4.2.2 指数函数的图象和性质（3）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

回顾与展望 指数函数的图象和性质 图 象 性 质 x y o 1 x y o 1 R ( 0 , + ∞) 过定点 ( 0 , 1 )，即x=0时，y=1 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时， 0＜y＜1当x＜0时， y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 (1)定义域 (2)值域 (3)定点 (5)函数值的分布情况 (4)单调性 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 左右无限上冲天， 永与横轴不沾边. 大 1 增，小 1 减， 图象恒过(0,1)点. 第一象限底小图低 4.2.2 指数函数的图象和性质 典例精析 典例精析 利用指数函数的单调性解不等式 （1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． （2）解不等式 的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论． 若 则 ： 当a>1时，有f (x)>g(x) ； 当0<a<1时，有f (x)<g(x)． 方法总结： 典例精析 定义域R，值域 定义域 ，值域 定义域 ，值域 定义域R，值域 函数 y = a f (x) (a>0且a≠1) 的值域的求法 ①换元：令t=f(x)； ②求出新元的取值范围，即求t=f(x)的值域t∈M； ③利用y=at的单调性求y=at (t∈M)的值域． 方法总结： 换元 转化 典例精析 复合函数单调性： 同增异减 典例精析 复合函数单调性： 同增异减 典例精析 归纳总结 课后作业 课本P118 习题4.2 1（加求值域） 课本P161 12 大本 解不等式 例1.　(1)解方程：4x－2x+2＝0； (2)解不等式： ； (3)已知 (a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解 , ，所以方程即为 解 , 原不等式可以转化为 . 在 上是减函数, ,故原不等式的解集是 . (3)分情况讨论: ① 当 时,函数 在 上是减函数, ,解得 ; ② 当 时,函数 在 上是增函数, , 解得 或 , 综上所述,当 时, 的取值范围是 ; 当 时, 的取值范围是 或 . 例2.　求下列函数的定义域和值域： (1) (2) (3) (4) 例3．函数 (1)求函数单调区间； (2)求函数的值域. 分析：法一： ，画图可得 法二：f(x)= 可经下列变换得到： 例4：　已知函数f(x)＝ . (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)的值域． [解]　(1)令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]． 例5.　已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,3x＋1). (1)证明f(x)为奇函数； (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明； (3)求f(x)的值域． [解]　(1)证明　由题意知f(x)的定义域为R， f(－x)＝eq \f(3－x－1,3－x＋1)＝eq \f(3－x－1·3x,3－x＋1·3x)＝eq \f(1－3x,1＋3x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)解　f(x)在定义域上是增函数． 证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2， f(x2)－f(x1)＝ ＝(1－ )－(1－ ) ＝ . ∵x1<x2，∴ － >0, ＋1>0, ＋1>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)为R上的增函数． 解　f(x)＝eq \f(3x－1,3x＋1)＝1－eq \f(2,3x＋1)，∵3x>0⇒3x＋1>1⇒0<eq \f(2,3x＋1)<2 ⇒－2<－eq \f(2,3x＋1)<0， ∴－1<1－eq \f(2,3x＋1)<1，即f(x)的值域为(－1,1)． 1．解简单指数方程、不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． 2．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同． 3．复合函数值域，可通过换元转化为基本初等函数值域解决. 4. 复合函数单调性：同增异减. $