培优专题 第2章 有理数的运算全章十二种重难点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册
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内容正文：
培优专题 第2章 有理数的运算
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2
专题一、符号与命题判断 2
专题二、数轴：距离、中点、折叠与刻度 5
专题三、加减混合运算与拆项法 11
专题四、运算律与分配律 17
专题五、整数性质：和积分解与数位 22
专题六、新定义运算：法则归纳—应用—运算律 25
专题七、程序框图与循环周期 30
专题八、求和：裂项、错位相减、倒序相加 34
专题九、数阵、数串与数字规律 40
专题十、实际应用：正负数情境 43
专题十一、方案优选：分段计价与券 47
专题十二、进位制、数学文化与阅读 52
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 57
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
第 2 章十二个专题，落点只有四件事：第一，结合数轴来进行判断数的正负，同时对于数轴中的位置变换，要先假设落点位置，在结合数轴求线段进行下去，第二，观察计算规律，找出对应的序号数字与对应值之间的关系，可以先假设，在判断。循环图找规律时，要先把前几个写出来，再进行观察。第三，理解题干含义，明确题干所表达的实际意义，对应情景中的描述，对于分段阶梯类题目，明确每一段要符合对应的范围。第四，对于计算问题来说，不论是裂项、错位相减、倒序相加，还是混合运算和拆项，都是要先明确项与项的关系，再进行判断，计算。
本章必备的四条核心结论：
1. 有理数运算先定符号再算绝对值：乘除看负因数的个数，加减看绝对值的大小。
2. 减法一律转加法、除法一律转乘法，转完再用交换律、结合律、分配律。
3. 分配律正反都能用，ab＋ac＝a(b＋c) 就是提公因式的依据；但除法没有分配律。
4. 求和先看分母结构：分母成等差用裂项，成等比用错位相减，首尾对称用倒序相加。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. －a² 与 (－a)² 混为一谈，前者是 a² 的相反数。
2. 除法乱用分配律：把 a÷(b＋c) 拆成 a÷b＋a÷c。
3. 带分数直接当假分数参与乘法，整数部分没并进去。
4. 绝对值方程只取正根，漏掉负的那一个。
5. 分段计价跨档时只按一档算，忘记分段累加。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
专题一、符号与命题判断
典例1 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a，b为实数，下列说法：
①若，则|；
②若，则是正数；
③若，则；
④若且，则．
其中正确的是________．
【答案】①②④
【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
【详解】解：①若，a、b同号，由，则，则|；本选项正确；
②若，当，，则，，，是正数，
当，时，，，是正数，
当，时，，，是正数，
当，时，，，是正数，本选项正确；
③若，则，，本选项错误；
④，
，
，
，，
当时，，
，不符合题意；
所以，，
，
则，
本选项正确；．
故答案为：①②④．
解题模板
先定符号再定大小：ab＞0 同号、ab＜0 异号；a＋b 的符号由绝对值大的那个数决定。
相反数→和为 0，倒数→积为 1，绝对值→一般有两个值，别漏掉负的那一个。
正确个数类题目逐条举反例：能举出反例的直接判错，比硬推快得多。
0 是万能特例：含 0 的说法单独验一遍，很多一定成立都要考虑 0 。
变式1-1 （24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，则式子：的值是__________．
【答案】1或/或1
【分析】本题考查了代数式的求值．根据题意得出，，以及，再整体代入求解即可解答．
【详解】解：由题可知，和互为相反数，
和互为倒数，
的绝对值等于2，
，
当时，；
当时，；
故答案为：1或．
变式1-2 （24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ）
A． B． C．5或 D．4或
【答案】C
【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解.
【详解】解：由题意得；
当时，；
当时，；
故选：C
变式1-3 （26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知为有理数，下列说法：①若，则；②若，则是正数；③若，则；④若且为正整数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分别判断的符号，根据有理数的运算法则判断①②③，取反例判断④即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，同号．
∵，
∴，，
∴，
∴，故①正确．
②∵，
当同为正号时，，则，
当同为负号时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上，即结果为正数，故②正确．
③∵，
∴，
∴，即，不一定有，故③错误．
④取，，则，，此时，故④错误．
综上，正确的说法共2个．
变式1-4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值．
（2）当时，，求当时，的值．
【答案】（1）； （2）
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，相反数和倒数的定义，代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，，，再代值计算即可；
（2）先根据题意得，再将代入得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：（1）根据条件可知：，，，
∴；
（2）∵当时，，
∴，即，
∴当时，
．
专题二、数轴：距离、中点、折叠与刻度
典例2 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）当满足________时，代数式有最小值为________；
（2）当时，实数的取值范围为________．
【答案】 或
【分析】（1）利用绝对值的几何意义：表示数轴上点到的距离．式子表示点到三点距离之和．奇数个定点，动点取中间点时总距离最小，将代入求得最小值即可；
（2） 表示点到、的距离之和．两点间距为，在两点之间距离和恒为；在两点外侧，距离和随远离而增大，找到距离和等于的分界点，得到取值范围，即可解答．
【详解】解：（1）的几何意义：数轴上一点，到、、三个点的距离之和，
∵在数轴上从小到大的三个定点：共3个点（奇数个），当动点落在中间的定点上时，总距离最小，中间点是，
∴当时，的值最小，为
；
（2）的几何意义：数轴上一点到和两点的距离之和，
数轴上到的距离是．
如果在与之间（包含端点），两段距离相加固定等于，小于7．
当在左侧：时，距离和刚好等于7；在左边，距离和大于7．
当在右侧：时，距离和刚好等于7；在右边，距离和大于7．
所以的取值范围：或．
解题模板
两点距离一律写 |a－b|，不要写成右减左的 a－b，遇到负数必错。
|x－a|＋|x－b| 的最小值＝|a－b|，最小值在 a、b 之间任取；三点取中间点。
折叠的实质是对称：两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍。
剪成三段按比例的，先设三段的倍数，再按哪一段含折痕分类讨论。
变式2-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．
(1)_________，_________；
(2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
(3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由．
【答案】(1)；2
(2)
(3)
解：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米，理由如下，
设移动前N表示的数为：n，
∵将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，
，
∵，a对应的刻度为2.5厘米，b对应的刻度为1厘米，
∴数轴上一个单位长度表示的实际长度为：（厘米），
∵移动前M的刻度为“厘米”，b表示的数对应的刻度为“1厘米”
∴移动前M表示的数为：，
∴在数轴上表示的单位长度为（个单位长度），
∴这把刻度尺有刻度一侧的长度为：（厘米），
答：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米．
【分析】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数运算的应用等知识．
（1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值；
（2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出3厘米对应的数；
（3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再求出M表示的数，从而求得出上的表示的单位长长，然后由“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，可求得数轴上一个单位长度表示的实际长度，进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：厘米，
刻度“3厘米”所对应数轴上的数是；
（3）略
变式2-2 （23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________．
【答案】或或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得，由条件分类讨论即可.
【详解】解：由题意得：
设得到的三条线段的长度分别为：，
则：，
解得：
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
故答案为：或或
变式2-3 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．是圆片的直径（结果保留）．
(1)把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______________．
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______________．
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？
【答案】(1)
(2)
(3)①第4次滚动后，A点距离原点最近；第3次滚动后，A点距离原点最远；②
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）分向左滚动与向右滚动两种情况，利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数，即可求解；②将各数的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案．
【详解】（1）解：半径为1个单位长度的圆片的周长为，
把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是；
（2）解：分两种情况：
当向左滚动时，点D表示的数是，
当向右滚动时，点D表示的数是，
综上可得，点D表示的数是；
（3）解：①，，，，，
，
第4次滚动后，A点距离原点最近；第3次滚动后，A点距离原点最远；
②，
，
即当圆片结束运动时，A点运动的路程共．
变式2-4 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”．
(1)若点P表示的数是2，则n的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；
(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值；
(4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值．
【答案】(1)5
(2)6
(3)点P表示的数为2或4，或7
(4)点P表示的数为或，或15
【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解；
（2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数；
（3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值；
（4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时．
【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3，
∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1，
∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为，
∴点P为点A、B的“5格距点”，
∴，
故答案为：5．
（2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”，
∴，即P在线段AB上，
∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个，
故答案为：6．
（3）解：∵点P到点B的距离为1，
∴点P表示的数为2或4，
①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时；
②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为，
点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时；
点P表示的数为2或4，或7．
（4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时；
②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时．
点P表示的数为或，或15．
专题三、加减混合运算与拆项法
典例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题：
(1)．
解：原式．
上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______．
(2)类比上述计算方法，请计算：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键；
（1）根据有理数的加法作答即可；
（2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：可将拆为，拆为；
故答案为：，；
（2）解：
．
解题模板
减法一律变加法（减一个数＝加它的相反数），再省略加号写成代数和。
带分数拆成整数＋分数：整数归一组、同分母归一组，不要直接化假分数硬算。
交换位置时符号跟着数一起搬，别把负号留在原地。
找错题只查三处：变形依据对不对、运算律名字对不对、符号搬运有没有掉。
变式3-1 （26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________．
【答案】
【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行求解即可．
【详解】解：
．
变式3-2 （25-26七年级上·全国·单元复习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可；
（2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可．
（3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可；
（4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可；
（5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可；
（6）先计算前两项，再与后一项运算即可．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
变式3-3 （25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
…
(1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________；
(2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示）
(3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________；
(4)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)有理数减法法则
(2)
(3)二；写成了
(4)
【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据；
（2）第二步调整数的位置，对应加法交换律；
（3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为；
（4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果．
【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）．
（2）解：加法交换律：；
（3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误；
（4）解：
．
变式3-4 （24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算
上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法．
（1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减乘除运算法则即可求出答案；
（2）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
专题四、运算律与分配律
典例4 （24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)9
(2)
(3)1
(4)
(5)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的乘法运算律是解题的关键．
（1）先将减法运算转化为加法运算，然后化简为省略加号的形式，再运用加法交换律和结合律进行计算，即得答案；
（2）运用加法交换律和结合律，将同分母分数相加减进行计算，即得答案；
（3）先确定4个有理数相乘结果的符号，再将它们的绝对值相乘，即得答案；
（4）运用分配律计算，即得答案；
（5）运用分配律的逆运算计算，即得答案．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
解题模板
a(b＋c)＝ab＋ac 正用；ab＋ac＝a(b＋c) 逆用，先找公因数再提。
除法没有分配律：a÷(b＋c) ≠ a÷b＋a÷c
除以一个数等于乘它的倒数，先把除法统一成乘法，再决定要不要分配。
倒数法：先求原式的倒数，算完再取倒数，适合括号里是分式之和的题。
变式4-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
变式4-2 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
变式4-3 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下列材料：
在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路：
思路①：用分别除以，，，再把所得结果相加．
思路②：先求出，，的和，再用除以这个和．
思路③：先算，再求所得结果的倒数．
(1)上述三种思路中，不正确的是思路 ．
(2)请选择一种正确的思路计算：．
【答案】(1)①
(2)
【分析】（1）根据思路①、思路②、思路③的解法判断即可；
（2）根据思路②或思路③计算即可．
【详解】（1）解：∵除法没有分配律，
∴思路①不正确；
思路②先算括号内和再相除、思路③先算倒数的除法再求倒数，均符合除法法则，正确；
（2）解：选择思路②：
；
选择思路③：
∵
，
∴．
变式4-4 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值．
解：先求原式的倒数．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，理解材料所给的方法是解题的关键．
仿照材料中的方法，利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值．
【详解】解：先求原式的倒数，
，
所以原式．
专题五、整数性质：和积分解与数位
典例5 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若a，b是整数，且，则的最大值与最小值的差为_______．
【答案】10
【详解】解：已知a、b是整数，且两数乘积为，我们先找出所有满足条件的整数数对：
：此时，
：此时，
：此时，
：此时，
：此时，
：此时，
由此可得的最大值是5，最小值是，
∴的最大值与最小值的差为．
解题模板
积为定值就枚举全部整数对，正负都要列，别只列正整数。
a＋b＋ab 型：两边同加 1 凑成 (a＋1)(b＋1)，一步变成积为定值。
求最值先定符号：两负数相加往绝对值大的方向走，一正一负取差。
数位题把四位数写成 1000a＋100b＋10c＋d，再按条件列式。
变式5-1 （25-26七年级上·浙江·期中）各数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫作“水仙花数”，比如153是“水仙花数”，因为．以下四个数中是“水仙花数”的是（ ）
A．131 B．371 C．345 D．417
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据“水仙花数”的定义，分别计算，即可得到答案．
【详解】解：A．，故不是“水仙花数”；
B．，故371是“水仙花数”；
C．，故345不是“水仙花数”；
D．，故不是“水仙花数”；
故选：B．
变式5-2 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b，c为三个互不相等的整数，且，则的最大值等于______________．
【答案】
【分析】设，，，将问题转化为把分解为三个互不相等整数的乘积，求的最大值，即可得到的最大值．
【详解】解：设，，，
则，且为互不相等的整数，
可得，
因此要使最大，只需使最大
∵，负因数个数为奇数，要使和最大，负因数个数应为1个，且负因数尽可能大，
∴取负因数为，
此时剩余两个正整数的乘积为，
将分解为两个不同正整数的乘积，可得和两种情况，
当三个整数为时，和为，
当三个整数为时，和为，
其他分解方式得到的和均小于，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
变式5-3 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为______．
【答案】47
【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，掌握运算法则是关键；由题意确定出正整数m，n，p，q的值，代入即可计算出值．
【详解】解：由题意知：这四个因数只能是，考虑到最大，
则，
所以，
则的最大值为，
故答案为：47．
变式5-4 （24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则．
(1)填空：______，_____，_____．
(2)若，求m和n的值．
【答案】(1)，，；
(2)，．
【分析】本题考查了新定义，绝对值的意义，有理数的减法和乘法，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据新运算进行计算即可；
（2）由 得到，，再根据可得出答案．
【详解】（1）解：依题意得：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，．
专题六、新定义运算：法则归纳—应用—运算律
典例6 （24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究．
（一）法则探究
根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律：
（1），．
（2），．
（3），．
观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______．
（二）法则应用
（1）填空：______，______．
（2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子：
．
（三）运算律探究
我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程．
【答案】（一）法则探究：得正，得负，相加，结果为该数的相反数；（二）法则应用：（1）17，；（2）22；
（三）运算律探究：
，
，
所以，
所以满足结合律．
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键．
（一）根据上述计算，归纳“”运算的法则即可；
（二）（1）根据（1）中的法则进行计算即可；
（2）根据（1）中的法则进行计算即可；
（三）根据题意，举例说明即可．
【详解】解：（一）根据上述运算，归纳“”运算的法则：
两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“”运算结果为该数的相反数；
故答案为：得正，得负，相加，结果为该数的相反数；
（二）（1）；
故答案为：17，；
（2）
；
（三）略
解题模板
先抄三组算式，把结果按同号、异号、含 0 三类分开看。
法则写全三句话：同号怎么算、异号怎么算、遇到 0 怎么算，缺一句就不完整。
代值时先算括号内再算括号外，符号严格按定义走。
验证运算律只认举反例：一个反例就能否掉结合律，不必正面证明。
变式6-1 （24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果_______．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，根据已知可得，再根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
变式6-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题．
【观察运算】
①；；；；
②；；；；
③；；；；．
(1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则：
①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值；
②异号两数进行“☆”运算，结果为_______；
③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________．
(2)【应用法则】计算：．
(3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______．
A．成立 B．不成立
【观察运算】
①；；；；
②；；；；
③；；；；．
(1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则：
①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值；
②异号两数进行“☆”运算，结果为_______；
③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________．
(2)【应用法则】计算：．
(3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______．
A．成立 B．不成立
【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数；
(2)；
(3)B
【分析】（1）根据所给算式总结即可；
（2）根据（1）中的运算法则计算即可；
（3）可通过举反例来判断；
本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；
③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数．
故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数．
（2）
．
（3）假设
则
，
，
此时，则结合律不成立；
故选：B．
变式6-3 （2025七年级上·浙江金华·专题练习）我们称使等式成立的两个有理数a，b互为友好有理数．如：因为，所以有理数2，3互为友好有理数．
(1)通过计算判断，是否互为友好有理数；
(2)若m，n互为友好有理数，则， 互为友好有理数（填“是”或“不是”）；
(3)如果x，y互为友好有理数，且，求的值．
【答案】(1)，不是互为友好有理数，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，不是互为友好有理数；
(2)不是
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，理解“互为友好有理数”的定义是解此题的关键．
（1）分别计算出和的值，比较即可得出结果；
（2）由题意可得，再求出和的值，比较即可得出结果；
（3）由题意可得，结合，得出，代入所求式子计算即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：根据题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴、不是互为友好有理数；
（3）解：由题意可得，
∵，
∴，
∴．
变式6-4 （25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题：
(1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______；
(2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数；
(3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数．
【答案】(1)
(2)点表示的数为，点表示的数为
(3)或
【分析】（1）根据新定义，进行求解即可；
（2）根据新定义得到点M到点A，点B的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可；
（3）分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点表示的数为
（2）解：依题意，得点到点，点的距离均为：，
因为点表示的数为2，点在点的左侧，
所以点表示的数为，
点表示的数为；
（3）解：根据题意知，当点运动到点处时，如图1，
则点表示的数为，
此时取得最小值，为，
当点运动到点处时，如图2，
则点表示的数为，
此时取得最大值，为，
所以可取的整数为或．
专题七、程序框图与循环周期
典例7 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了程序和循环规律的有理数的运算，解题的关键是找出循环规律
列出前几次输出的结果，找出规律，然后根据循环规律求解即可．
【详解】解：第1次输出的结果是；
第2次输出的结果是；
第3次输出的结果是；
第4次输出的结果是；
第5次输出的结果是；
第6次输出的结果是；
第7次输出的结果是；
第8次输出的结果是；
从第5个结果开始，输出结果为循环规律，循环部分为，，2，循环周期为3，
，
第2025次输出的结果是，
故选：C
解题模板
逐次算出前 5—8 次输出，盯住什么时候开始重复出现。
找到循环节后用(次数－起点)÷周期取余数定位。
周期起点不在第 1 次的，先把预热的那几次扣掉再除。
逆向题（由输出反求输入）每一步都要考虑框图有两条分支。
变式7-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
(1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________；
(2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________
【答案】 /0.5 1 0 2或7/7或2
【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据．
【详解】（1）解：由题意得，
当输入数值是时，，，输出的数值为；
当输入数值是4时，，，，输出的数值为1，
当输入数值是15时， ，，，的相反数是0，，输出的数值为0；
（2）解：当按照绝对值输出结果为2时，
∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2，
∵，
∴输入数据为2或者7，
当按照倒数输出结果为2时，取倒数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数；
综上，小明输入的正整数是2或7．
变式7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：设输入的结果是，
由题意可得，，
解得或-16
∴输入的结果是或，
故选：C．
变式7-3 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了程序和循环规律的有理数的运算，解题的关键是找出循环规律．
列出前几次输出的结果，找出规律，然后根据循环规律求解即可．
【详解】解：第1次输出的结果是；
第2次输出的结果是1；
第3次输出的结果是；
第4次输出的结果是；
第5次输出的结果是；
第6次输出的结果是；
第7次输出的结果是；
……
从第2个结果开始，输出结果为循环规律，循环部分为1，，4，循环周期为3，
∴，
∴第2025次输出的结果是，
故答案为：．
变式7-4 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键．
根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
当输入的的值为2时，
第1次输出的结果是1；
第2次输出的结果是；
第3次输出的结果是；
第4次输出的结果是；
第5次输出的结果是；
第6次输出的结果是；
第7次输出的结果是；
第8次输出的结果是；
，
由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环，
又因为余2，
所以第2025次输出的结果是．
故选：D．
专题八、求和：裂项、错位相减、倒序相加
典例8 （23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：，，…
所以：
问题：
计算：
①；
②．
【答案】①；②
【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果．
【详解】解：①，
，
，
②，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答．
解题模板
分母成等差：，差几就提几分之一。
等比求和：设 S，两边乘公比，错位相减，最后只剩首尾两项。
等差求和：倒序相加，正反两式相加得到 n 个相同的和。
无限等比（|q|＜1）：用图形法看面积，，比代数快。
变式8-1 （25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为．
类比上述方法，解答下列各题：
(1)___________
(2)计算：___________．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
（1）根据题中给出的规律即可求出答案；
（2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案；
（3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
．
变式8-2 （24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题：
计算：．
解：设，①
那么．②
②①，得．
所以原式．
仿照上面的例题计算：
．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值．
【详解】解：设，①
那么．②
②①，得．
所以原式．
变式8-3 （26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设，①
则，②
，得
．
，，③
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；
(2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）；
【答案】(1)1275
(2)
【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值；
（2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值．
【详解】（1）解：设
则，
，得，
所以，
，
所以；
（2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得：
，
设
则，
，得，
所以，
，
所以．
故答案为：．
变式8-4 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）根据以下材料，探索完成任务：
问题解决
(1)问题1：直接写出计算结果： ；
(2)问题2：有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ．（且n为正整数）
(3)问题3：计算（其中）
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）根据题意计算求解即可；
（3）令，仿照示例求出S，再根据（2）得到式子等价于，据此可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：令，
则
∴
∴，
∴
．
专题九、数阵、数串与数字规律
典例9 （24-25七年级上·浙江温州·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解．
【详解】解：∵九宫格数字总和为，
∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中最大数字可能是4，
故选：A．
解题模板
数阵先算总和，用总和－已知区域的和反推阴影部分。
数字不重复时，先定极端值（最大、最小）再往里试填。
卡片求和：从最小的那个和入手，因为大数的组合少、容易锁定。
数串操作看「每次新增的数的和是不是定值」，是定值就能用「原和＋n×定值」。
变式9-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______．
【答案】7
【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键．
求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为
，
，，
和的值为和或和，
当，时，，
当，时，，
故图中的值为
故答案为：．
变式9-2 （22-23七年级下·浙江杭州·期中）在一次数学活动课上，王老师将共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张下片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序．然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，并要求们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4．则拿到数字5的同学是________．
【答案】乙同学
【分析】本题考查的是有理数的加法的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，可得12，11，9，4，是由1至8两个不同数字之和，可得丁同学手里拿的是1和3，再结合乙和丙，推出剩余甲同学手里拿的是4和8，即可得出乙同学和丙同学手里的数字．
【详解】解：根据题意，可得12，11，9，4，是由1至8两个不同数字之和，
只能是1和3的和，
丁同学手里拿的是1和3，
可能是4和5，或2和7的和，
丙同学手里拿的可能是4和5，或2和7，
11可能是5和6，或4和7的和，
乙同学的11能是5和6，或4和7，
甲手里必须有8,且配有4，
那么，丙同学的9只能是2和7，乙同学的11只能是5和6，
拿到数字5的同学是乙同学，
故答案为：乙同学．
变式9-3 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）有依次排列的3个数：5，2，0，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串①：5，，2，，0，这称作第一次操作；对数串①进行同样的操作后也可产生一个新的数串②：5，，，5，2，，，2，0……依次操作下去．
(1)数串①的所有数之和为_________，数串②的所有数之和为_________，
(2)数串③共有_________个数，所有数之和为_________．
(3)请列式计算：操作第66次产生的新数串的所有数字之和是多少？
【答案】(1)2，
(2)17，
(3)
【分析】此题主要考查了有理数混合运算，数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值．
（1）根据题意进行有理数加减混合计算，求得答案；
（2）根据题意，理解数串的计算办法并填空
（3）根据题意可发现每次操作加，从而求得第66次操作后所有数之和为．
【详解】（1）解：数串①所有数字之和为：；
数串②所有数字之和为：；
故答案为：2，；
（2）解：第3次操作以后所产生的数串③共有个数，
数串③为．
所有数之和为：，
故答案为：17，；
（3）解：∵第一次操作增加数字：，
第二次操作增加数字：，
第三次操作增加数字：，
∴第一次操作增加5+，
第二次操作增加，
第三次操作增加，
即每次操作加，
第66次操作后所有数之和为．
变式9-4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项．
【详解】解：∵，
设被改为“”号的数的和为，则运算结果，
∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数，
∴是的倍数，又是的倍数，
∴必为的倍数，
A．不是的倍数，不符合要求，
B．不是的倍数，不符合要求，
C．不是的倍数，不符合要求，
D．是的倍数，符合条件，
故选：D．
专题十、实际应用：正负数情境
典例10 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）．
(1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位；
(2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？
(3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
【答案】(1)第2个时刻该水库的实际水位是10.6
(2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7
(3)超过
【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）用原始水位加上表格中1时刻和2时刻的数据进行计算即可；
（2）求出每个时刻的水位，进行判断即可；
（3）由（2）中结果，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
答：第2个时刻该水库的实际水位是10.6；
（2）的水位为，
第1时刻的水位为，
第2时刻的水位为，
第3时刻的水位为，
第4时刻的水位为，
第5时刻的水位为，
第6时刻的水位为，
答：在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7；
（3）由（2）可知，6次水位升降后，实际水位为，
，
故水库的水位超过警戒线．
解题模板
先定正负约定：上升记正、下降记负，最后别忘了加回初始值。
分段计价先判断落在哪一档，再分段累加，不能跨档一刀切。
利润＝售价－进价，同一件商品两次买卖要分开算，不能只看总收入。
最高或者最低是把每个时刻的值都算出来比，不是比变化量的大小。
变式10-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（ ）
A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5
【答案】A
【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离．
【详解】解：找出所以可能路线计算：
，距离为；
，距离为；
，距离为；
，距离为；
，距离为；
，距离为
通过比较这些路线的距离，是最短的．
故选：A
变式10-2 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校开展校园商品交换实践活动，小宇和小轩两人围绕一次买卖过程展开了讨论：
小宇：我先用200元买下一件文创摆件，之后以270元转手卖出去啦．
小轩：厉害呀，这一下就赚了70元！
小宇：后来我又花300元把这件摆件重新买了回来．
小轩：啊？怎么又买回来了……
小宇：最后我又以350元将摆件卖出去了．
小轩：那算下来总共就赚了90元呗！
小轩通过计算，认为小宇共赚了90元，你觉得小轩计算正确吗？若不正确，请写出你的计算过程．
【答案】小轩计算不正确，小宇共赚了120元．过程如下：
（元）．
【分析】根据利润等于售价减去进价，再列式计算即可．
【详解】略
变式10-3 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（ ）
A．B处比A处高 B．A处比B处高
C．A、B两处一样高 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查有理数的减法运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过已知温度差的关系推导与的差值．
利用温度差的关系，将转化为已知的与的差，计算后比较大小判断温度关系．
【详解】解：因为，
已知，
所以，
由于，即，所以，关键是处比处高．
故选：B．
变式10-4 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米．
【答案】
【分析】要使长方体收纳盒容积最小，长方体的长和宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高，代入长方体体积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥底面直径为，高为，要将圆锥放入长方体中，长方体的长、宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高，
∴长方体的长为，宽为，高为，
∴收纳盒的最小容积为：（立方厘米）．
专题十一、方案优选：分段计价与券
典例11 （24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学
素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准．
素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元．
素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．）
根据以上素材，解决下列问题：
(1)文文家2月份的电费是多少元？
(2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时．
①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？
②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？
③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等．
【答案】(1)132元
(2)①400千瓦时；②211.7元；③
【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，以及简单的应用题，明确每个阶段的电量是本题解题的关键.
（1）先计算出二月份的用电量，再根据电费单价电量计算即可；
（2）①先计算用满第一阶段的电量所需费用，从而求出第二阶段所用费用，再除以单价即为用电量；
②计算出峰电和谷电的电量，根据其单价计算费用，再加上第二阶段额外的费用；
③两种方式阶段价格增加的单价相同，所以不需要考虑阶梯价，根据电费相同列出a，b的等式，化简即可．
【详解】（1）解：二月用电量为：(千瓦时)，
∴二月的电费为：(元)；
（2）解：①9月用满第一阶梯电量需要电费：，
∴第二阶段电费为：(元)，
∴第二阶段用电量为：(千瓦时)，
∴九月份用电量为：(千瓦时)；
②峰电用电量为：(千瓦时)，
谷电用电量为：(千瓦时)，
∴九月份的电费是：(元)；
③∵是否开通峰谷电，阶梯价上涨相同，
∴不需要考虑阶梯价，
∴当时，开通和不开通峰谷电电费相同，
即时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等．
解题模板
先把每一档的付费表达式写出来，再比大小，不要凭感觉选方案。
有门槛的（满 100 减 10）先凑门槛再合并付款，别一单一单地付。
券有时效、不能叠加时，先算「需要几单」，再算每单怎么凑最接近门槛。
结论要回读题目：问的是最省多少钱还是怎么下单，答的方向不一样。
变式11-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择订购方案最划算？
素材1
古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份．
素材2
某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元）
素材3
莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露．
问题解决
分析规划
任务1
单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？
任务2
莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元．
确定方案
任务3
莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额．
【答案】任务1：169元；任务2：133元；任务3：119元
【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，得到最优方案是解答的关键．
任务1：根据题中单价乘杯数求解支付费用即可；
任务2：分别求得分两笔下单的费用，各自减去“18元代金券”，可求得实际支付费用；
任务3：用完三张“18元代金券”可得到最划算的费用，即就是拼单，可分三笔下单支付，每笔费用必须满55元或者费用大于且最接近55元，也可以用添加小料凑单完成．
【详解】解：任务1：由题意，（元），
答：单笔订单购买12杯饮料，实际支付169元；
任务2：分两单支付：
购买珍珠奶茶支付（元），
购买杨枝甘露支付（元），
∴珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单，共需支付为（元）；
任务3：莉莉的下单方案不是最划算的方案；
最划算的方案为：
第一单：购买5杯珍珠奶茶，实际支付（元）；
第二单：购买2杯珍珠奶茶，2杯杨枝甘露，实际支付（元），
第三单：购买3杯杨枝甘露，再添加4份椰果或2份椰果、1份多肉或2份多肉，实际支付（元），
三单共需支付（元）．
变式11-2 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如何制定奶茶订购方案？
素材1：为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学，现有如下两种订购方式：
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2：刘老师是该外卖的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决：
(1)若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
(2)若刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
(3)请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．
①确定订购方式与数量：电话订购__________杯；外卖订购__________杯．
②计算订购方案的总费用．
【答案】(1)630元
(2)667元
(3)①30；13；②623.5元（答案不唯一）
【分析】（1）通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，据此列式计算即可作答；
（2）结合刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，据此列式计算即可作答；
（3）根据题意，制定一个奶茶订购方案为电话订购30杯，送3杯，则外卖订购杯，再结合红包类型尽可能多使用红包减少费用，据此列式计算即可作答．
【详解】（1）解：通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费：
（元），
答：需花费630元．
（2）解：刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费：
（元），
答：需花费667元．
（3）解：根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则可以选择电话订购30杯，送3杯，
此时花费（元），
则外卖订购杯；
通过某外卖分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”，
则（元），
订购总费用为（元）．
电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元．
变式11-3 （22-23七年级上·浙江温州·期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1
纸巾区域推出两种活动：
活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8折．
注：两种活动不能同时参加．
素材2
晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3
晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1
半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2
按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3
晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
【答案】任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱；
任务2： ；
任务3：选择活动二更加优惠，理由：
∵清风牌纸巾已有存货1袋，
∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾．
参加活动一：返券情况
①满200元送60元券 （元）
还需支付（元）
实付（元）．
②满300元送90元券 （元）
，无需再支付， 实付300（元）．
参加活动二：当时，（元）．
所以，选择活动二更加优惠．
【分析】（1）根据晓琳家每三天用一包清风纸巾，180天用60包，每包12袋，即可得出答案，同理即可求出4D溶纸多少箱．
（2）根据题意需要清风纸巾需要，4D纸巾需要，然后根据活动二计算即可得出答案．
（3）根据晓琳家的存货情况半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾，再根据两种活动分别计算，然后比较即可得出答案．
【详解】任务1
解：（包）（袋）
（包） （箱）
答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱．
任务2
清风纸巾，
4D纸巾，
元，
故答案为：．
任务3 略
【点睛】本题考查有理数混合运算的应用题，读懂题意，充分理解本店的活动，列出算式是解题的关键．
变式11-4 （25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠．
(1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？
(2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？
【答案】(1)李阿姨应付280元，王阿姨应付655元
(2)如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用．根据题意确定付款方式是解题的关键．
（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）先对第一次进行分情况求解，然后求出张叔叔第二次优惠前要付的费用，最后结合优惠方案，分别计算两种情况下的费用之和，并作差即可解答．
【详解】（1）解：李阿姨应付：（元）；
王阿姨应付：（元）；
答：李阿姨应付280元，王阿姨应付655元．
（2）解：∵，
∴第一次购物有两种情况：若标价没有超过300元时，标价应为：（元）；
若标价超过300元时，标价应为：（元）；
∵标价600元时，按8折应付元，而，
∴第二次标价一定超过600元，
∴（元），
∴第二次标价为840元，
当第一次标价为276元时，张叔叔一次性购买需付元，可节约：元；
当第一次标价为320元时，张叔叔一次性购买需付
元，可节约：元．
∴如果张叔叔一次性购买，则可以节约元或32元．
专题十二、进位制、数学文化与阅读
典例12 （25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，．
(1)用二进制表示整数11；
(2)求的值；
(3)判断与的值是否相等，并说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)相等．
理由：令，
则
由，
得
，
由，
得
所以．
【分析】（1）根据题意将整数用二进制表示出来即可；
（2）根据题意得出，然后再由求解即可；
（3）令，得出，确定，同理化简，即可判断．
【详解】（1）解：由得
（2），
∴；
（3）略
解题模板
k 进制转十进制：各位数字乘 k 的幂再相加，从右往左数幂次。
十进制转 k 进制：连续除以 k，把余数倒着读。
铺地锦：每格是两位数字之积，沿斜线相加，满十进位。
取整函数：[x] 是不超过 x 的最大整数，{x}＝x－[x]，先定整数部分再算。
变式12-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则______，______．
【答案】 2 1
【分析】本题考查了有理数的乘法，由，，可得，，，，再由，，求解即可．
【详解】解：由题意可得，，，，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：2，1．
变式12-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．
(1)分别求与的值；
(2)当时，
①的值为__________．
②已知，求的值；
(3)当时，，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)①的值为或；②7
(3)的值为、或
【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是掌握“不大于的最大整数”及的定义，分情况讨论的取值进行计算．
（1）根据和的定义直接计算；
（2）①分是正整数与非正整数的情况，推导的值；②由推出，结合（为整数）求和；
（3）根据结合定义列等式求．
【详解】（1）解：由定义，，；，．
答：，．
（2）①解：当时，
若是正整数，则，；是负整数，，，
故．
若不是正整数，设（为非负整数，），则，，，
故
综上，的值为或．
故答案为：或．
②解：由①得，代入，得，
∵为整数时，，
∴．
答：值为．
（3）解：设（），则（为整数），，，
由，得，即，
∵，
∴，对应；；（舍去）．
答：的值为、或．
变式12-3 （2026·浙江台州·二模）【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：．
【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数）
【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数）
【答案】
【详解】解：当时，取该级数的前4项进行估算，
则，
．
变式12-4 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）．
（1）计算：________，________；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的：；
（3）当为何值时，．
【答案】（1），10；（2）或；（3）或．
【分析】本题考查了新定义运算．
（1）根据对数的定义直接计算；
（2）由的定义得到，化简原式求解即可；
（3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴
∴或
∴或；
（3）解：∵，
∴
当时，，
∴，
即，
∴；
当时，，，
∴，无解；
当时，，，
∴，
即，
∴；
∴或．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（ ）
A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C
【答案】C
【分析】本题借助绝对值的几何意义与性质，先由推导出与的数量关系，再结合判断、与1的大小关系，从而确定三点在数轴上的排列顺序．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴或，
若，则，此时，与题干矛盾，故舍去，
∴必有，即，
∴，
∵，
∴，
若，则，
此时，，无论还是，均满足，
∴，即三点从左到右为，，，
若，则，此时化简后矛盾，舍去．
综上，三点在数轴上从左到右的顺序为，，．
故选：C.
2．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（ ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法，正确理解题意是解题的关键．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可．
【详解】解：A、∵，而，
∴，
∵，
∴，
而，
∴原点在Ⅲ这一区域，符合题意；
B、∵，，
∴，
不能确定的正负，
故B不能确定原点的位置，不符合题意；
C、∵，，
∴，
∵，
∴可能大于0，也有可能小于0，
那么就确定不了原点的位置，不符合题意；
D、∵，
∴可能都小于0，或者，
∵，，
∴当时，；当时，，
故不能确定原点位置，不符合题意；
故选：A．
3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．根据题意列出算式，先计算小括号内的减法，再计算乘法即可．
【详解】由题意得，
故选：B．
4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值，
可令，则，
因此，所以．
这种方法称为“错位相减法”．
请参考以上推理计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则
，仿照题目中的“错位相减法”，可得
，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得
本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
【详解】解：设，
则，
∴，
即，
再令，
则，
∴，
即，
∴，
，
，
．
故选：B．
5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，且，那么
D．如果，，那么
【答案】ABD
【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是根据有理数的加法、乘法、减法及绝对值的意义依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意；
B．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意；
C．如果，，且，那么，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．如果，，那么，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：ABD．
6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是________（写出一对即可）．
【答案】3与74
【分析】本题考查了有理数的乘法，加法运算，正确理解题意是解题的关键．
先确定三位数的因数中一定有111，再根据可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，然后讨论分析即可．
【详解】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数，
所以它的因数中一定有111，
而，
由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，
因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数，
所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数，
而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99，
所以：经尝试发现 (18是3的倍数），，
因此，这两个自然数分别是37与18或3与74，
故答案为：3与74．
7．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ___．
【答案】0
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，代数式求值等知识点，利用相反数，倒数的定义求出，的值，代入原式计算即可得到结果，熟练掌握相反数，倒数是解决此题的关键．
【详解】和互为相反数，和互为倒数，
，，
，
故答案为：0．
8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式_____．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值、相反数、倒数等知识点，熟练掌握相反数及倒数的性质是解本题的关键．
由互为相反数的两数之和为0，互为倒数两数之积为1，得到，代入所求式子中计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
所以．
故答案为：．
9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若，是整数，且，则的最大值与最小值的差为________．
【答案】
【分析】本题考查有理数的乘法，代数式求值，根据和，是整数可以求出，的值，再计算，最后比较大小即可．
【详解】解：，是整数，
∴，
不妨设，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
∴的最大值为，最小值为，它们的差为，
故答案为：．
10．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________．
【答案】
/
【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可
【详解】解：先计算括号内的
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴
11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把表示成三个互不相等的整数的积，其中有两个整数是互为相反数：______（写出符合条件的一个式子）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了有理数的乘法，相反数，分解质因数，分类讨论．
设两个互为相反数的整数为和，第三个整数为，则乘积，化简得．寻找整数和满足条件，且三个整数互不相等．
【详解】由，且、为整数，．为平方数，且是12的因数，可能取值为1、4、9（12不是平方数，舍去）．
当时，或，，三个整数为、、，互不相等，乘积为．
当时，或，，三个整数为、、，互不相等，乘积为．
当时，，不是整数，舍去．
故答案为（或）．
12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则______．
【答案】或/或
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意或，根据，得出或，求出m的值即可．
【详解】解：∵a、b、c是三个不同整数，（不妨设），m为整数，
，
∴或，
∴或，
∵，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知整数a、b、c、d满足，且，则______．
【答案】7
【分析】本题考查有理数的乘法，加法运算及绝对值，由题意可得或，再代入计算即可．
【详解】解：∵整数a、b、c、d满足，且，
∴有两种情况：
①，
此时；
②，
此时；
故答案为：7．
14．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），则M的整数部分是______，M的小数部分是______．
【答案】
【分析】将原式转化为，进行计算即可．
【详解】解：，
，
M的整数部分为，小数部分为．
15．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和．
【详解】解：因为，所以；
因为，所以；
因此．
故答案为：6．
16．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．如下图，求可用以下两种方法：
方法一（正向思考）：
方法二（逆向思考）：
请用适当的方法求解下列问题：
（1）______．
（2）______．（注：）
【答案】
【分析】本题考查图形及数字的变化规律，
（1）根据方法二进行计算，即可得出答案．
（2）先将等式拆项为整数与分数的和，再根据（1）的方法进行计算即可求解．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2）
．
故答案为：．
17．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的值______．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，可得，即得，进而代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：设，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
18．（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
19．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
请完成下面问题：
(1)上述表格中， ， ， ．
(2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ．
(3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．
【答案】(1)；1；0
(2)
(3)解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正，
∴符合加法的交换律；
∵向右转向左转立正，立正向后转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转，
∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转，
∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转），
∴符合加法交换律．
【分析】本题主要考查了新定义：
（1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案；
（2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案；
（3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可．
【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转，
∴；
∵向后转向左转向右转，
∴
∵向后转向后转立正，
∴；
（2）解：∵任意口令立正该任意口令，
∴；
（3）略
20．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表：
周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可）
【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调
【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解．
【详解】解：购买一台电冰箱，，
则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元，
购买一台电视机的政府补贴为元，
购买一台洗衣机的政府补贴为元，
购买一台空调的政府补贴为元，
因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，，
所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调．
21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）宁波某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如下：
注：若原价达到消费券使用门槛，则可在最后实际付费的基础上再减相应的金额．
(1)若王老师实际付款88元，那么王老师一次性购物可能是______元；
(2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于300元但不小于100时，他实际付款______元，当大于或等于300元时，他实际付款______元（用含的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师连着两天去超市购物原价合计600元，第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示：两天购物王老师实际一共最少付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？
【答案】(1)88或110
(2)；
(3)当时，最少付款为元；当时，最少付款为元；一共节省了135元
【分析】本题考查列代数式，根据优惠方案，正确的列出代数式是解题的关键：
（1）分购买总额少于100元和低于300元但不低于100元两种情况讨论求解即可；
（2）根据优惠方案列出代数式即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，当王老师一次性购物金额刚好为88元时，满足题意，
当王老师的原付款金额低于300元但不低于100元时，（元）；
故答案为：88或110；
（2）由题意，当小于300元但不小于100时，他实际付款为元；
当大于或等于300元时，他实际付款（元）；
（3）当时，则，
最少付款为（元）；
当时，，
最少付款为：（元）；
当元时，王老师两天一共节省了（元）．
答：当时，最少付款为元；当时，最少付款为元；一共节省了135元．
22．（22-23七年级上·浙江金华·期中）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
【答案】(1)，
(2)两次购物的总原价为839元或860元；当总原价为839元时，便宜37.8元；当总原价为860元，便宜21元
【分析】（1）由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为元；当原价x超过600元时，实际付款为元；
（2）由，，可知，第一次花费分两种情况求解：①第一次花费原价为元；②第一次花费原价为元；由，，可得第二次花费原价为 元，分别计算两种情况下的总原价，以及合并成一次购买的总费用，然后与分两次购物的费用作差求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为元；
当原价x超过600元时，实际付款为元，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
由题意知，第一次花费分两种情况求解：
①第一次花费原价为元；
②第一次花费原价为元；
∵，，
∴第二次花费原价为 元，
∴当第一次花费原价为元；两次购物的总原价为元，
若合并成一次购买，总费用为元，
∴（元）；
当第一次花费原价为元；两次购物的总原价为元，
若合并成一次购买，总费用为元，
∴（元），
∴当两次购物的总原价为839元时，合并成一次购买，比分两次购买便宜37.8元；当两次购物的总原价为860元，合并成一次购买，比分两次购买便宜21元．
【点睛】本题考查了列代数式，有理数混合运算的实际应用．解题的关键是分类讨论，列出算式．
23．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】
在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____．
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
(3)若a是的小数部分，b是的小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)
解：∵画边长为的格点正方形，
∴，
∴，
∴，
∴三角形的两直角边的长为2，
故图形如图所示，
(3)1；
【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题：
（1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长；
（2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案；
（3）根据得到与的小数部分，代入，进行求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由图形可得，
，
∴（负值已舍去），
故答案为：；
（2）略
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a是的小数部分，b是的小数部分，
∴，，
∴，
∴．
24．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题．
类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：
，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．
【类比探究】（）计算：______；
【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：；
【迁移应用】（）探究并计算：．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）利用裂项法解答即可求解；
（）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解；
（）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解；
本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键．
【详解】解：（），
故答案为：；
（）
；
（）
．
25．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题：
(1)请按照“聪慧组”同学的思路填空：
________________；
猜想：_______________；
(2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设
则
即
化简得
∴：
即___________；
(3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．
①请计算的值．
②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形．）
【答案】(1)，
(2)
(3)①；
②选择“明辨组”的代数法：，
选择“聪慧组”的作图法：
如图，
由图可得，．
【分析】（1）根据图形和规律，即可求解；
（2）去括号进行计算，即可求解；
（3）根据“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法，即可求解．
【详解】（1）解：由图可得，，
∵，
，
，
∴．
（2）解：设
则
即
化简得
∴，
∴．
（3）解：①设，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解法一：选择“明辨组”的代数法：
设，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
解法二：选择“聪慧组”的作图法略
26．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：
．
上述这种方法叫做拆项法，请仿照上述方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】将带分数拆成整数部分和分数部分，利用加法交换律、结合律，整数归一组、分数归一组，分开计算，简化运算，避免直接通分带来的复杂计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
27．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以．
(1)分别求与的值；
(2)当时，
①的值为_______；
②已知，求的值；
(3)当时，，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)①0或1；②6
(3)0，，
【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用；
（1）根据题干中给出的定义进行计算即可；
（2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故；
②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可；
（3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答．
【详解】（1），
；
（2）①，
当为整数时，，
，
，
当不是整数时，由题意得
等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，
∴
故答案是：或；
②，
，
；
（3）时，，
与的小数部分相同，
的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，
即的小数部分为或或，
或或．
28．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）．
(1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和．
(2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表：
问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？
【答案】(1)67；
(2)元
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键．
（1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可；
（2）根据题意列出算式即可求解．
【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形，
∴卧室的边长为m，
∴客厅的长为m，
∴两个卧室和客厅的面积总和；
（2）解：（元）
29．（23-24七年级上·浙江温州·期中）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”．
(1)填空：
①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是______________．
(2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”．
(3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：，
例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值．
【答案】(1)①②1022
(2)2226或3066
(3)
【分析】（1）①根据新定义运算法则即可；②由于千位不能为0，千位最小只能取1，百位最小取0，根据题意得出：十位千位百位，个位千位百位，所以最小的四位依赖数是1022；
（2）依据题意列出代数式，然后表示为7的倍数加2的形式进行综合分析；
（3）由（2）得，所有“冠军数”为2226或3066，故从所有“冠军数”分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：①，
故是“亚运数”，
故答案为：；
②由题意可知千位是1，百位是0，
十位，个位，
最小的四位依赖数是1022．
故答案为：1022
（2）解：设千位数字是，百位数字是，且，，
则十位数字是，个位数字是，
四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，
，为非负整数），
化简得，
，
，
，，为小于10正整数，为非负整数，为的正整数，，
符合条件的，只有两组，或，，
所有“冠军数”为2226或3066．
（3）解：所有“冠军数”为2226或3066，
2226的最小分解，，
3066的最小分解，，
，
故求所有“冠军数”的的最大值为．
【点睛】本题主要考查了新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键．
30．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）用合理的方法计算，并写出计算过程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)99990000
(2)10.4
(3)1
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键．
（1）先提取公因式，再进行计算即可；
（2）利用加法交换律进行简便运算即可；
（3）先将括号内的换算为，再进行计算即可；
（4）可以化为，可以化为，可以化为，再进行简便运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
31．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）用合理灵活的方法计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【答案】(1)1250
(2)88
(3)
(4)3
(5)
(6)0
(7)1002
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键，
（1）根据乘法运算律求解即可；
（2）先算括号里面的，再算括号外面的即可；
（3）根据有理数的加法法则求解即可；
（4）根据有理数混合运算法则即可求解；
（5）利用倒数法求解即可；
（6）根据有理数混合运算法则即可求解；
（7）根据有理数的加减法法则求解即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：∵
∴；
（6）解：
；
（7）解：
32．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料解决问题
(1)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20，
则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）；
(2)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
(3)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：
①_______；
②计算：．
【答案】(1)22，9
(2)
(3)①；②
【分析】（1）（2）根据材料提供的方法求解即可；
（3）根据绝对值的性质取绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵点，表示的数分别为，20，
∴，线段的中点表示的数为；
（2）解：
；
（3）解：①∵
∴；
②，，，同理，
．
33．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c．
(1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______．
(2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值．
(3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离．
①若，求b的值．
②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值．
【答案】(1)7
(2)5
(3)①的值为6或14；②
【分析】（1）由题意在刻度尺上的距离等于在数轴上的距离，根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）根据互为相反数的两个数在原点的两侧且到原点的距离相等，得到原点的位置，再根据两点间的距离进行求解即可；
（3）①分两种情况进行讨论求解即可；②根据绝对值的几何意义，得到当表示数x的点P在点A和点B之间时，，进而得到，结合，求出，再根据两点间的距离求出a，b的值即可．
【详解】（1）解：∵点表示的数为，，
∴点表示的数为；
（2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数，
∴原点是线段的中点，即在刻度处，
∴；
（3）解：①由题意，，
到2的距离的2倍等于到2的距离，
当2在之间时，则到2的距离为，到2的距离为，
∴4刻度处表示2，
∴的值为6；
当2在的左侧时，则到2的距离等于的长，
∴，；
综上：的值为6或14；
②∵表示数x的点P在点A和点B之间，
∴，
∵，
∴，
∴或，
又∵，且在的左侧，
∴当时，均为负数，不符合题意；
∴，
∵，
∴.
34．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查相反数，绝对值的意义，倒数及代数式的值，熟练掌握相反数，绝对值的意义，倒数及代数式的值是解题的关键；
（1）由题意易得，然后问题可求解；
（2）由（1）及可得，然后代入进行求解即可．
【详解】（1）解：由的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数，可得：
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
35．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）阅读下列素材：
结合上述素材，完成以下问题：
如何设计“非对称加密算法”
素材1
“非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密．
素材2
；；；
素材3
项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则
例：当明文为，取时，加密解密过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由．
（2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由．
【初步应用】
（3）若公钥为，设计匹配的私钥．
【解决问题】
（4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）．
【模型理解】
（1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由．
（2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由．
【初步应用】
（3）若公钥为，设计匹配的私钥．
【解决问题】
（4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∵能被1000整除，
∴被1000除的余数为，
即被1000除的余数为．
（3）
（4），（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键．
（1）根据，再计算即可得出结论；
（2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论；
（3）根据，对于匹配的钥匙，则有，再根据当，时可得出的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙，则有，再由可得出匹配的钥匙（答案不唯一）．
【详解】（1）略
（2）略
（3），
对于匹配的钥匙，则有，
当公钥为69，则匹配的私钥；
为两位整数，
当时，；
（4）∵，
∴对于匹配的钥匙，则有，
∵，
∴匹配的钥匙．
故答案为：，（答案不唯一）．
36． （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）综合实践
活动目标
理解不同进位制的数之间的转换及应用
素材
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制．
十进制数，记作；
八进制数，记作；
二进制数，记作；
（，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘以相应的次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．
如：八进制数转换为十进制数为：
．
素材
将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：
解决问题
(1)利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换：
①把二进制数转换成十进制数；
②把十进制数转换成二进制数．
(2)现有八进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明．
【答案】(1)①6；②；
(2)，
说明：，，
则，，
所以．
【分析】（1）根据材料的方法进行转换即可；
（2）根据不同进位制的数之间的转换方法求出、的值，再比较大小．
【详解】（1）解：①；
②
，
，
，
则；
（2）略
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培优专题 第2章 有理数的运算
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2
专题一、符号与命题判断 2
专题二、数轴：距离、中点、折叠与刻度 3
专题三、加减混合运算与拆项法 4
专题四、运算律与分配律 5
专题五、整数性质：和积分解与数位 7
专题六、新定义运算：法则归纳—应用—运算律 7
专题七、程序框图与循环周期 9
专题八、求和：裂项、错位相减、倒序相加 10
专题九、数阵、数串与数字规律 12
专题十、实际应用：正负数情境 13
专题十一、方案优选：分段计价与券 14
专题十二、进位制、数学文化与阅读 15
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 17
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
第 2 章十二个专题，落点只有四件事：第一，结合数轴来进行判断数的正负，同时对于数轴中的位置变换，要先假设落点位置，在结合数轴求线段进行下去，第二，观察计算规律，找出对应的序号数字与对应值之间的关系，可以先假设，在判断。循环图找规律时，要先把前几个写出来，再进行观察。第三，理解题干含义，明确题干所表达的实际意义，对应情景中的描述，对于分段阶梯类题目，明确每一段要符合对应的范围。第四，对于计算问题来说，不论是裂项、错位相减、倒序相加，还是混合运算和拆项，都是要先明确项与项的关系，再进行判断，计算。
本章必备的四条核心结论：
1. 有理数运算先定符号再算绝对值：乘除看负因数的个数，加减看绝对值的大小。
2. 减法一律转加法、除法一律转乘法，转完再用交换律、结合律、分配律。
3. 分配律正反都能用，ab＋ac＝a(b＋c) 就是提公因式的依据；但除法没有分配律。
4. 求和先看分母结构：分母成等差用裂项，成等比用错位相减，首尾对称用倒序相加。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. －a² 与 (－a)² 混为一谈，前者是 a² 的相反数。
2. 除法乱用分配律：把 a÷(b＋c) 拆成 a÷b＋a÷c。
3. 带分数直接当假分数参与乘法，整数部分没并进去。
4. 绝对值方程只取正根，漏掉负的那一个。
5. 分段计价跨档时只按一档算，忘记分段累加。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
专题一、符号与命题判断
典例1 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a，b为实数，下列说法：
①若，则|；
②若，则是正数；
③若，则；
④若且，则．
其中正确的是________．
解题模板
先定符号再定大小：ab＞0 同号、ab＜0 异号；a＋b 的符号由绝对值大的那个数决定。
相反数→和为 0，倒数→积为 1，绝对值→一般有两个值，别漏掉负的那一个。
正确个数类题目逐条举反例：能举出反例的直接判错，比硬推快得多。
0 是万能特例：含 0 的说法单独验一遍，很多一定成立都要考虑 0 。
变式1-1 （24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，则式子：的值是__________．
变式1-2 （24-25七年级上·浙江宁波·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ）
A． B． C．5或 D．4或
变式1-3 （26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知为有理数，下列说法：①若，则；②若，则是正数；③若，则；④若且为正整数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1-4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值．
（2）当时，，求当时，的值．
专题二、数轴：距离、中点、折叠与刻度
典例2 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）当满足________时，代数式有最小值为________；
（2）当时，实数的取值范围为________．
解题模板
两点距离一律写 |a－b|，不要写成右减左的 a－b，遇到负数必错。
|x－a|＋|x－b| 的最小值＝|a－b|，最小值在 a、b 之间任取；三点取中间点。
折叠的实质是对称：两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍。
剪成三段按比例的，先设三段的倍数，再按哪一段含折痕分类讨论。
变式2-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．
(1)_________，_________；
(2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
(3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由．
变式2-2 （23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________．
变式2-3 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．是圆片的直径（结果保留）．
(1)把圆片沿数轴向右滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______________．
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______________．
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？
变式2-4 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”．
(1)若点P表示的数是2，则n的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；
(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值；
(4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值．
专题三、加减混合运算与拆项法
典例3 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题：
(1)．
解：原式．
上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______．
(2)类比上述计算方法，请计算：．
解题模板
减法一律变加法（减一个数＝加它的相反数），再省略加号写成代数和。
带分数拆成整数＋分数：整数归一组、同分母归一组，不要直接化假分数硬算。
交换位置时符号跟着数一起搬，别把负号留在原地。
找错题只查三处：变形依据对不对、运算律名字对不对、符号搬运有没有掉。
变式3-1 （26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________．
变式3-2 （25-26七年级上·全国·单元复习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
变式3-3 （25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
…
(1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________；
(2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示）
(3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________；
(4)请写出正确的解答过程．
变式3-4 （24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算
上述这种方法叫拆项法．请仿照上述方法计算：
(1)；
(2)．
专题四、运算律与分配律
典例4 （24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
解题模板
a(b＋c)＝ab＋ac 正用；ab＋ac＝a(b＋c) 逆用，先找公因数再提。
除法没有分配律：a÷(b＋c) ≠ a÷b＋a÷c
除以一个数等于乘它的倒数，先把除法统一成乘法，再决定要不要分配。
倒数法：先求原式的倒数，算完再取倒数，适合括号里是分式之和的题。
变式4-1 （26-27七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
变式4-2 （26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式4-3 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下列材料：
在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路：
思路①：用分别除以，，，再把所得结果相加．
思路②：先求出，，的和，再用除以这个和．
思路③：先算，再求所得结果的倒数．
(1)上述三种思路中，不正确的是思路 ．
(2)请选择一种正确的思路计算：．
变式4-4 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）阅读以下题目解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得到原式的值．
解：先求原式的倒数．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
专题五、整数性质：和积分解与数位
典例5 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若a，b是整数，且，则的最大值与最小值的差为_______．
解题模板
积为定值就枚举全部整数对，正负都要列，别只列正整数。
a＋b＋ab 型：两边同加 1 凑成 (a＋1)(b＋1)，一步变成积为定值。
求最值先定符号：两负数相加往绝对值大的方向走，一正一负取差。
数位题把四位数写成 1000a＋100b＋10c＋d，再按条件列式。
变式5-1 （25-26七年级上·浙江·期中）各数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫作“水仙花数”，比如153是“水仙花数”，因为．以下四个数中是“水仙花数”的是（ ）
A．131 B．371 C．345 D．417
变式5-2 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知a，b，c为三个互不相等的整数，且，则的最大值等于______________．
变式5-3 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为______．
变式5-4 （24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则．
(1)填空：______，_____，_____．
(2)若，求m和n的值．
专题六、新定义运算：法则归纳—应用—运算律
典例6 （24-25七年级上·浙江·期中）小强同学类比加法的学习过程，对有理数“”运算进行了如下探究．
（一）法则探究
根据探究，小强发现有理数“”运算有下面的规律：
（1），．
（2），．
（3），．
观察上面算式中“”运算的两数及所得结果的符号和绝对值，归纳“”运算的法则：两数进行“”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______．特别地，0和任何数进行“”运算或任何数和0进行“”运算，______．
（二）法则应用
（1）填空：______，______．
（2）小强发现有理数“”运算符合有括号先算括号的运算顺序，请计算下列式子：
．
（三）运算律探究
我们知道在有理数的加法运算中，有加法交换律．小强类比有理数“”运算法则的探究，分类举例探究了有理数“”运算的交换律，请完成小强的探究过程．
解题模板
先抄三组算式，把结果按同号、异号、含 0 三类分开看。
法则写全三句话：同号怎么算、异号怎么算、遇到 0 怎么算，缺一句就不完整。
代值时先算括号内再算括号外，符号严格按定义走。
验证运算律只认举反例：一个反例就能否掉结合律，不必正面证明。
变式6-1 （24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）定义关于有理数a，b的新运算：．例如：若，则．若，则的结果_______．
变式6-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题．
【观察运算】
①；；；；
②；；；；
③；；；；．
(1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则：
①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值；
②异号两数进行“☆”运算，结果为_______；
③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________．
(2)【应用法则】计算：．
(3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______．
A．成立 B．不成立
变式6-3 （2025七年级上·浙江金华·专题练习）我们称使等式成立的两个有理数a，b互为友好有理数．如：因为，所以有理数2，3互为友好有理数．
(1)通过计算判断，是否互为友好有理数；
(2)若m，n互为友好有理数，则， 互为友好有理数（填“是”或“不是”）；
(3)如果x，y互为友好有理数，且，求的值．
变式6-4 （25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题：
(1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______；
(2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数；
(3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数．
专题七、程序框图与循环周期
典例7 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．2
解题模板
逐次算出前 5—8 次输出，盯住什么时候开始重复出现。
找到循环节后用(次数－起点)÷周期取余数定位。
周期起点不在第 1 次的，先把预热的那几次扣掉再除。
逆向题（由输出反求输入）每一步都要考虑框图有两条分支。
变式7-1 （2026七年级上·浙江·专题练习）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
(1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________；
(2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________
变式7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（ ）
A．
B． C．或 D．或
变式7-3 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是______．
变式7-4 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
专题八、求和：裂项、错位相减、倒序相加
典例8 （23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：，，…
所以：
问题：
计算：
①；
②．
解题模板
分母成等差：，差几就提几分之一。
等比求和：设 S，两边乘公比，错位相减，最后只剩首尾两项。
等差求和：倒序相加，正反两式相加得到 n 个相同的和。
无限等比（|q|＜1）：用图形法看面积，，比代数快。
变式8-1 （25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为．
类比上述方法，解答下列各题：
(1)___________
(2)计算：___________．
(3)计算：．
变式8-2 （24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题：
计算：．
解：设，①
那么．②
②①，得．
所以原式．
仿照上面的例题计算：
．
变式8-3 （26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设，①
则，②
，得
．
，，③
．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；
(2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）；
变式8-4 （26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）根据以下材料，探索完成任务：
问题解决
(1)问题1：直接写出计算结果： ；
(2)问题2：有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ．（且n为正整数）
(3)问题3：计算（其中）
专题九、数阵、数串与数字规律
典例9 （24-25七年级上·浙江温州·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
解题模板
数阵先算总和，用总和－已知区域的和反推阴影部分。
数字不重复时，先定极端值（最大、最小）再往里试填。
卡片求和：从最小的那个和入手，因为大数的组合少、容易锁定。
数串操作看「每次新增的数的和是不是定值」，是定值就能用「原和＋n×定值」。
变式9-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______．
变式9-2 （22-23七年级下·浙江杭州·期中）在一次数学活动课上，王老师将共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张下片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序．然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，并要求们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4．则拿到数字5的同学是________．
变式9-3 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）有依次排列的3个数：5，2，0，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串①：5，，2，，0，这称作第一次操作；对数串①进行同样的操作后也可产生一个新的数串②：5，，，5，2，，，2，0……依次操作下去．
(1)数串①的所有数之和为_________，数串②的所有数之和为_________，
(2)数串③共有_________个数，所有数之和为_________．
(3)请列式计算：操作第66次产生的新数串的所有数字之和是多少？
变式9-4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（ ）
A． B． C． D．
专题十、实际应用：正负数情境
典例10 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）．
(1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位；
(2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？
(3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
解题模板
先定正负约定：上升记正、下降记负，最后别忘了加回初始值。
分段计价先判断落在哪一档，再分段累加，不能跨档一刀切。
利润＝售价－进价，同一件商品两次买卖要分开算，不能只看总收入。
最高或者最低是把每个时刻的值都算出来比，不是比变化量的大小。
变式10-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（ ）
A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5
变式10-2 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校开展校园商品交换实践活动，小宇和小轩两人围绕一次买卖过程展开了讨论：
小宇：我先用200元买下一件文创摆件，之后以270元转手卖出去啦．
小轩：厉害呀，这一下就赚了70元！
小宇：后来我又花300元把这件摆件重新买了回来．
小轩：啊？怎么又买回来了……
小宇：最后我又以350元将摆件卖出去了．
小轩：那算下来总共就赚了90元呗！
小轩通过计算，认为小宇共赚了90元，你觉得小轩计算正确吗？若不正确，请写出你的计算过程．
变式10-3 （25-26七年级上·浙江衢州·期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（ ）
A．B处比A处高 B．A处比B处高
C．A、B两处一样高 D．无法确定
变式10-4 （26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米．
专题十一、方案优选：分段计价与券
典例11 （24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学
素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准．
素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元．
素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．）
根据以上素材，解决下列问题：
(1)文文家2月份的电费是多少元？
(2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时．
①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？
②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？
③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等．
解题模板
先把每一档的付费表达式写出来，再比大小，不要凭感觉选方案。
有门槛的（满 100 减 10）先凑门槛再合并付款，别一单一单地付。
券有时效、不能叠加时，先算「需要几单」，再算每单怎么凑最接近门槛。
结论要回读题目：问的是最省多少钱还是怎么下单，答的方向不一样。
变式11-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何选择订购方案最划算？
素材1
古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份．
素材2
某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元）
素材3
莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露．
问题解决
分析规划
任务1
单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？
任务2
莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元．
确定方案
任务3
莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额．
变式11-2 （26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如何制定奶茶订购方案？
素材1：为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学，现有如下两种订购方式：
注：下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2：刘老师是该外卖的会员，平台赠送他以下6个红包：
问题解决：
(1)若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
(2)若刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
(3)请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元．
①确定订购方式与数量：电话订购__________杯；外卖订购__________杯．
②计算订购方案的总费用．
变式11-3 （22-23七年级上·浙江温州·期中）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务．
揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠
素材1
纸巾区域推出两种活动：
活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完．
活动二：所有商品打8折．
注：两种活动不能同时参加．
素材2
晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．
素材3
晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚．
问题解决
任务1
半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？
任务2
按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为______元（用含x的代数式表示）．
任务3
晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程．
变式11-4 （25-26七年级上·四川达州·期中）好又多超市“国庆”搞促销，对顾客实行优惠购物，规则如下：若顾客一次性购物不超过300元，则每满100立减10元；若顾客一次性购物超过300元，但不超过600元，则按标价给予八折优惠；若顾客一次性购物超过600元，其中600元按上述给予八折优惠，超过600元的部分给予七折优惠．
(1)李阿姨在该超市购买了一台标价350元的电饭煲，王阿姨在该超市购买了一台标价850元的微波炉，她们各应付多少元？
(2)张叔叔先后两次去该超市购物，分别付款256元和648元，如果张叔叔一次性购买，则可以节约多少元？
专题十二、进位制、数学文化与阅读
典例12 （25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一．若正整数，其中，或1（），则可用二进制表示为，即，记．例如：，则，．
(1)用二进制表示整数11；
(2)求的值；
(3)判断与的值是否相等，并说明理由．
解题模板
k 进制转十进制：各位数字乘 k 的幂再相加，从右往左数幂次。
十进制转 k 进制：连续除以 k，把余数倒着读。
铺地锦：每格是两位数字之积，沿斜线相加，满十进位。
取整函数：[x] 是不超过 x 的最大整数，{x}＝x－[x]，先定整数部分再算。
变式12-1 （24-25七年级上·浙江杭州·期中）在明代数学著作《算法统宗》一书中，作者程大位记载了一种被称为“铺地锦”的多位数相乘方法．例如：如图1，计算，将乘数357写在方格上边，乘数46写在方格右边，然后用乘数357的每位数字乘以乘数46的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，加的时候满十要向前进位，最终得16422．如图2，若用该方法计算三位数乘以两位数时，得到结果为14442，则______，______．
变式12-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．
(1)分别求与的值；
(2)当时，
①的值为__________．
②已知，求的值；
(3) 当时，，请直接写出的值．
变式12-3 （2026·浙江台州·二模）【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达：．
【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为_________．（结果保留一位小数）
变式12-4 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）．
（1）计算：________，________；
材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下：
（2）求出满足该等式的：；
（3）当为何值时，．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（ ）
A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C
2．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（ ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（ ）
A． B．1 C． D．
4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值，
可令，则，
因此，所以．
这种方法称为“错位相减法”．
请参考以上推理计算： （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）（多选）若，是实数，则下列说法正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，且，那么
D．如果，，那么
6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是________（写出一对即可）．
7．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ___．
8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式_____．
9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若，是整数，且，则的最大值与最小值的差为________．
10．（2023七年级下·浙江·竞赛）若规定，则________．
11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把表示成三个互不相等的整数的积，其中有两个整数是互为相反数：______（写出符合条件的一个式子）．
12．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则______．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知整数a、b、c、d满足，且，则______．
14．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），则M的整数部分是______，M的小数部分是______．
15．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________．
16．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．如下图，求可用以下两种方法：
方法一（正向思考）：
方法二（逆向思考）：
请用适当的方法求解下列问题：
（1）______．
（2）______．（注：）
17．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的值______．
18．（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：．
19．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表．
请完成下面问题：
(1)上述表格中， ， ， ．
(2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ．
(3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）．
21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）宁波某超市在国庆期间对顾客实行优惠，规定如下：
注：若原价达到消费券使用门槛，则可在最后实际付费的基础上再减相应的金额．
(1)若王老师实际付款88元，那么王老师一次性购物可能是______元；
(2)若顾客在该超市一次性购物元，当小于300元但不小于100时，他实际付款______元，当大于或等于300元时，他实际付款______元（用含的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师连着两天去超市购物原价合计600元，第一天购物的原价为元（），用含的代数式表示：两天购物王老师实际一共最少付款多少元？当元时，王老师两天一共节省了多少元？
22．（22-23七年级上·浙江金华·期中）2022年十一国庆期间，商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）：
(1)设一次性购买的物品原价为x元，当原价x超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价x超过600元时，实际付款为 元．
(2)若乙分两次购物，第一次花费189元，第二次花费580元，则两次购物的总原价为多少元？若合并成一次购买，比分两次购买便宜多少元？
23．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】
在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为．
24．（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题．
类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：
，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．
25．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题：
(1)请按照“聪慧组”同学的思路填空：
________________；
猜想：_______________；
(2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设
则
即
化简得
∴：
即___________；
(3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．
①请计算的值．
②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形．）
26．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：
．
上述这种方法叫做拆项法，请仿照上述方法计算：
(1)；
(2)．
27．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以．
(1)分别求与的值；
(2)当时，
①的值为_______；
②已知，求的值；
(4)
当时，，请直接写出的值．
28．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）．
(1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和．
(2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表：
问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？
29．（23-24七年级上·浙江温州·期中）阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“亚运数”，例如，自然数3157，其中，所以3157是“亚运数”．
(1)填空：
①21______________是“亚运数”（在横线上填上两个数字）；
②最小的四位“亚运数”是______________．
(2)若四位“亚运数”的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“冠军数”，求所有“冠军数”．
(3)已知一个大于1的正整数可以分解成的形式（均为正整数），在的所有表示结果中，当取得最小时，称“”是的“最小分解”，此时规定：，
例：，因为，所以，求所有“冠军数”的的最大值．
30．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）用合理的方法计算，并写出计算过程．
(1)
(2)
(3)
(4)
31．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）用合理灵活的方法计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
32．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料解决问题
(1)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：
例如，若数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若在数轴上，点，表示的数分别为，20，
则根据上面的材料可知_________线段的中点表示的数为_________（直接写出结果）；
(2)数学李老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
(3)阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成：
①_______；
②计算：．
33．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数分别是a，b，c．
(1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是______．
(2)若点A，B所表示的数互为相反数，求c的值．
(3)的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点之间的距离，那么的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数1的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上表示数a的点与表示数的点之间的距离．
①若，求b的值．
②若数轴上，表示数x的点P在点A和点B之间；且，．求a，b，c的值．
34．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知的相反数是4，，是最大的负整数，没有倒数．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
35．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）阅读下列素材：
结合上述素材，完成以下问题：
如何设计“非对称加密算法”
素材1
“非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密．
素材2
；；；
素材3
项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则
例：当明文为，取时，加密解密过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由．
（2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由．
【初步应用】
（3）若公钥为，设计匹配的私钥．
【解决问题】
（4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）．
36． （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）综合实践
活动目标
理解不同进位制的数之间的转换及应用
素材
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制．
十进制数，记作；
八进制数，记作；
二进制数，记作；
（，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘以相应的次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．
如：八进制数转换为十进制数为：
．
素材
将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：
解决问题
(1)利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换：
①把二进制数转换成十进制数；
②把十进制数转换成二进制数．
(2)现有八进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明．
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