专题13 椭圆中常考的二级结论十四类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题13 椭圆中常考的二级结论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆焦点三角形面积公式 题型二、焦点三角形的顶角（最大张角）与椭圆离心率的关系 题型三、椭圆中与坐标有关的焦半径公式 题型四、与直线倾斜角有关的焦半径公式/焦点弦长公式 题型五、焦半径的比值与椭圆离心率的关系 题型六、焦点三角形的两个底角与椭圆离心率的关系 题型七、椭圆的中点弦（点差法）结论 题型八、与椭圆的第三定义（顶点相关斜率积）有关的结论 题型九、焦点三角形内切圆圆心有关的结论 题型十、椭圆的通径 题型十一、椭圆的切点弦方程 题型十二、椭圆中的蒙日圆有关结论 题型十三、椭圆的光学性质有关结论 题型十四、焦点弦倒数和为定值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆二级结论大多由椭圆第一定义、标准方程、韦达定理、点差法、斜率公式推导而来使用结论时注意两个底线原则一是结论有适用前提看清焦点位置、点的位置、直线条件二是大题中二级结论不能直接写需要简单推导小题可直接使用提速所有结论优先记忆形式配套推导思路避免混淆 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆焦点三角形面积公式 典例1 （26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 题型模版 1.特征：已知椭圆上一点两个焦点求面积 2.方法：核心结论： 推导思路：利用定义结合余弦定理求出再用面积公式化简 补充结论：在短轴端点时最大面积取最大值 变式1-1（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 变式1-2（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则__________. 题型二、焦点三角形的顶角（最大张角）与椭圆离心率的关系 典例2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 题型模版 1.特征：椭圆上存在点使得求离心率范围 2.方法：最大顶角出现在短轴顶点处 方法：若椭圆上存在点满足则转化为关于的不等式求范围 补充结论：越大离心率越大 变式2-1（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 变式2-2（24-25高三上·福建福州·阶段检测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三、椭圆中与坐标有关的焦半径公式 典例3 （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知椭圆点在椭圆上求到左右焦点距离 2.方法：核心结论：左焦半径右焦半径 上焦点型椭圆： 补充结论：焦半径范围越大右焦半径越小 变式3-1（23-24高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四、与直线倾斜角有关的焦半径公式/焦点弦公式 典例4 （25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 题型模版 1.特征：过焦点的直线倾斜角为求焦点弦长、两段焦半径长度 2.方法：核心结论：焦点弦长 两段焦半径： 补充结论：时即为通径 变式4-1已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 变式4-2（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 题型五、焦半径的比值与椭圆离心率的关系 典例5 （26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 题型模版 1.特征：过焦点直线交椭圆于已知求离心率 2.方法：核心结论：变形得 方法：利用建立不等式求解离心率范围 补充结论：时弦垂直x轴对应通径 变式5-1（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 变式5-2（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______． 题型六、焦点三角形的两个底角与椭圆离心率的关系 典例6 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：焦点三角形中 2.方法：核心结论：离心率 推导思路：正弦定理结合椭圆定义 补充结论：该结论适合已知两个底角直接求离心率 变式6-1（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式6-2（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型七、椭圆的中点弦（点差法）结论 典例7 （25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：椭圆内一条弦中点为求弦斜率 2.方法：核心结论： 上焦点型椭圆： 补充结论：中点弦与中点和原点连线斜率满足 变式7-1（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆： ，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 变式7-2（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆在第一、第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型八、与椭圆的第三定义（顶点相关斜率积）有关的结论 典例8 （26-27高二上·全国·期中）已知是上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：为椭圆长轴顶点为椭圆上异于的动点 2.方法：核心结论： 拓展：任意一条不过原点的弦是椭圆上动点若关于原点对称则 补充结论：双曲线对应乘积为注意区分 变式8-1（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 变式8-2（2026·云南·模拟预测）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型九、焦点三角形内切圆圆心有关的结论 典例9 （25-26高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 题型模版 1.特征：内切圆圆心为研究的坐标、轨迹 2.方法：核心结论：内切圆与切于点圆心横坐标等于 内切圆半径： 补充结论：在右半椭圆时切点一定在右焦点内侧 变式9-1（25-26高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且的内心为，若的面积为，则__________. 变式9-2（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十、椭圆的通径 典例10 （24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知的周长为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：过焦点且垂直长轴的弦 2.方法：核心结论：通径长是所有焦点弦里面最短的弦 通径端点坐标： 补充结论：小题中可直接用来快速求点坐标 变式10-1已知椭圆：的焦点分别是、，过的直线垂直轴交椭圆于A、两点，且，椭圆与轴正半轴交于且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式10-2已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是_____________________ . 题型十一、椭圆的切点弦方程 典例11 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左焦点为，过点分别作的切线，切点分别为，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：椭圆外一点向椭圆引两条切线切点连线 2.方法：核心结论：切点弦方程 区分：点在椭圆上时该式为切线方程点在椭圆外是切点弦方程 补充结论：点在椭圆内时该方程是极线方程 变式11-1（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 变式11-2（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 题型十二、椭圆中的蒙日圆有关结论 典例12 （25-26高二上·北京朝阳·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：椭圆两条互相垂直切线的交点轨迹 2.方法：核心结论：蒙日圆方程 适用条件：两条切线相互垂直 补充结论：蒙日圆半径双曲线蒙日圆 变式12-1（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 变式12-2（24-25高二上·广东揭阳·期末）（多选）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点．直线的方程为．则下列结论正确的有（   ） A．的蒙日圆的方程为 B．在直线上存在点，椭圆上存在、，使得 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为． 题型十三、椭圆的光学性质有关结论 典例13 （2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 题型模版 1.特征：：从一个焦点发出光线经椭圆反射反射光线经过另一焦点 2.方法：核心结论：椭圆上点切线平分的外角法线平分 解题用法：切线、法线与焦半径夹角相等可用来处理角度、对称问题 补充结论：常结合斜率、到角公式考察 变式13-1（2025·广西·模拟预测）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 变式13-2（24-25高二上·北京大兴·期末）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论： ①面积的最大值为； ②的最大值为7； ③若，则； ④若，垂足为，则. 其中所有正确结论的序号是________． 题型十四、焦点弦倒数和为定值 典例14 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 题型模版 1.特征：过焦点直线交椭圆于两点焦点在之间 2.方法：核心结论：为定值 推导思路：直接使用倾斜角焦半径公式相加化简 补充结论：该定值与直线倾斜角无关小题优先使用 变式14-1已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为______． 变式14-2（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 5．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（，）的蒙日圆为：，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（     ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离平方的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，，求椭圆C的离心率______________. 7．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 8．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、.若上的点满足，，则的离心率为_____. 9．（25-26高二上·福建泉州·期末）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线会经过另一个焦点，且椭圆在反射点处的切线与法线垂直，入射光线与反射光线关于法线对称.现有一光线从椭圆的右焦点发出，经椭圆上的点反射至左焦点.若坐标原点到椭圆在处的切线的距离为，且，则的离心率为__________. 10．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）由阿基米德的著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即.已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为__________ 11．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 12．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为__________. 13．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______.    16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 椭圆中常考的二级结论 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆焦点三角形面积公式 题型二、焦点三角形的顶角（最大张角）与椭圆离心率的关系 题型三、椭圆中与坐标有关的焦半径公式 题型四、与直线倾斜角有关的焦半径公式/焦点弦长公式 题型五、焦半径的比值与椭圆离心率的关系 题型六、焦点三角形的两个底角与椭圆离心率的关系 题型七、椭圆的中点弦（点差法）结论 题型八、与椭圆的第三定义（顶点相关斜率积）有关的结论 题型九、焦点三角形内切圆圆心有关的结论 题型十、椭圆的通径 题型十一、椭圆的切点弦方程 题型十二、椭圆中的蒙日圆有关结论 题型十三、椭圆的光学性质有关结论 题型十四、焦点弦倒数和为定值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆二级结论大多由椭圆第一定义、标准方程、韦达定理、点差法、斜率公式推导而来使用结论时注意两个底线原则一是结论有适用前提看清焦点位置、点的位置、直线条件二是大题中二级结论不能直接写需要简单推导小题可直接使用提速所有结论优先记忆形式配套推导思路避免混淆 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆焦点三角形面积公式 典例1 （26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 题型模版 1.特征：已知椭圆上一点两个焦点求面积 2.方法：核心结论： 推导思路：利用定义结合余弦定理求出再用面积公式化简 补充结论：在短轴端点时最大面积取最大值 变式1-1（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【答案】2025 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理可得，结合面积公式可得答案. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 变式1-2（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆中，，为其左右焦点，是椭圆上的点，，的面积为9，则__________. 【答案】3 【分析】根据椭圆焦点三角形的面积公式结合题干即可求出. 【详解】是椭圆上的点，，根据焦点三角形的面积公式可知， 又的面积为9，，，. 故答案为：. 题型二、焦点三角形的顶角（最大张角）与椭圆离心率的关系 典例2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义及基本不等式得出，再根据离心率公式即可求解． 【详解】因为，所以， 又 ， 当且仅当时取等号， 所以， 由椭圆定义知，又， 所以，又， 所以离心率的取值范围为． 题型模版 1.特征：椭圆上存在点使得求离心率范围 2.方法：最大顶角出现在短轴顶点处 方法：若椭圆上存在点满足则转化为关于的不等式求范围 补充结论：越大离心率越大 变式2-1（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 【答案】/ 【分析】由椭圆的性质及已知得是等边三角形，即可得椭圆参数的齐次式，即可得. 【详解】椭圆上，点对两个焦点的张角为， 当落在椭圆短轴端点时，取得最大值，且最大值为， 因此在短轴端点时，，此时为等腰三角形，顶角为， 故是等边三角形，得，则椭圆离心率. 变式2-2（24-25高三上·福建福州·阶段检测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理用表示出，再由三角形的面积公式得到关于的不等关系，从而得到离心率的范围. 【详解】由题，，则．设，，则由椭圆的定义得． 在中，由余弦定理得， 所以， 所以． 设，则，所以， 所以，所以， 两边同时平方得，解得， 又，所以. 故选：D． 题型三、椭圆中与坐标有关的焦半径公式 典例3 （24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 题型模版 1.特征：已知椭圆点在椭圆上求到左右焦点距离 2.方法：核心结论：左焦半径右焦半径 上焦点型椭圆： 补充结论：焦半径范围越大右焦半径越小 变式3-1（23-24高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 变式3-2（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用弦长公式表示出，用两点间的距离公式结合点在椭圆上的条件表示出，代入题干条件即可求解. 【详解】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率， 根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ． 故选：A 题型四、与直线倾斜角有关的焦半径公式/焦点弦公式 典例4 （25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 题型模版 1.特征：过焦点的直线倾斜角为求焦点弦长、两段焦半径长度 2.方法：核心结论：焦点弦长 两段焦半径： 补充结论：时即为通径 变式4-1已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，则_______；若，则_______． 【答案】 【分析】求出F坐标，写出直线l的方程，联立直线l方程和椭圆方程，解出A和B的坐标，利用弦长公式或两点间距离公式即可计算，本题也可利用其特殊的几何关系简化计算． 【详解】， ∵， ∴过F且倾斜角为的直线l过椭圆的上顶点，当时，如图： ， 直线l的方程为， 由得，解得， ， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 变式4-2（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以 ． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 题型五、焦半径的比值与椭圆离心率的关系 典例5 （26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 【答案】 【分析】利用椭圆的性质先确定P点位置，根据向量共线的坐标计算Q坐标，代入椭圆方程得出齐次方程计算离心率即可. 【详解】由题意得，当最大时，点P位于椭圆上顶点或下顶点处，设椭圆半焦距为c， 此时， 由，可得，将点代入椭圆方程， 可得，解得，故离心率为. 题型模版 1.特征：过焦点直线交椭圆于已知求离心率 2.方法：核心结论：变形得 方法：利用建立不等式求解离心率范围 补充结论：时弦垂直x轴对应通径 变式5-1（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 【答案】 【分析】设，则，，，在分别由余弦定理解得，计算即可求解. 【详解】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，， 在分别由余弦定理解得： ，， 即，， 解得，，即. 故答案为：. 变式5-2（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接． 设，由知且，由椭圆的定义可知． 又，所以，所以， 所以，由椭圆的定义可知． 因为，所以在中，由勾股定理得， 即①． 在中，由勾股定理得， 即，整理得． 将代入①式得，整理得， 所以离心率． 故答案为： 题型六、焦点三角形的两个底角与椭圆离心率的关系 典例6 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 题型模版 1.特征：焦点三角形中 2.方法：核心结论：离心率 推导思路：正弦定理结合椭圆定义 补充结论：该结论适合已知两个底角直接求离心率 变式6-1（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 变式6-2（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 题型七、椭圆的中点弦（点差法）结论 典例7 （25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 题型模版 1.特征：椭圆内一条弦中点为求弦斜率 2.方法：核心结论： 上焦点型椭圆： 补充结论：中点弦与中点和原点连线斜率满足 变式7-1（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆： ，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 变式7-2（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆在第一、第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合点差法得，设直线，进而求得的坐标，再根据斜率关系得，最后根据求得，即可得直线的方程. 【详解】令的中点为，因为，所以， 设，则， 所以，即， 所以，即， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即. 故选：C. 题型八、与椭圆的第三定义（顶点相关斜率积）有关的结论 典例8 （26-27高二上·全国·期中）已知是上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆对称性设，结合点在椭圆上与直线斜率的表示可得，进而求解离心率即可. 【详解】结合椭圆的对称性可知关于原点对称， 设，则， ∴两式相减得，又， 可得，故椭圆离心率为，故B正确. 题型模版 1.特征：为椭圆长轴顶点为椭圆上异于的动点 2.方法：核心结论： 拓展：任意一条不过原点的弦是椭圆上动点若关于原点对称则 补充结论：双曲线对应乘积为注意区分 变式8-1（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 变式8-2（2026·云南·模拟预测）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆上动点与两顶点连线的斜率之积与椭圆参数的关系，结合离心率公式求解. 【详解】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且. 直线的斜率，直线的斜率. 由题意知，直线与的斜率之积为， 即. 由于点在椭圆上，满足， 变形得. 代入斜率之积的表达式得，即. 椭圆的离心率. 题型九、焦点三角形内切圆圆心有关的结论 典例9 （25-26高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】设，设内切圆与边相切于点，结合圆的切线长的性质和椭圆性质可得，由内切圆性质可得，，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】如图，不妨设在第一象限，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设， 因为，所以， 利用两点间距离公式可以得到， 代入，可得， 同理， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以内心的横坐标为，则， 所以， 又因为，所以， 化简得，所以. 题型模版 1.特征：内切圆圆心为研究的坐标、轨迹 2.方法：核心结论：内切圆与切于点圆心横坐标等于 内切圆半径： 补充结论：在右半椭圆时切点一定在右焦点内侧 变式9-1（25-26高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且的内心为，若的面积为，则__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解. 【详解】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径，即半径． 又点在椭圆上，由椭圆的定义，得， ， 即. 又，所以， 因为， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 变式9-2（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心， 是的角平分线， . 又 ， . 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， ， . ， ， . 由椭圆的定义得，， ，. 在中，由余弦定理得, ，化简得 . 该椭圆的离心率为. 题型十、椭圆的通径 典例10 （24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，左顶点为，直线过点，且与轴垂直，交于，两点，已知的周长为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出，，，化简得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 ，，， 将代入椭圆方程，得，解得， 即，，所以， 因为的周长为，所以， 即， 将移到等号右边，然后两边同时平方，化简得， 因为，所以， 即，因为离心率，所以， 解得或，因为椭圆离心率的范围为，所以， 故椭圆的离心率为. 故选：B. 题型模版 1.特征：过焦点且垂直长轴的弦 2.方法：核心结论：通径长是所有焦点弦里面最短的弦 通径端点坐标： 补充结论：小题中可直接用来快速求点坐标 变式10-1已知椭圆：的焦点分别是、，过的直线垂直轴交椭圆于A、两点，且，椭圆与轴正半轴交于且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用，得到，再根据求得，即解出，得到方程. 【详解】依题意过的直线垂直轴，令代入椭圆方程，得，即. 椭圆与轴正半轴交于，则，而，则， 即，解得，故椭圆的方程为. 故选：C. 变式10-2已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是_____________________ . 【答案】 【分析】利用，的内切圆的面积为求出a、b、c，得到的坐标，即可求出直线的方程. 【详解】椭圆中,令,得， 所以. 又△ABF2的内切圆面积为,即所以内切圆半径. 由椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a,而△ABF2的面积为，即. 又，解得： 则，所以直线AF2的方程是，即为3x+4y-3=0. 故答案为：3x+4y-3=0 题型十一、椭圆的切点弦方程 典例11 （26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左焦点为，过点分别作的切线，切点分别为，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为 . 因为切线过点，所以切线的方程变为： . 因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点，记右焦点为. 联立直线方程和椭圆方程得，化简得. 根据韦达定理，而， 所以. 因为， 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以三角形面积最大值为. 题型模版 1.特征：椭圆外一点向椭圆引两条切线切点连线 2.方法：核心结论：切点弦方程 区分：点在椭圆上时该式为切线方程点在椭圆外是切点弦方程 补充结论：点在椭圆内时该方程是极线方程 变式11-1（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆方程求出基本量，计算离心率； （2）借助切点处切线方程，并利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程为，并且过定点；将三角形面积表达为参数的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆：，得. 令，代入方程，得. 因为过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为， 所以，得，，故． （2） 由（1）知椭圆．设，， 因为点在直线上，所以切线的斜率存在， 设切线的方程为， 联立，整理得， 因为直线是椭圆的切线，所以， 整理得， 因为在椭圆上，所以，， 所以，即，得，即. 所以过与相切的直线方程为，即， 又因为在椭圆上，所以， 即代入上式，得. 即的方程为，同理的方程为， 又因为，都经过点，所以，即， 显然，都满足方程，所以直线方程为. 联立直线与椭圆方程，得． ，，. 又直线的方程得直线过定点， 所以 ， ， 设，所以， 因为对勾函数在上单调递增， 而，所以在上单调递增， 所以.所以， 当即时等号成立，此时点， 切线，关于轴对称时，取最大值． 因此面积的最大值为. 变式11-2（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【分析】设，根据切线方程求出，利用求出即可. 【详解】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 题型十二、椭圆中的蒙日圆有关结论 典例12 （25-26高二上·北京朝阳·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 题型模版 1.特征：椭圆两条互相垂直切线的交点轨迹 2.方法：核心结论：蒙日圆方程 适用条件：两条切线相互垂直 补充结论：蒙日圆半径双曲线蒙日圆 变式12-1（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 变式12-2（24-25高二上·广东揭阳·期末）（多选）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点．直线的方程为．则下列结论正确的有（   ） A．的蒙日圆的方程为 B．在直线上存在点，椭圆上存在、，使得 C．记点到直线的距离为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为． 【答案】ABD 【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得、关系，由此可知A正确；由过且在蒙日圆上，可知当、恰为切点时，，知B正确；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；由题意知，蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确． 【详解】对于A选项，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，， 所以，在蒙日圆上，则蒙日圆方程为， 由，得， 所以，椭圆的蒙日圆方程为，故A正确； 对于B选项，由直线的方程知，直线过， 又满足蒙日圆方程，所以，在圆上， 当、恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，故B正确； 对于C选项，因为在椭圆上，所以，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离， 所以，，故C错误； 对于D选项，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以，矩形的对角线为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为、，则， 所以，矩形的面积，当且仅当时取等号， 即矩形面积的最大值为，故D正确. 故答案为：ABD． 【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项． 题型十三、椭圆的光学性质有关结论 典例13 （2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 设，则， 根据反射规律可知：，所以， 所以， 所以， 整理并化简得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为 题型模版 1.特征：：从一个焦点发出光线经椭圆反射反射光线经过另一焦点 2.方法：核心结论：椭圆上点切线平分的外角法线平分 解题用法：切线、法线与焦半径夹角相等可用来处理角度、对称问题 补充结论：常结合斜率、到角公式考察 变式13-1（2025·广西·模拟预测）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ABC 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 变式13-2（24-25高二上·北京大兴·期末）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论： ①面积的最大值为； ②的最大值为7； ③若，则； ④若，垂足为，则. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】对于①：根据椭圆性质分析判断；对于②：根据椭圆定义结合几何性质分析判断；对于③：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于④，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于①：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故①正确； 对于②：因为，则， 可得， 所以的最大值为7，故②正确； 对于③：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故③正确； 对于④：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：对于③④：解题的关键在于灵活应用角平分线的定义与性质，构建相关量之间的关系，进而解题. 题型十四、焦点弦倒数和为定值 典例14 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    题型模版 1.特征：过焦点直线交椭圆于两点焦点在之间 2.方法：核心结论：为定值 推导思路：直接使用倾斜角焦半径公式相加化简 补充结论：该定值与直线倾斜角无关小题优先使用 变式14-1已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为______． 【答案】 【分析】结合椭圆第二定义，，设倾斜角为，可得，联立可得，同理得，则化简得，令，结合配方法和均值不等式即可求解 【详解】 如图所示，由， 由椭圆第二定义可得，① 又， 即，② 联立①②解得，同理可得， 则， 设，则，， ，当且仅当，即取到等号，所以的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查求椭圆中焦半径和值的最值求解，椭圆第二定义的使用，换元法，配方法与均值不等式求最值问题，综合性强，难度大.对于椭圆的焦半径，也可当成常规结论进行记忆. 变式14-2（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（   ） A． B． C． D．与弦的斜率有关 【答案】B 【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得. 【详解】法一：令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 方程的判别式， 所以，， 设椭圆的离心率为， 则 ， 同理，所以 ， 综上，； 法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设， 则，； 故． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用给定条件求出关键点坐标，结合平面向量模长公式求解即可. 【详解】设，，又， 所以，， 由，即，所以 又点B在椭圆C上，所以，解得， 所以A点坐标为， 所以，故C正确. 故选：C 2．（25-26高二上·湖南常德·期末）椭圆中，以为中点的弦所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用点差法求得直线的斜率，再利用点斜式即可求得所求直线方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内， 又不在坐标轴上，故以为中点的弦所在的直线斜率存在， 设以点为中点的弦的两端的坐标分别为， 则，由，两式相减， 得，则， 设以点为中点的弦所在直线斜率为，则， 所以所求直线方程为：，即. 故选：C 3．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④. 【详解】在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，，    对于椭圆，则、、， 所以，，故①错误； ，故②正确； 所以，， 又 ，(由题可知) 又， 所以，故③错误； 当时，直线的方程为， 由，消去整理得，显然， 所以，， 又，，则，， 设内切圆的半径为，则， 所以，解得， 所以内切圆的面积，故④正确；    故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式），利用结论直接解决问题. 4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得；由过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，可得.综上可得，后可得答案. 【详解】由题可得，其中，且. 又由椭圆对称性可知，在正上方且位于椭圆上的点到F距离为，即此点坐标为. 将其代入椭圆方程有：，又，可知； 设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点， 则. 又A，B两点在椭圆上，则. 两式相减得： 又，得. 又，则，又，且，则. 故椭圆方程为：，.设，其中. 则. .因， 有，当且仅当 ，即M为椭圆右顶点时取等号. 则椭圆上一点到的距离的最大值为. 故选：D 5．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（，）的蒙日圆为：，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（     ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离平方的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 的半径为，即有， 显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此， 所以到的左焦点的距离平方的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 二、填空题 6．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的点，，求椭圆C的离心率______________. 【答案】 【详解】设椭圆的焦距为. 由题可知，中，，. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 即椭圆C的离心率为. 7．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在该椭圆上，且轴，直线与轴交于点.若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】由得出，再由离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点 在第二象限,则 ，设 ,. ,. 由 得 比较 坐标:，即 . 化简得，得 ，故离心率 . 8．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、.若上的点满足，，则的离心率为_____. 【答案】 【分析】设点在第一象限，推导出，根据可得出的值，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，则，可得，易知、，    则，， 所以， 由图可知，， 所以， 所以， 故该椭圆的离心率为. 故答案为：. 9．（25-26高二上·福建泉州·期末）从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后，反射光线会经过另一个焦点，且椭圆在反射点处的切线与法线垂直，入射光线与反射光线关于法线对称.现有一光线从椭圆的右焦点发出，经椭圆上的点反射至左焦点.若坐标原点到椭圆在处的切线的距离为，且，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和性质，结合已知条件求出之间的关系，进而求出离心率. 【详解】设法线交轴于，作于，于，于， 设，则， 所以，， 因为为的中点，且， 所以，即， 所以得，， 所以，在中，， 所以，结合， 得，所以， 故椭圆的离心率为. 故答案为：    10．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）由阿基米德的著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即.已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为__________ 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，焦点三角形面积，勾股定理与椭圆的面积公式列出方程组求解即可. 【详解】设，因为，且的面积为， ，即，化简得， 又，所以，即， 因为椭圆的离心率为，则，化简得， 则易得，故椭圆的面积为. 故答案为：. 11．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答． 【详解】由题可得，， 又，则有， 由椭圆的定义知：， 当且仅当等号成立， 所以，则， 又椭圆的离心率小于1，所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 12．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据直线方程求出倾斜角，然后求出焦点三角形的内角，利用余弦定理建立关于的齐次式即可得解. 【详解】将代入得，所以直线过左焦点， 由题知，，所以， 所以，所以，故， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍去）. 故答案为： 13．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 【答案】 / 【分析】第一空：令，根据椭圆的定义结合余弦定理得出，然后应用面积公式计算即可；第二空：设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】第一空：设，则由椭圆定义可得 ， ① 由余弦定理得： ，② ①式平方减去②得：，即， 所以的面积， 因为，则的面积； 第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 由正弦定理可得：，解得：， 由可得： 整理得： 即， 又，即，所以椭圆的离心率为. 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______.    【答案】/0.25 【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【分析】利用余弦定理找到，再将 的面积为用表示，利用三角形内切圆半径公式找到，利用正弦定理得出，使两个式子相等，解出，根据离心率公式即可得到答案. 【详解】设，. 由椭圆定义可知：，，， 在中，利用余弦定理可知： ，而， 所以，故， 而的面积为， 的周长为：， 由三角形内切圆半径公式可知：， 在中，利用正弦定理可知：， 所以由题知：， 化简得：，故椭圆的离心率. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $