等腰直角三角形. (2)8-4V2 考点03构造与网格 难度：提升|5题 3/7 13.A 14.B 15.①直角②5 16.(1)10(2)①x=4.8;②BE=5 17.(1)如图所示，线段AB即为所求： (2)如图所示，Rt△ACD即为所求： (3)如图所示，△AEF即为所求 B 图① D 图② E 图③ 考点04勾股定理与折叠问题 难度：拓展8题 18.A 19.D 20.D 4/7 21. 22. 15 4 23.42 24. 25.(1)CF⊥BC,理由如下： 等腰直角△DAF,∠DAF=90°， ∴.AD=AF, 又，'∠BAC=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD=∠CAF, .AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴.△ABD≌△ACF|SAS, ∴.∠ADB=∠AFC, 如图1，记AD、CF的交点为O, .:∠FAO+∠AFO+∠AOF=180°=∠DCO+∠CDO+∠COD,∠AOF=∠COD, ∴.∠FAO=DCO=90°， ∴.CF⊥BC; (2)213(3)6V2 B 图1 考点05实际应用与最短路径 难度：拓展8题 26.D 27.25 28.15 5/7 29.(1)解：AA与BB的长度不相等 理由：在Rt△AOB中，OA=VAB2-0B2=2.52-0.7=2.4m 因为AA=0.4m,所以0A=OA-AA=2m 在Rt△A0B中，0B=AB2-0A2=2.52-2=1.5m, 所以BB=0B-OB=1.5-0.7=0.8m, 所以AA与BB的长度不相等. (2)解：梯子不会滑倒.理由如下： 设墙壁上有一点A",地面上有一点B”,使∠A”BO=30°， 则在R△A0B中，0A-AB-AB=125m. 因为0A>OA”,所以(1)中的梯子与地面的夹角大于30°，所以梯子不会滑倒. 30.(1)解：.'AC=300km,BC=400km,AB=500km, ∴.AC2+BC2=AB2.△ABC是直角三角形，∠ACB=90° 如图， 过点C作CD⊥AB于D, △ABC是直角三角形， 号AC×C-B×CD. 2 即3×300×40=2×500×CD. ..CD=240km. .‘距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，而240<260， ∴.海港C会受到台风影响。 (2)8h 北 十→东 AE D B 6/7 31.(1)AD即为所求； (2)直线CN即为所求： (3)V29.点E即为所求， ph. 32.H应建在距离A站10km处，学校C到公路的距离是10km. 33.(1)解：如图：(2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5(3)蚂蚁需爬行的最短路程是20c DD C B B C B 7/7 专项03　勾股定理及其综合应用 目 录 考点01 勾股定理与逆定理（基础） 考点02 用勾股定理解三角形（提升） 考点03 构造与网格（提升） 考点04 勾股定理与折叠问题（拓展） 考点05 实际应用与最短路径（拓展） 考点01 勾股定理与逆定理 难度：基础　|　6 题 1．我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为，，斜边长为．下列各组数中，满足，，关系的是（ ） A. 2，3，5 C. 6，8，10 B. 7，8，9 D. 5，11，12 2．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是（ ） A. 13 C. 13或 B. D. 不确定 3．已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ） A. C. B. D. 4．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为________． 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 6．如图是一块地，已知，且 （1）连接，说明是直角三角形； （2）求这块地的面积 考点02 用勾股定理解三角形 难度：提升　|　6 题 7．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（ ） A. 40 C. 48 B. 42 D. 56 8．项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表： 项目 铺设水管的测量和计算 驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算 测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上 测量数据 经测量米，米，于点C，于点D 小组交流 …… 请根据表中数据，求铺设水管的长． 9．如图，已知在中，，，．点P从B点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连结． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，求的值． 10．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如图1，在中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高． 特例感知 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ）； 深入探究 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 推广应用 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，是边上的高，过点D作交于点E． 若，试求线段的长度． 11．如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． （1）求证：； （2）当时，求证：是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 12．如图，已知是等腰直角三角形，其中，，点为上任意一点，过点作于点，连接，取的中点，连接，，． （1）求证：①； ②为等腰直角三角形； （2）若，，试求的长． 考点03 构造与网格 难度：提升　|　5 题 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 14．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（ ） A. 米 C. 米 B. 米 D. 米 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是________三角形；计算的面积________． 16．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 17．图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．在给定的网格中按要求用直尺画图： （1）在图①中，画一条线段，使长度为，且点在格点上． （2）在图②中，画一个，使的面积为，且点、在格点上． （3）在图③中，画一个等腰，使的面积为，且点、在格点上． 考点04 勾股定理与折叠问题 难度：拓展　|　8 题 18．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ） A. C. B. D. 2 19．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（ ） A. C. 或 B. D. 或 20．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（ ） A. 5 C. B. D. 21．如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在的边所在的直线上时，长为________． 22．如图，在中，，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则折痕为________． 23．如图，在中，，D是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的面积是________． 24．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合．已知，求阴影部分的面积． 25．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 考点05 实际应用与最短路径 难度：拓展　|　8 题 26．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（ ） A. C. B. D. 27．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是________． 28．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高________． 29．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯脚B到墙壁OC的距离为0.7m．当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，点B沿水平地面向外滑动到点． （1）当时，与的长度相等吗？请说明理由． （2）如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就会滑倒，那么在第（1）问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 30．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 31．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 32．如图，一条笔直的马路边有A，B两个公交站台相距25km，C，D为两所学校，且，，垂足分别为A，B．已知，现在要在公路边建一图书馆H，使得C，D两所学校到图书馆H的距离相等，且．图书馆H应建在距离公交站A多远处？学校C到这条公路的距离是多少千米？ 33．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． （1）图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； （2）若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ （3）如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $