专题05 有理数的混合计算的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“符号判定+规则还原”为主线，系统整合七类有理数计算题型，通过通法提炼-题型精析-压轴突破三阶设计，培养运算能力与推理意识，构建从基础到综合的完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法2条|先定号再算值（乘方看底数、乘除看负号）；先规则再下笔（程序还原、新定义套用等）|运算规则→符号处理→结果检验| |题型归纳|7题型（例+变式）|进制转化“按权展开+短除法”、规律探究“特殊值归纳”、个位数字“周期法”|概念应用→创新计算→规律推理| |压轴挑战|高难13题|综合运用符号规则与转化思想|跨题型整合→思维上限突破|

专题05 有理数的混合计算的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的混合计算 1 题型二、有理数有关的概念 4 题型三、新定义的有理数计算 5 题型四、有理数与程序性计算 8 题型五、进制的转化 11 题型六、有理数计算的规律探究 18 题型七、有理数计算确定个位数字 23 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数混合运算是七上有理数章节的核心基础考点，涵盖程序计算、新定义计算、进制转化、规律探究等多种题型，做题时 符号判定与规则还原 这两条主线贯穿始终——一条是 先定号、再算值：乘方看底数（负数奇次幂为负、偶次幂为正），乘除看负号个数（奇负偶正），加减看绝对值大小；另一条是 先看规则、再下笔：程序题按流程逐步还原每步运算，新定义题先吃透规则再套用，进制题先明确位权再按权展开，规律题先算几组特殊值再归纳一般式。所有运算结果，最终都要用 "符号 + 绝对值"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的混合计算 例1计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 变式1-1计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-2计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1-3计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 题型二、有理数有关的概念 例2已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，是最大的负整数，则的值是（    ） A．或 B． C． D．0 【答案】C 【分析】此题考查有理数的加减法，相反数的意义，倒数的性质，有理数的分类，根据相反数的性质，倒数的性质，有理数的分类得到，即可求出式子的值． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，是最大的负整数， ∴， ∴ 故选：C． 变式2-1若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 【答案】 【详解】解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 变式2-2已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，则________ 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数及倒数的定义，解题的关键是熟练掌握互为倒数的两个数的积为1，互为相反数的两个数的和为0． 根据倒数、相反数的性质可得，，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数， ∴，， ∴． 故答案为：1． 变式2-3已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，则式子的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的混合运算，相反数得到，倒数得到，整体代入后，利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， ∴； 故答案为：1． 题型三、新定义的有理数计算 例3现规定两种新运算“”和“⊙”，对任意有理数a、b，规定：，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合计算，先根据新定义计算出，再根据新定义计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴ ， 故答案为：． 变式3-1规定新运算“※”，对任意有理数，，规定，例如：，则计算_____ 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．原式利用已知的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式3-2对于有理数，，规定一种新的运算“★”：★，例：3★．请用上述规定计算下面各式． （1）______； （2）______． 【答案】 0 【分析】（1）将，代入★计算可得； （2）先计算出3★，再计算★★★可得答案． 【详解】解：（1）由题意知： ； （2）★ ， ★★★ ， 故答案为：①，②0． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 变式3-3规定一种新运算法则：，例如：．请用上述规定计算下面式子的值：． 【答案】72 【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 变式3-4用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： ，求： (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，根据题目中给出的式子进行正确求解为解题关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解： （2）， ． 题型四、有理数与程序性计算 例4如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 变式4-1如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 变式4-2按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 变式4-3程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 变式4-4如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 题型五、进制的转化 题型模版 1.特征：① 其他进制 → 十进制：给一串其他进制的数，转成十进制； ② 十进制 → 其他进制：给十进制数，转二进制（短除法）。 2.方法： 1. 十进制数反复除以目标基数b； 2. 每次记下余数； 3. 直到商为 0； 例5【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)①11；② (2) (3) 与互为“久久数”， 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）①根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可．②根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可． （2）仿照题干的转化方法把二进制数转换为五进制数即可． （3）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：①转换为十进制数为； ②因为，即，， 所以29转换为二进制数为； （2）解：因为，即，， 所以63转换为五进制数为； （3）略 变式5-1阅读材料：进位制是一种记数方式，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数．（十进制数不用标角标，其他要标角标）其中， 十进制数记作：234． 各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数， 七进制数记作：． 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： (1)类比十进制的加法运算，计算： ①= ．②= ； (2)根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成2进制数的值为多少？ 【答案】(1)①6；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了二进制数，十进制数，七进制数之间的互相转换，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意可得，据此计算求解即可；②根据逢二进一的计算法则求解即可； （2）①根据题意可得，据此计算求解即可；②仿照题意分别求出22除以2的商和余数，再把所得的商继续除以2直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：①； ②，，，， ∴． 变式5-2综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 【答案】(1)①38，②； (2)； (3)； (4)是，证明： ，， ∴， ∴与互为“发发数”； 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，正确理解题意是解题关键； (1)①，即可求解；②根据即可求解； (2)根据二进制的加法运算口诀即可求解； (3) 根据二进制的减法运算口诀即可求解； (4) ，，即可求解； 【详解】解：(1)①； ②， ∴把十进制数转换为二进制数为； (2) ； (3) ； (4) 略 变式5-3综合与实践 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标）如：十进制数，记作：234，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幕，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即． 将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： (1)①把七进制数转换为十进制数_________；②把十进制数29转换为二进制数_________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，判断与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)129， (2) 解：与互为“久久数”，理由如下： ， ， ，， ， 与互为“久久数”． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和进制计算规则： （1）仿照材料中的方法进行计算即可； （2）将与分别转化为十进制数，求出m和n的值，判断是否成立即可； 【详解】（1）解：， ，，，，， ， 故答案为：129，； （2）略 变式5-4进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 请根据以下素材，完成探究任务． 进位制的认识与探究 素材1 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（简称）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到了一个四位数，将这个四位数看成一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，体现了中国古代数学的灿烂文化． 素材2 进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说， “逢几进一”就是几进制． 例如：十进制数（规定时，）为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为， 素材3 若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”． 任务1 将十进制数120转换为五进制数；二进制数转换为十进制数 任务2 将把三进制数转换为四进制数； 任务3 判断与是否互为“久久数”，并说明理由； 【答案】任务1：，30； 任务2：，30； 任务2：； 任务3：与不是“久久数”，理由如下： 把化成十进制为； 把化成十进制为； ∵， ∴与不是“久久数”． 【分析】本题主要考查了含乘方有理数的四则混合运算，理解进制的定义成为解题的关键． 任务1：根据五进制、二进制的定义列式计算即可； 任务2：先把三进制数转化为十进制，然后再转化为四进制即可解答； 任务3：先把和转化为十进制，然后根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】解：任务1：，则120转换为五进制数为； ，则转换为十进制数为30； 任务2：三进制数转换为十进制为； ∵， ∴15转换为四进制为，即把三进制数转换为四进制数为； 任务3：略 题型六、有理数计算的规律探究 例6观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)解：，理由见解析： ∵①， ②， ③， ④， …… ∴． (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）略 （3）解：原式 ． 变式6-1规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)1630 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据已知算式特点写出答案即可； （2）观察已知算式的特点写出等式即可； （3）根据（2）中总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 变式6-2寻找规律：连续的奇数相加，它们的和的情况如下表： (1)请猜想 ； (2)请用上述规律计算 (3)请用上述规律计算： 【答案】(1) (2)900 (3)4550 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意找到计算规律是解题的关键． （1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，最后一个数为，即可得出结果； （2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，最后一个数为，即可得出结果； （3）把变形为，然后利用（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴依此类推：第个所代表的算式为：， 当，即时，， 故答案为：． （2）解：由（1）得：第个所代表的算式为：， ∴当，即时，． （3）解：∵ ， 由（1）得：第个所代表的算式为：， ∴当，即时，， ∴原式． 变式6-3探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 变式6-4观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 题型七、有理数计算确定个位数字 题型模版 1.特征：求大数幂/幂加减算式的个位数字，无需要硬算，考周期规律 2.方法： 取个位 → 找周期 → 指数除周期 有余数：取第几位；无余数：取最后一位 加减题型：分别求个位，再运算，最后取个位（注意进退位） 例7在生物学中，常常通过建立数学模型来描述、解释和预测种群数量的变化．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，……，请你推算的个位数字是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方及数字尾数的规律，解题的关键是通过题意归纳出个位数字的出现规律，再运用该规律进行求解． 【详解】解：∵， ∴的个位数字是； ∵， ∴的个位数字是； ∵， ∴的个位数字是； ∵， ∴的个位数字是； ∵， ∴的个位数字是； ∴的个位数字以，，，，，，次一循环周期的规律出现， ∵， ∴个位数字为： ， ∴的个位数字是． 故选：B． 变式7-1计算：，，，，，，归纳计算结果中个位数字的规律，猜测的个位数字是__________． 【答案】2 【分析】此题考查了有理数的乘方，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键． 根据一系列等式，归纳总结得到计算结果中的个位数字的规律为以，，，循环，用除以得到余数为0，即可得出其个位上的数字． 【详解】解：根据一系列等式，归纳总结得到计算结果中的个位数字的规律为以，，，循环， ， 的个位数与的个位数字相同，都是2． 故答案为：2． 变式7-2计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是________． 【答案】3 【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得的个位数字． 【详解】∵， ∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现， ∵， ∴的个位数字是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现结果的个位数字的变化特点，写出所求式子的个位数字． 变式7-3发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到 ，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 【答案】B 【分析】按照运算顺序，先算，再算，最后算即可． 【详解】解：． 2．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 3．若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则___________． 【答案】17 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义计算求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 本题主要考查了求代数式的值，以及相反数、绝对值和倒数．掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键． 【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2， ， 故答案为：17． 4．若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是__________． 【答案】11 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意得出，，，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，， ，，， ． 故答案为：11． 5．已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 6．规定一种新运算，规定有理数 如 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算： （1）根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 7．规定一种新的运算：a☆b，例如3☆5，请用上述规定计算下面各式： (1)2☆； (2)☆[4☆]． 【答案】(1)－6 (2)﹣13 【分析】（1）正确理解新的运算法则，套用公式直接解答即可； （2）套用公式计算得出[4☆]=7，然后再利用公式求（﹣6）☆7即可． 【详解】（1）解：2☆（﹣4） （2）解：（﹣6）☆[4☆（﹣3）] ＝（﹣6）☆ ＝（﹣6）☆（4＋12－9） ＝（﹣6）☆7   ＝﹣6＋42－49 ＝﹣13 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题目中规定的“新的运算”是解题关键． 8．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意可得代数式，将值代入求解，得到正数直接得结果；得到负数取该数的绝对值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是正数， ∴输出的结果为． （2）解：由题意得， ∵为负数， ∴， ∴输出的结果为． 10．综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 【答案】（1）129；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可； ②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可 【详解】解：（1） （2）， （3）①， ②． 11．观察下列算式并寻找规律，利用规律解答问题： ； ； ；； …… (1)第5个算式是 ；第15个算式是 ； (2)请用找到的规律计算： 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化，找出规律，解决问题． （1）等式的左边是相差为2的两个数相乘，再加上1；右边是两个数的平均数的平方．用字母表示 这一规律，即可解答； （2）将括号内先通分，再利用以上规律变形，最后约分即可得． 【详解】（1）解： ； ； ； ； ……； ； 第5个算式是；第15个算式是； （2）解：根据（1）中规律： ． 12．观察下列各式： ， ， ， …… 利用上述规律计算： （1）填空：_____； （2）计算：； 类比上述规律计算： （3）计算：． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，把代入即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（2）的思路可解答． 【详解】解：（1）∵， ， ， …… ∴， 当时，， 故答案为：； （2）∵，，…， ∴ ； （3）∵， ∴； ∵， ∴； 同理，， ∴， ∴ ． 13．观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）根据乘方的定义计算即可求解； （）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； ， 故答案为：； （2）解：∵，，，，，， ， ∴个位数字按照的规律循环， 又∵， ∴的个位数字之和为： ， ∴为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的混合计算的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的混合计算 1 题型二、有理数有关的概念 2 题型三、新定义的有理数计算 2 题型四、有理数与程序性计算 3 题型五、进制的转化 4 题型六、有理数计算的规律探究 8 题型七、有理数计算确定个位数字 9 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数混合运算是七上有理数章节的核心基础考点，涵盖程序计算、新定义计算、进制转化、规律探究等多种题型，做题时 符号判定与规则还原 这两条主线贯穿始终——一条是 先定号、再算值：乘方看底数（负数奇次幂为负、偶次幂为正），乘除看负号个数（奇负偶正），加减看绝对值大小；另一条是 先看规则、再下笔：程序题按流程逐步还原每步运算，新定义题先吃透规则再套用，进制题先明确位权再按权展开，规律题先算几组特殊值再归纳一般式。所有运算结果，最终都要用 "符号 + 绝对值"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的混合计算 例1计算 (1) (2) (3) 变式1-1计算： (1)； (2) 变式1-2计算下面各题： (1)； (2) 变式1-3计算： (1)； (2)； (3)． 题型二、有理数有关的概念 例2已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，是最大的负整数，则的值是（    ） A．或 B． C． D．0 变式2-1若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 变式2-2已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，则________ 变式2-3已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，则式子的值为______． 题型三、新定义的有理数计算 例3现规定两种新运算“”和“⊙”，对任意有理数a、b，规定：，，那么______． 变式3-1规定新运算“※”，对任意有理数，，规定，例如：，则计算_____ 变式3-2对于有理数，，规定一种新的运算“★”：★，例：3★．请用上述规定计算下面各式． （1）______； （2）______． 变式3-3规定一种新运算法则：，例如：．请用上述规定计算下面式子的值：． 变式3-4用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定，如： ，求： (1)求的值． (2)求的值． 题型四、有理数与程序性计算 例4如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 变式4-1如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 变式4-2按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 变式4-3程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 变式4-4如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 题型五、进制的转化 题型模版 1.特征：① 其他进制 → 十进制：给一串其他进制的数，转成十进制； ② 十进制 → 其他进制：给十进制数，转二进制（短除法）。 2.方法： 1. 十进制数反复除以目标基数b； 2. 每次记下余数； 3. 直到商为 0； 例5【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 变式5-1阅读材料：进位制是一种记数方式，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数．（十进制数不用标角标，其他要标角标）其中， 十进制数记作：234． 各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数， 七进制数记作：． 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： (1)类比十进制的加法运算，计算： ①= ．②= ； (2)根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数22转化成2进制数的值为多少？ 变式5-2综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数． [算法赏析] 材料一：十进制数，记作：． 材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即 ．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可． 如：7∣66⋯3（第1位余数） 7∣9⋯2（第2位余数） 7∣1⋯1（第3位余数） ∴ 材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法： 减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． [算法体验] （1）①把五进制转换为十进制数______； ②把十进制数转换为二进制数______； （2） =______；（结果用二进制数表示）； （3）____．（结果用二进制数表示）； [算法应用] （4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由． 变式5-3综合与实践 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标）如：十进制数，记作：234，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幕，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即． 将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： (1)①把七进制数转换为十进制数_________；②把十进制数29转换为二进制数_________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，判断与，是否互为“久久数”，并说明理由． 变式5-4进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 请根据以下素材，完成探究任务． 进位制的认识与探究 素材1 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（简称）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为八进制数得到了一个四位数，将这个四位数看成一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，体现了中国古代数学的灿烂文化． 素材2 进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说， “逢几进一”就是几进制． 例如：十进制数（规定时，）为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数转换为十进制数为：，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为， 素材3 若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”． 任务1 将十进制数120转换为五进制数；二进制数转换为十进制数 任务2 将把三进制数转换为四进制数； 任务3 判断与是否互为“久久数”，并说明理由； 题型六、有理数计算的规律探究 例6观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 变式6-1规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 变式6-2寻找规律：连续的奇数相加，它们的和的情况如下表： (1)请猜想 ； (2)请用上述规律计算 (3)请用上述规律计算： 变式6-3探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 变式6-4观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 题型七、有理数计算确定个位数字 题型模版 1.特征：求大数幂/幂加减算式的个位数字，无需要硬算，考周期规律 2.方法： 取个位 → 找周期 → 指数除周期 有余数：取第几位；无余数：取最后一位 加减题型：分别求个位，再运算，最后取个位（注意进退位） 例7在生物学中，常常通过建立数学模型来描述、解释和预测种群数量的变化．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，……，请你推算的个位数字是（    ）． A． B． C． D． 变式7-1计算：，，，，，，归纳计算结果中个位数字的规律，猜测的个位数字是__________． 变式7-2计算：，，，，，….归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是________． 变式7-3发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算：的结果是（     ） A．2 B．-25 C．-7 D．以上都不是 2．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则___________． 4．若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是__________． 5．已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是_________． 6．规定一种新运算，规定有理数 如 (1)求的值； (2)求的值 7．规定一种新的运算：a☆b，例如3☆5，请用上述规定计算下面各式： (1)2☆； (2)☆[4☆]． 8．计算： (1)； (2) 9．根据如图所示的程序回答问题： (1)当凡凡输入和这两个数时，则输出的结果是___________； (2)当林林输入和这两个数时，求输出的结果． 10．综合与实践 活动名称　进位制的认识与探究 背景材料：进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标） 素材1： 十进制数，记作：234． 七进制数，记作： 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数． 素材2： 将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如： 素材3： 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一 二进制的四则运算规则如下： 加法：， 减法：（同一数位不够减时，向高一位借1当2） 解决问题 任务1：探究不同进位制的数之间的转换 （1）将七进制数转化成十进制数的值为多少？ （2）将十进制数22转化成二进制数的值为多少？ （3）若三进制数，四进制数，试比较a与b的大小关系，并说明理由； 任务2：探究进位制数的加法运算（结果仍用二进制表示） ① ② 11．观察下列算式并寻找规律，利用规律解答问题： ； ； ；； …… (1)第5个算式是 ；第15个算式是 ； (2)请用找到的规律计算： 12．观察下列各式： ， ， ， …… 利用上述规律计算： （1）填空：_____； （2）计算：； 类比上述规律计算： （3）计算：． 13．观察下列算式： ，，①，②， ，， (1)①________，②________； (2)求的个位数字． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $