【期中专项】专项01 三角形与全等三角形的证明（高效培优期中专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

专项01三角形与全等三角形的证明 目录 考点01三角形中的线段与三边关系（基础） 考点02全等三角形的概念与性质（基础） 考点03全等三角形的判定（提升） 考点04尺规作图与全等综合（提升） 考点05全等三角形模型（拓展） 考点01三角形中的线段与三边关系 难度：基础|5题 1.C 2.14 3.4 4.(1)如图所示，即为所求： (2)如图所示，即为所求。 图① 图② 1/9 5.11或13 考点02全等三角形的概念与性质 难度：基础「4题 6.B 7.C 8.一定 9.12或32或44 考点03全等三角形的判定 难度：提升8题 10.B 11.C 12.A 13.AC=AD或BC=BD 14.①BC-CD,②HL I5.①AC=BD②HL③AD=BC④HL⑤∠CAB=∠DBA⑥AAS⑦∠CBA=∠DAB⑧AAS 16.(1),AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠D=∠E=90°， .∴.∠ACD+∠DAC=90°， :∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠CAD=∠BCE, 又，AC=BC, ∴.△ACD≌△CBE, ∴.AD=CE,CD=BE (2)B3,1 (3)C1,0或3,4 17.证明见解析 2/9 考点04尺规作图与全等综合 难度：提升「4题 18.有三边对应相等的两个三角形全等：全等三角形的对应角相等. 19.(1)解：如图，点M即为所求， (2)①AD,CD:②SSS(3)50° 20.(1)当AB=AP时， ,'AE是∠MAD的平分线， ∴.∠BAC=∠PAC, 在△ABC和△APC中， AB=AP ∠BAC=∠PAC, AC=AC '△ABC≌△APC, ∴以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P,如下图所示： (2)BC=BF+CE,理由如下： 在BC上截取BD=BF, 在△BFO和△BDO中， BF=BD ∠FBO=∠DBO, BO=BO .∴.△BFO≌△BDO|SAS, .∴.∠BOF=∠BOD, ,:∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O, ÷2B0C=180°-2∠ABC-7∠ACB=180.60=120, .∴.∠C0E=180°-120°=60°， 3/9 ∴.∠BOD=∠BOF=∠COE=60°， ∴.∠COD=∠B0C-∠B0D=120°-60°=60°， 在△COE和△COD中， ∠COE=ㄥCOD CO=CO, ∠OCE=∠OCD .∴.△COE≌COD ASA, ∴.CE=CD ∴.BC=BF+CE M B B 21.(1)如图，点D为所作： (2)如图，作AC的垂直平分线交AB于点E,交点E为所作； ,'点E为AC的垂直平分线与AB的交点， ∴EA=EC, ∴.∠EAC=∠ECA, ,'∠BEC=∠EAC+∠ECA, .∴.∠BEC=2∠EAC, 即∠BEC=2∠BAC D 4/9 考点05全等三角形模型 难度：拓展「10题 22.①②④ 23.①③④ 24.(1)证明：，AD=AC, .∴.∠ACD=∠ADC, ,∠ACB=∠CDE=90°， ∴.∠ADE=∠BCD, .AC=BC, .∴AD=BC .DE=DC, ∴.△ADE≌△BCD|SAS: (2)∠DBE=30°(3)AD=2V5 25.[模型呈现]DE:[模型应用]50：[深入探究]见解析. 26.(1)证明：如图，过点C作CDAB,交BO延长线于点D, ∴.∠A=∠ACD,∠D=∠ABD ∠BCD=180°-∠ABC=90°， 又，OA=OC, ∴.△AOB≌△COD(AAS), ∴.OB=OD,AB=CD 又，BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(SAS), .∴.AC=BD, 又：A0=3AC,B0=BD, ∴AO=BO., (2)△BFC为等腰直角三角形， 理由如下： 过点D作DGEC,交CF延长线于点G,连接BG ∴.∠ECF=∠DGF,∠FDG=∠FEC, 5/9 又，DF=EF, ∴.△FDG≌△FEC(AAS), ∴.DG=EC,FG=FC, .EC=AC, ∴.AC=DG, ,五边形ACEDB内角和为540°，即：∠BAC+∠ACE+∠CEF+∠FDB+∠ABD=540°， ∠ABD=90°，∠ACE=90°， .∠BAC=360°-∠CEF-∠FDB, 又，∠BDG=360°-∠FDB-∠FDG=360°-∠FDB-∠FEC, ∴.∠BAC=∠BDG, 又，AB=BD, ∴△ABC≌△DBG(SAS), ∴.∠DBG=∠ABC,BC=BG, .∴.∠DBG+∠CBD=∠ABC+∠CBD ∴.∠CBG=∠ABD=90° △BCG是等腰直角三角形 .FG=FC, BF1GC.2CBF-号<CBG=45 ∴.∠CBF=∠BCF=45°， ∴BF=CF, ∴△BFC为等腰直角三角形. (3)如图：连接BC,过点B作BG⊥BC,且BG=CB,取CG中点F,即为藏宝地点F, 由作法可知：△BCG是等腰直角三角形， 由(2)可知：藏宝地点F是CG的中点F. B 6/9 27.(1)△ACE,30°(2)①证明：.'△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴.AB=AC,AE=AD, .·∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE, .∴.∠CAE=∠BAD, 在△CAE和△BAD中， AC=AB ∠CAE=DAB, AD=AE ∴.△CAE≌△BAD(SAS), .∴.CE=BD,∠ACE=∠ABD, ∴.∠BAC=90°， .∴.∠ABD+∠，DBC+∠ACB=90°.∠ACE+∠DBC+∠ACB=90° ∴.∠BOC=90°.∴.CE⊥BD: ②CN=DN,理由如下： 过点D作DP⊥MN于点P,过点C作CQ⊥MN延长线于点Q, .'AM⊥BE,DP⊥MN,CQ⊥MN, ∴.∠AME=∠AMB=∠APD=∠AQC=90°， ∴.在Rt△AME中，∠AEM+∠MAE=90° .'∠MAE+∠DAP+∠DAE=180°， .∴.∠MAE+∠DAP=90°， .∴.∠AEM=∠DAP, 在△AEM和△DAP中， 7/9 ∠AEM=∠DAP ∠AME=∠DPA, AE=DA ∴.△AEM≌△DAP(AAS), 同理：△ABM≌△CAQ, ∴.AM=DP,AM=CQ, ∴.DP=CQ, 在△DPN和△CQN中， ∠DPN=ㄥCQN ∠DNP=∠CNQ, DP=CQ .∴△DPN≌△CQN(AAS), ∴.DN=CN. 图3 28.(1)①CD=BE;②0.9cm;(2)2:(3)9或12或24 29.1SAS;(2证明：，△ABF≌△CAD, .∴.∠BAF=∠ACD, .∠CDE是△ACD的外角， ∴.∠CDE=∠ACD+∠CAD,∠AFD=∠ABD+∠BAF, ∴.∠DAC=∠ABD, ∴.∠CDE=∠AFD, :'∠BDE=2∠CDE,∠BDE=∠AFD+∠FAD, ∴.2∠CDE=∠AFD+∠FAD, ∴.∠CDE=∠AFD=∠FAD, .∴AD=DF, .BD=BF+DF=AD+AD=2AD: 3k=2, 8/9 30.(1)证明：，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴.DC=DB=DA, ∴∠B=∠DCB 又，'△ABC≌△FDE, ∴.∠FDE=∠B ∴.∠FDE=∠DCB. ∴.DG‖BC. .∴.∠AGD=∠ACB=90°. (2)图1中重叠部分（△DCG)的面积为6(3）重叠部分（△DGH)的面积为 16 (1)BD=AE且BD L AE(2)40°(3)90° 9/9 专项01　三角形与全等三角形的证明 目 录 考点01 三角形中的线段与三边关系（基础） 考点02 全等三角形的概念与性质（基础） 考点03 全等三角形的判定（提升） 考点04 尺规作图与全等综合（提升） 考点05 全等三角形模型（拓展） 考点01 三角形中的线段与三边关系 难度：基础　|　5 题 1．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（ ） A. 是的平分线 C. 是边上的中线 B. 是边上的高 D. 是边上的中垂线 2．一个三角形两边长分别是2和6，若第三边的长为偶数，则周长是________ 3．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是________． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 5．若三角形的两边长分别是5和2，且第三边的长度是偶数，求这个三角形的周长． 考点02 全等三角形的概念与性质 难度：基础　|　4 题 6．观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形一定全等 B. 有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C. 有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D. 有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 7．下列说法中错误的是（ ） A. 全等三角形的对应边、对应角相等 C. 面积相等的两个三角形全等 B. 对称的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 8．如果两个三角形全等，那么它们的周长________相等．（填“一定”或“不一定”） 9．如图，，垂足为点A，厘米，厘米，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以0.5厘米/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E离开点A后，运动________秒时，与全等．（将选择与填空题的答案填在答题纸对应的位置上） 考点03 全等三角形的判定 难度：提升　|　8 题 10．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. C. B. D. 11．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. C. B. D. 12．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. C. B. D. 13．如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件________． 14．如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB=ED，要证明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为________；若添加条件AC=EC，则可以用________方法判定全等. 15．如图，，要使，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在括号内填上判定全等的理由． （1）________________；（2）________________； （3）________________；（4）________________． 16．【综合与实践】【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了点A的坐标为，点B的坐标为．小明猜测，为斜边作等腰，则直角顶点C可能与宝藏有关．请你再次帮助小明，直接给出点C的坐标． 17．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 考点04 尺规作图与全等综合 难度：提升　|　4 题 18．在数学课上，老师提出如下问题： 小米的作法如下： 请回答：小米的作图依据是________ 19．如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 20．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 21．如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在直线上方求作一点D，使得，其中； （2）在线段上求作一点E，使得，说明理由． 考点05 全等三角形模型 难度：拓展　|　10 题 22．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有________． ①；②；③；④． 23．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③④．正确的是________（填序号）． 24．如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，当点落在上时，求的度数； （3）如图3，若为的中点，，求的长． 25．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 26．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 27．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． （1）如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． （2）如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 28．【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 29．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问思：如图1，在中，是上一点，点D在上，，连接，求证：． 小明通过探究发现，由已知条件，能够证明，然后考虑将通过旋转，使与重合，和重合，因此得到辅助线：在上截取，连接，从而可证（如图2），使问题得到解决． 请回答： （1）根据阅读材料请回答：与全等的依据是________（填“”“”“”“”或“”中的一个）； （2）证明小明发现的结论： 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题； （3）如图3，和中，，连接，作交延长线于点G，交于点，求k的值． 30．如图（1）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合． （1）若DE经过点C，交于点G，求证：； （2）求图1中重叠部分（）的面积； （3）合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积． 31．襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求的度数（用含的代数式表示）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01　三角形与全等三角形的证明 目 录 考点01 三角形中的线段与三边关系（基础） 考点02 全等三角形的概念与性质（基础） 考点03 全等三角形的判定（提升） 考点04 尺规作图与全等综合（提升） 考点05 全等三角形模型（拓展） 考点01 三角形中的线段与三边关系 难度：基础　|　5 题 1．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（ ） A. 是的平分线 C. 是边上的中线 B. 是边上的高 D. 是边上的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 2．一个三角形两边长分别是2和6，若第三边的长为偶数，则周长是________ 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，再结合偶数条件，确定第三边的值，进而计算周长． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，可得，即， ∵为整数，且为偶数， ∴． 周长为． 故答案为：． 3．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了重心，三角形中线的性质， 延长，交于点E，根据重心的性质得出，进而得出，即可求出，再根据中点的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，延长，交于点E， ∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， 同理，． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． 故答案为：4． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的高线． （2）在图②的边上找到一点E，连接，使平分的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了画三角形的高和三角形的中线的性质，熟知三角形的高的定义和三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画出图形即可． 【小问详解】略 【小问详解】略 5．若三角形的两边长分别是5和2，且第三边的长度是偶数，求这个三角形的周长． 【答案】11或13 【详解】设第三边长为，由题意，得，解得．∵第三边长为偶数，或6，∴这个三角形的周长为11或13． 考点02 全等三角形的概念与性质 难度：基础　|　4 题 6．观察下面画图过程，对于与，可以说明的数学结论是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形一定全等 B. 有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等 C. 有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形一定全等 D. 有两个角和夹边对应相等的两个三角形不一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是明白有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．由图知，有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知： 在和中， ，，， 但由图知，和不全等， ∴有两条边和其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等， 故选：B． 7．下列说法中错误的是（ ） A. 全等三角形的对应边、对应角相等 C. 面积相等的两个三角形全等 B. 对称的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等．据此即可作答． 【详解】解：A、全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确，故本选项不符合题意； B、对称的两个三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，故本选项符合题意； D、三边分别相等的两个三角形全等，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．如果两个三角形全等，那么它们的周长________相等．（填“一定”或“不一定”） 【答案】一定 【分析】本题考查全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键．由全等图形的定义和性质可以得到解答． 【详解】解：全等图形能够完全重合， 它们的周长一定相等． 故答案为：一定． 9．如图，，垂足为点A，厘米，厘米，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以0.5厘米/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E离开点A后，运动________秒时，与全等．（将选择与填空题的答案填在答题纸对应的位置上） 【答案】12或32或44 【分析】分两种情况：①当E在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为秒； ②当E在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为秒； ③当E在线段上，时，， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为秒． 故答案为：12或32或44． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想分析三角形全等是解决问题的关键． 考点03 全等三角形的判定 难度：提升　|　8 题 10．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 11．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 13．如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件________． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 14．如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB=ED，要证明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为________；若添加条件AC=EC，则可以用________方法判定全等. 【答案】① BC=CD , ② HL 【详解】还要添加的条件为BC=CD；若添加条件AC=EC，则可以用HL方法判定全等.故答案为(1). BC=CD , (2). HL. 15．如图，，要使，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在括号内填上判定全等的理由． （1）________________；（2）________________； （3）________________；（4）________________． 【答案】① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用三角形全等判定方法是解题的关键． 根据题中给的一组直角相等和一组公共斜边相等，再去添加另一组角或者是边相等，使得两个三角形全等． 【详解】，且有一条公共的斜边， 要使， （1）添加一组直角边相等，故答案为：，； （2）添加一组直角边相等，故答案为：，； （3）添加一组对应角相等，故答案为：，； （4）添加一组对应角相等，故答案为：，． 16．【综合与实践】【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中，．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】（1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形.请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了点A的坐标为，点B的坐标为．小明猜测，为斜边作等腰，则直角顶点C可能与宝藏有关．请你再次帮助小明，直接给出点C的坐标． 【答案】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2） （3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键 （1）证明即可； （2）作轴，证明，即可得出结果； （3）由题意得点C在下方时在x轴上，作轴，构造三角形全等，进而求出点的坐标即可，同理可得当点C在上方时的坐标． 【详解】解：（1） 略 （2）作轴，则， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得点C在下方时在x轴上，作轴，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 同（2）理可证：， ∴， ∴， ∴； 同理可得点C在上方时， ， ∴， 综上所述：或. 17．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 由可得、，再结合可得，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ． ， 在和中， ， ． 考点04 尺规作图与全等综合 难度：提升　|　4 题 18．在数学课上，老师提出如下问题： 小米的作法如下： 请回答：小米的作图依据是________ 【答案】有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形判定是解题的关键；由作图过程可得，，，再利用判定，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：由作图过程可得，，， 在和中， ， ， ． 故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 19．如图，为外部一点，连接，已知，． （1）尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； （3）求． 【答案】（1）解：如图，点M即为所求． （2）①；② （3） 【分析】（1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以； （2）①根据（1）中的尺规作图，可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，数形结合表示出计算即可得到答案． 【小问详解】略 【小问详解】解：①通过作图可以得到：； ②结合作图得， 又∵， ∴判定的依据是； 【小问详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ ． 20．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】略 21．如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在直线上方求作一点D，使得，其中； （2）在线段上求作一点E，使得，说明理由． 【答案】（1）如图，点D为所作； （2）如图，作的垂直平分线交于点E，交点E为所作； ∵点E为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点， （1）分别以A点、B点为圆心，以和为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“”可判断； （2）作的垂直平分线交于E点，则，所以，然后根据三角形外角性质可得到； 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【小问详解】略 【小问详解】略 考点05 全等三角形模型 难度：拓展　|　10 题 22．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，则，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，则，从而可对进行判断． 本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ≌， ∴正确； ， ， ， ∴正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ， ∴错误； ≌， ， ， ， ， ， ∴正确． 故答案为：①②④． 23．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论：①；②；③④．正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，先由得到，接着就可以利用证明，可知①符合题意；先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知③符合题意；过点作，证明，然后分别找出与的关系，就可以求出的比，可知④符合题意；利用勾股定理可得，则可证明，可知②不符合题意． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ； ，且， ，故③正确； 如图，过点作于点F， ，， ， 都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． ， ， ． ，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，故②错误， 故答案为：①③④． 24．如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，当点落在上时，求的度数； （3）如图3，若为的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【分析】（1）利用等腰三角形性质，结合全等三角形的判定定理，即可得证； （2）过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示，利用三角形全等的判定得到、，再由（1）中，利用全等性质，结合三角形内角和定理即可得到，设，列方程求解即可得到答案； （3）过点作，交于点，如图所示，由三角形全等的判定得到、，再由（1）中，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及勾股定理求解即可得到答案． 【小问详解】略 【小问详解】解：过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示： 在和中，构成了“”字形，由于，对顶角，则， ，， ，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问详解】解：过点作，交于点，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵由（1）中， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴． 【点睛】本题考查全等综合，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 25．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究]见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 26．初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：在中，，是中点，证明：． 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请利用以上思路完成该证明． 问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了． （2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明． （3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由． 【答案】（1）证明：如图，过点C作，交延长线于点D， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴．， （2）为等腰直角三角形， 理由如下： 过点作，交延长线于点，连接 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形内角和为，即：， ，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （3）如图：连接，过点B作，且，取中点，即为藏宝地点， 由作法可知：是等腰直角三角形， 由（2）可知：藏宝地点是的中点． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角形是解题关键． （1）过点C作，交延长线于点D，容易证明，由此得出，，进而可证明，即可得出，由此证明； （2）过点作，交延长线于点，连接，同理可以证明，进而可得，，再利用五边形内角和为，结合，，可得，而，由此证明，进而可得，得出，，由可得是等腰直角三角形，再由是中点得出，即可得出为等腰直角三角形． （3）构造同（2）的是等腰直角三角形，取的中点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． （1）如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． （2）如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】（1）△， （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【小问详解】解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； 【小问详解】略． 28．【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题； （2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算； （3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可． 【详解】解：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为，如图3， ，， 由（1）知，， ； （3）过点作于点，则，， ， 分三种情况： ①如图4，当时，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ； ②如图5，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，， 同①：， ， ， ； ③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 同①：， ，，设，则， ，， ， ， ， 故的面积为9或12或24． 29．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问思：如图1，在中，是上一点，点D在上，，连接，求证：． 小明通过探究发现，由已知条件，能够证明，然后考虑将通过旋转，使与重合，和重合，因此得到辅助线：在上截取，连接，从而可证（如图2），使问题得到解决． 请回答： （1）根据阅读材料请回答：与全等的依据是________（填“”“”“”“”或“”中的一个）； （2）证明小明发现的结论： 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题； （3）如图3，和中，，连接，作交延长线于点G，交于点，求k的值． 【答案】；证明：， ， 是的外角， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【分析】作辅助线构建全等三角形，利用三角形外角定理可得：，由，可得；根据证明三角形全等； 由可知，根据全等三角形的性质可得：，根据外角定理证明，根据等角对等边可得：，所以； 仿照作辅助线在上取一点，使，证明和，利用全等三角形对应边相等可证，可得：． 【详解】解：如下图所示，在上截取，连接， 是的外角， ， ，， ， ， 在和中，， ， 故答案为：； 略 解：如下图所示，在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 30．如图（1）将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合． （1）若DE经过点C，交于点G，求证：； （2）求图1中重叠部分（）的面积； （3）合作交流：“希望”小组受问题（1）（2）的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，，求重叠部分（）的面积． 【答案】（1）证明：∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）图1中重叠部分（）的面积为 （3）重叠部分（）的面积为 【分析】(1)先求出，再证明，即可得出结论； (2)先求出，即可求出重膋部分的面积； (3)先证明，再求出，然后利用勾股定理建立方程求出，进而得出即可得出结论． 【小问详解】略 【小问详解】由（1）知，， ∵， ∴G是AC的中点． ∴，． ∴． 【小问详解】如图2所示：连接BH， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点G为AH的中点； 在中，， ∵D是AB中点， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算的综合应用；解决问题的关键是利用勾股定理建立方程求出． 31．襄阳市第二十中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，，，三点共线，连接，请猜想和的数量关系与位置关系并证明； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点．连接，，延长交于点，完成图形并求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）且 （2） （3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定()和性质(对应边相等、对应角相等)，同时结合角的和差运算、对顶角相等以及三角形内角和定理，通过角的代换实现未知角与已知角的转化，是对几何图形中“边、角关系”综合运用能力． （）先通过角的和差关系推出，再利用证明，得到与的数量关系；接着通过角的代换，结合直角三角形的性质，推导出与的垂直位置关系； （）先由角的和差得到，借助证明，得出；再利用对顶角相等和三角形内角和定理，将转化为已知的，进而求出度数； （）先通过角的和差推出，用证明，得到对应角相等；进一步根据证明，推出平分，再结合对顶角相等和三角形内角和的等量代换，推导出与的数量关系． 【小问详解】结论：，且， 证明∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问详解】∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， 在和中，(对顶角相等)， ∴ 【小问详解】连接，交于点．连接，，延长交于点，作交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴． 1 / 1 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