专题10 椭圆的标准方程十一类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册
|
2份
|
67页
|
62人阅读
|
1人下载
内容正文：
专题10 椭圆的标准方程
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、由椭圆方程求参数范围
题型二、由几何关系求椭圆的标准方程
题型三、定义法求椭圆的轨迹方程
题型四、相关点法求椭圆的轨迹方程
题型五、直译法求椭圆的标准方程
题型六、交轨法求椭圆的标准方程
题型七、椭圆上的点到焦点的距离最值
题型八、椭圆上的点到焦点和定点的距离和差
题型九、焦点三角形的面积问题
题型十、焦点三角形的中的内切圆相关结论
题型十一、焦点三角形的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
椭圆标准方程相关问题是高中圆锥曲线核心重难点，所有题型均围绕椭圆定义、关系、方程形式、几何性质四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是椭圆标准方程中，二是焦点位置不确定时必须分类讨论，所有参数结果最终均需合规检验
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、由椭圆方程求参数范围
典例1 （25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解.
【详解】根据题意可得，解得.
令，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5.
题型模版
1.特征：
给出含参数的二元二次方程（）、形式；题干表述为"方程表示椭圆""方程表示焦点在x轴/y轴上的椭圆"，求参数取值范围；易错陷阱：容易忽略，误把圆当成椭圆
2.方法：
等式两边同除以常数项，化为标准形式
方程表示椭圆：两个分母同时大于0，且两个分母不相等
焦点在x轴：；焦点在y轴：
解不等式组得到参数范围，收尾检验，排除圆、双曲线、无轨迹情况
变式1-1（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线表示椭圆，列不等式求解，即可根据集合间的关系求解.
【详解】若曲线为椭圆，则，解得或，
由于或是的真子集，
故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件
变式1-2（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得曲线为圆
B．若曲线为椭圆，则的取值范围是
C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值
【答案】AC
【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.
【详解】对于A：曲线C为圆，即 ，正确；
对于B：C为椭圆，错误；
对于C：C为焦点在轴上的椭圆，正确；
对于D：C是椭圆，此时焦距，不是定值，错误.
故选：AC
变式1-3 （25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可.
【详解】将方程化为标准形式为.
当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立，
若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立，
因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
类型二、由几何关系求椭圆的标准方程
典例2 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程.
【详解】设动点的坐标为，且，，为原点，
因为，所以可得，
即，
可得，
可得，
令，可得，
可得，所以，
可得，即，
整理得，即动点的轨迹方程为.
题型模版
1.特征：单独或组合给出长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线、过定点等几何条件；未指明焦点在x轴还是y轴，求椭圆标准方程
2.方法：优先判断焦点位置，能确定焦点则直接设对应标准方程
焦点x轴：
焦点y轴：
焦点不确定：设统一形式，避免两次分类
根据条件列式，牢记恒等式、
联立方程组解出，代入方程
补充结论：长轴顶点、短轴顶点、焦点；越大椭圆越扁，越小越接近圆
变式2-1（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.
【答案】
【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程.
【详解】设，则，。
因为，所以。
根据椭圆的定义可得，得，
因此，。
在中，；
在中，，，，
由，得，
对用余弦定理：
，
对用余弦定理：，
所以化简得：，
又椭圆中，
所以，即。
因此椭圆的方程为
变式2-2（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应用椭圆的图形特征结合椭圆定义及，计算求出参数得出椭圆方程.
【详解】如图，因轴，为线段的中点，，B为线段的中点，
在中，，设，则，.
因为的面积为，所以，解得（负值已舍去），
所以，，，，
所以，则C的方程为，
故选:C.
变式2-3（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求得，由得， ，然后由点到直线的距离为列式求得，即可得解.
【详解】由题意，因为，
所以，所以，又，所以，
所以，化简得，所以，
直线方程即，因为点到直线的距离为，
所以，所以，所以，所以椭圆的方程为.
故选：C
题型三、定义法求椭圆的轨迹方程
典例3 （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为8．
依题意知：，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，，所求点的轨迹方程为．
题型模版
1.特征：动点满足到两个定点的距离之和为定值，题干出现常数；需要先判定轨迹是不是椭圆；陷阱：定值等于轨迹是线段，定值小于无轨迹
2.方法：提取定点，算出两焦点间距，距离和
判定：只有满足轨迹才是椭圆；不满足直接写对应轨迹（线段/不存在）
计算，看焦点在坐标轴上的位置写出标准方程
补充约束：若题目有限制（如动点不能和焦点共线、不取端点），额外标注范围
补充结论：椭圆第一定义：平面内动点到两定点距离之和为定值
变式3-1（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为，半径为，
圆，即的圆心，半径；
圆，即的圆心，半径，
而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切，
得，整理得，
因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，
长半轴长，半焦距，短半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
变式3-2（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程.
【详解】依题意得，圆，圆心，半径为；
圆，化为标准方程为，圆心，半径为；
设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，
因此，，
由此可得；
因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆；
所以，椭圆的短半轴长，
因此动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A.
变式3-3（25-26高二上·吉林·阶段检测）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案.
【详解】由动点满足方程，
根据椭圆的定义，可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，即，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：C
题型四、相关点法求椭圆的轨迹方程（代入法）
典例4 （25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案.
【详解】由题，设，
因为，所以，
因为，，
所以，即，代入得.
所以点的轨迹方程为.
故选：D
题型模版
1.特征：有一个主动点在已知椭圆上，从动点跟着运动；存在平移、对称、伸缩、中点、分点等坐标变换关系，求的轨迹；关键词：是中点、是关于某点对称点
2.方法：设从动点，主动点，写出与关系式
例：中点：；对称：
反解，用表示
把代入满足的已知椭圆方程
化简整理得到的轨迹；同步传递范围：在椭圆上，，转化成取值范围
补充结论：变换是线性变换，椭圆相关点轨迹一般仍是椭圆（特殊退化为线段）
变式4-1（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得.
【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点，
设，则，由中点坐标公式得，
因为点在曲线，所以，
即点的轨迹方程为.
故选：D
变式4-2（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程.
【详解】设点，由，得，
则，而线段长为3，即，因此，
所以动点的轨迹方程为.
故选：A
变式4-3（25-26高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且 ，则动点的轨迹为（ ）
A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
【答案】C
【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆.
【详解】设，则，
所以.
因为，所以
代入，得，即，
则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.
故选：C.
题型五、直译法求椭圆的标准方程
典例5 （24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（ ）
A．的方程为 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先求出轨迹方程判断A，根据距离公式可判断B，根据反例判断C，根据二次函数的性质判断D.
【详解】设（），由斜率公式得，，
所以，整理得（，）.
因为轨迹不包含，两点，
所以的方程不能写成的形式，A 错误；
由的方程知其上顶点为，所以，B 正确；
当 时，与重合. 直线 的斜率分别为 ，
则，而为三角形内角，故.
而，C错误；
，
因为 在椭圆 上，所以 ，
故，
而或，所以即，D 正确.
题型模版
1.特征：题干直接用文字描述动点满足的等量关系，如到定点距离与到定直线距离之比为定值、距离的倍数关系、距离平方和条件，直接翻译列式求轨迹
2.方法：设动点，把文字条件翻译成含的等式
含根号（距离式）：移项、平方去根号，逐步化简
整理成形式
核验：舍去使原式无意义的点，标注定义域
补充结论：椭圆第二定义：动点到定点（焦点）距离/到对应准线距离，准线方程：焦点x轴；焦点y轴
变式5-1（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________．
【答案】
【详解】设，，，其中；
由题意得，，所以，，
因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号，
所以．
因为，所以，
即点的轨迹方程为．
变式5-2（25-26高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程；
【答案】
【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得.
【详解】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，
所以，整理得．即，
则M的轨迹方程为；
变式5-3已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；
【答案】曲线的方程为
【分析】首先设点为轨迹上任意一点，再根据斜率公式求轨迹方程.
【详解】设点为轨迹上任意一点，由题意得，则，，
，故点的轨迹方程为，
所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程 为.
题型六、交轨法求椭圆的标准方程
典例6 （24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为_______．（注：可不用标注范围）
【答案】
【分析】根据给定条件，用表示点的坐标，再求出直线方程，并联立消去参数即得曲线方程.
【详解】依题意，由，得，
则，当时，直线，
直线，联立两条直线的方程消去得，
当时，直线与交于点，即点在曲线上，而满足方程，
由点在线段上，点在轴的非负半轴上，得，
所以所求曲线方程为为.
故答案为：
题型模版
1.特征：两条动直线共享同一个参数（斜率、角度、参数），两条直线都过定点，求两条动直线交点的轨迹方程
2.方法：分别写出两条动直线的方程，保留公共参数
联立两个直线方程构成方程组
代数消参：加减消元、代入消元，消去公共参数
整理方程，检验轨迹是否为椭圆，剔除取不到的点（参数取不到对应值的位置）
补充结论：交轨法适合双动直线模型，消参后轨迹不一定是椭圆，要根据方程形式判断
变式6-1舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值.
【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
其方程为．
设点，，，
依题意，，且，
所以，且，
即，且．
由于t不恒等于0，于是，故，，
代入，可得，
故曲线的方程为．设上的点，
则，
则切线长为，故切线长的最大值为．
故答案为：.
变式6-2已知椭圆的左、右焦点是、，、是椭圆上两点，且在轴同侧. 若， 为与的交点. 设，直线，则__（用表示），的轨迹方程为_________（用表示）．
【答案】
【分析】延长交椭圆于，分别设A，D的坐标，由，得到点B与点D的关系，设，与椭圆联立，表示直线，，两式相乘和取倒数相加，结合韦达定理求解.
【详解】如图，延长交椭圆于．
设，，，，由，得，，
由题意可知，的斜率不为0，可设，
则①，②，
，
．
联立，得．
，，
，
由①②得，，
，
又为与的交点，
所以，
，
整理得：．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和椭圆的对称性，得到点D与点B的关系，直线和直线的方程建立联系，应用韦达定理而得解.
变式6-3（24-25高二下·湖南长沙·阶段检测）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆 B．为部分线段
C．为部分抛物线 D．为部分椭圆
【答案】D
【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解.
【详解】如图，
由题意不妨设，则，
而，即，
又，
所以，即，
因为，所以，即为部分椭圆.
故选：D.
题型七、椭圆上的点到焦点的距离最值（焦半径最值）
典例7 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可.
【详解】设点，则根据题意可得：，
整理得：，
则，
因为，所以当时，，
故选：C
题型模版
1.特征：给定椭圆，求椭圆上动点到一个焦点（或）距离的最大值、最小值；可以单独求最值，也会结合范围考查
2.方法：焦半径公式（焦点在x轴）
（左焦半径），（右焦半径），
单调性：，随增大而增大，随增大而减小
结论直接记：
到左焦点距离：
到右焦点距离：
取等位置：最值都在长轴左右端点取得
焦点在y轴版本：，最值，在上下顶点取到
变式7-1（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由椭圆方程得，由椭圆的定义得，再根据，计算即可求解.
【详解】由题意可得椭圆，
所以，
，
因为，即，
所以，即.
故答案为：.
变式7-2（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________．
【答案】
【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解.
【详解】由题可知，，，
令，，则，
因为，所以，即，
所以，，
当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为，
即的取值范围是.
故答案为：
变式7-3（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由为的中点可得 ，由在椭圆上可知，由此得到的取值范围.
【详解】：的圆心为，半径为1.
椭圆中，，，，
所以，，所以圆心为椭圆的右焦点.
由题意，是圆的直径，所以为的中点，
且，所以.
如图，连接，可得
.
因为点为椭圆上任意一点，
所以，.
由，得.
故选：B.
题型八、椭圆上的点到焦点和定点的距离和差最值
典例8 （2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解．
【详解】依题意可得，，
将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内，
由椭圆的定义可知，即，
所以，
所以的最小值为．
题型模版
1.特征：是椭圆上动点，是椭圆一个焦点，是平面内另外一个定点；求或者的最值；定点可在椭圆内、椭圆上、椭圆外
2.方法：第一步：用椭圆定义转化焦半径：，换掉其中一个焦半径
例：求，转化为最值
距离和：利用三角形两边之和大于第三边，三点共线时取最值
距离差：利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取最值
区分定点位置：定点在椭圆内部，一般求最小值；定点在椭圆外部，同时存在最大、最小
补充结论：核心转化口诀：遇焦半径，先换2a，化两定点模型，共线取最值
变式8-1（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
【答案】BD
【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可.
【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点，
由椭圆的定义知，，如图，
由Q为圆M上的动点，得，即，
则，
即，故的最小值为7，最大值为9.
变式8-2（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________
【答案】
【分析】利用椭圆定义将转化为∣，再结合圆的性质，最后根据两点之间线段最短，用求出的最小值，进而得到原式的最小值.
【详解】由椭圆，得，故，，所以左右焦点为.
对椭圆上任意点，，即，
因此.
将圆的参数方程化为普通方程：，得圆心，半径，
因为在圆上，所以对任意点，有（当且仅当在线段上时取等号）.
所以，
根据两点之间线段最短，，
因为，
因此，即最小值为.
变式8-3（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果.
【分析】对于椭圆，，，则，
设是椭圆的右焦点，则、.
根据椭圆的定义得，所以.
所以.
因为，所以的最大值为，
当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立，
故的最大值为.
故选：C.
题型九、焦点三角形的面积问题
典例9 （26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________；
【答案】
【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解.
【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形，
因此，即，
又，因此，故，
又四边形的面积为，因此，故，即.
题型模版
1.特征：为椭圆上异于长轴端点的点，为焦点三角形；已知顶角、、点纵坐标，求三角形面积；已知面积反求角度、点坐标
2.方法： 已知顶角：直接套结论（高频速算）
已知纵坐标：底为焦距，高，
已知两条焦半径：，搭配余弦定理
，结合联立
补充结论：在短轴顶点时达到最大值；最大值为（短顶点处）
变式9-1（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___.
【答案】
【详解】由椭圆，得，可得，
即，则，
设，则有，，
，
，
变式9-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积.
【详解】由椭圆：可知：，
由余弦定理得：，
代入得：，
所以三角形面积为：.
变式9-3（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可.
【详解】由题意知，，.
因为，所以.
又，即，
所以.
所以.
题型十、焦点三角形的内切圆相关结论
典例10 （26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________．
【答案】 /
【分析】设内切圆与三个切点分别为、、，设点，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，可求出、的值，结合切线长定理可求出的值，结合等面积法可求出内切圆的半径，可得出的值，再结合斜率公式求解即可.
【详解】如图，设内切圆与三个切点分别为、、，
在椭圆中，，，则，
故其焦点为、，
由椭圆的定义可得，，
将点的坐标代入椭圆方程得，可得，
所以，，
由切线长定理可得，，，
，
又因为，
故，设点，由圆的几何性质可得，则，解得，
，
设的内切圆半径为，则
，解得，故，
，，故.
题型模版
1.特征：焦点三角形的内切圆，求内切圆半径、圆心坐标、切点横坐标；经常结合面积、周长一起考查
2.方法：等面积法万能公式：，是三角形周长
焦点三角形周长固定：，代入得
切点结论（焦点在x轴）：内切圆与边的切点横坐标等于；更常用：切点到原点距离，固定结论：内切圆在上切点为椭圆对应准线与x轴垂足同侧点
内心（内切圆圆心）：横坐标和切点横坐标相同，纵坐标和内切圆半径相等，
内心在角平分线上，满足角平分线性质，可用于比例计算
补充结论：到x轴距离越大，面积越大，内切圆半径越大；在短轴顶点时内切圆半径最大
变式10-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标.
【详解】由题知，，
所以.
设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程），
所以，得.
故选：B
变式10-2（24-25高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 _________
【答案】
【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值．
【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得，
所以的面积．
设，则，
在中，由余弦定理得，
得，
即．
由，解得，
所以，
所以．
故答案为：
变式10-3（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且_____________.
【答案】/
【分析】连接，则由角平分线定理得，再结合等比性质和椭圆的定义可求得结果.
【详解】如图，连接，在和中，
因为为的内心，平分，平分，
因为，
所以利用角平分线定理可得，
所以由比例的等比性质可得，得，
因为，所以，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆定义的应用，考查解平分线定理的应用，解题的关键是根据题意利用角平分线定理得，考查数形结合的思想，属于较难题.
题型十一、焦点三角形综合问题
典例11 （2027高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________．
【答案】 / /
【分析】解法1：依托椭圆定义与余弦定理处理焦点三角形，结合向量中线性质可同步求解夹角与点到原点的距离；解法2：坐标法的核心是将几何条件代数化，代入椭圆方程消元后即可解出点的坐标特征量；解法3：焦半径公式能直接建立横坐标与焦点距离的关系，是简化椭圆焦点类运算的常用技巧.
【详解】解法1：在中，由及余弦定理，得．
，
，
则．
解法2：设点的坐标为，不妨令，由题知，
则，将代入得，同理可得．
所以，解得，则，所以．
解法3：设，由椭圆方程得，离心率，由第二定义以及焦半径公式可得，
可得，所以．
题型模版
1.特征：焦点三角形综合角度范围、离心率范围、边长最值、三角函数、周长最值多条件；经常压轴小题，求范围、范围
2.方法：固定第一步：写下定义式，设，即
对顶角用余弦定理：，把代入化简
得到与关系式，结合基本不等式求角度/离心率边界
离心率约束：算出范围后，必须结合取舍；角度范围：，是短轴顶点处顶角
补充结论：越大，离心率越大；已知，可反推离心率下界
变式11-1（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（ ）
A．的周长为16 B．
C． D．直线的斜率为
【答案】AC
【详解】由题可知，∴，，
∴，的周长为，A选项正确；
∵，∴，∴，B选项错误；
，∴，C选项正确；
，
∴，
∴斜率，D选项错误.
变式11-2（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（ ）
A．的最大值为4
B．不存在点，使得
C．若，则的面积为
D．使得为等腰三角形的点共有四个
【答案】AB
【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D.
【详解】已知椭圆 ，其中 ，，，
离心率 ，，点 在椭圆上，
设，，则 ，
焦距 ，
对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号，
所以的最大值 4，故 A正确；
对于B： 在 中，由余弦定理得：
代入得 ，即 ，
当 时，，则 ，
由选项A知：，故不可能等于 8，
因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确；
对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ，
三角形面积 ，故 C 错误；
对于D： 等腰三角形有三种情况：
（1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求；
（2）当时，
设 ，由距离公式：
平方得：
由点 在椭圆上，得，
代入 (4)：
化简得：，
解得：
因为 ，所以 ，
代入椭圆中得，
所以 ，共有两个点符合要求；
（3）当时，
，
平方得：，
代入椭圆并化简：
解得：
因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ，
所以 ，共有两个点符合要求，
综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误.
故选：AB
变式11-3（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
【答案】ACD
【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误.
【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长，
半焦距，故，
对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大，
此时面积为，故A正确；
对于B，若的平分线必过椭圆的中心，
因为，则此时为等腰三角形，故，
故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心，
故B错误；
对于C，因为，故，
由余弦定理可得，
故，故，
所以，故，故C正确；
对于D，设，则，
故，
所以 ，
而，故，
所以即，故，
所以，因为，故符号该不等式，
故椭圆C上存在点P，使得，故D正确；
故选：ACD.
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6
B．面积的最大值为
C．的取值范围为
D．的最小值为
【答案】D
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可.
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，
则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D.
2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值.
【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为.
故选：D
3．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【详解】由椭圆的定义可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为16.
4．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围.
【详解】设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为，
令，
要存在点使得，则的最大值必须大于，
由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于，
其对称轴必须在的右侧，
所以，解得，
故选：A
5．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】C
【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值.
【详解】设椭圆上的点，而，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
6．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设椭圆的上、下焦点分别为，由椭圆的定义，求得，根据题意，转化为，结合圆的性质，得到，进而求得的最大值，得到答案.
【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，
又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且，
根据椭圆的定义，可得，则，
所以，
要使得最大，则最小.
因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，
所以，
当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
7．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据椭圆的定义得到，，再设外接圆的半径为,内切圆的半径为，从而根据题意得到，再利用内切圆法得到，再根据正弦定理得到，从而结合三角形的面积公式得到，从而根据余弦定理得到，从而根据即可求出的值，进而即可求出的面积
【详解】由椭圆，则由椭圆的定义可知，且，
设外接圆的半径为,内切圆的半径为，则，得，
所以，
在中，由正弦定理有，
即，即，
所以，即，
在中，由余弦定理有，
又，即，化简得，解得，
所以的面积为．
8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设椭圆 的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、两点间距离公式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
由椭圆的定义，，
，
因为，又因为斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，
所以点是椭圆的上顶点，且点在第三象限，设坐标为，
由余弦定理可知：
，
，
所以，
因此椭圆的方程为，
因为点在该椭圆上，所以，
因为，，
所以，
，代入中，
得，
解得，或舍去，
把代入中，得，或舍去，
所以点的坐标为.
故选：D
二、多选题
9．（24-25高三上·河南·期中）关于，的方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
D．若，，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断.
【详解】对于A，当时，，，
方程表示椭圆，其焦点在轴上，A正确；
对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误；
对于C，当时，，，
方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确；
对于D，，，方程表示两条直线，D正确.
故选：ACD
10．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线
B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
C．平面内满足的动点P的轨迹为圆
D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点）
【答案】ACD
【分析】结合线段垂直平分线、椭圆、圆的定义及轨迹方程求解方法逐一验证选项即可.
【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确；
选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误；
选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确；
选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确.
11．（25-26高二上·陕西汉中·期中）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（ ）
A．
B．的坐标为
C．延长交于，则
D．内心的坐标为
【答案】ABD
【分析】根据题意，得到，且，结合的面积公式，可判定A正确；设，由，列出方程，求得，可得判定B正确；设的内切圆的圆心为，半径为 ，结合，求得，得到圆心的坐标，再由直线的方程，求得，可判定C不正确，D正确.
【详解】由椭圆，可得，可得，
所以，
对于A，如图（1）所示，因为为等腰三角形，且在第一象限，则，
又由椭圆的定义，可得，所以，
取的中点，连接，则，且，
所以的面积为，所以A正确；
对于B，设，其中，
由，可得，即，
即，所以，
将代入椭圆的方程，可得，因为，可得，
所以点的坐标为，所以B正确；
对于C，如图（2）所示，设的内切圆与的切点分别为，
可得，
设的内切圆的圆心为，半径为
因为，即，解得，
又因为，解得，所以，
则，所以直线的方程为，
令，可得，解得，即，
所以，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
12．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．射线与椭圆交于点，则的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形
D．直线，的斜率之积为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的性质计算判断AB，根据直角顶点的位置分类讨论可判断C，结合直线的斜率公式计算可判断D.
【详解】对于A，椭圆，，
根据椭圆的性质，的取值范围为，
点异于长轴端点，，所以的取值范围为，A正确.
对于B，根据焦点弦中通径最短可得，的最小值为，B错误.
对于C，当轴时，，此时为直角.
当轴时，，此时为直角.
当，即时，设，由，
，，
因为，无解，
综上可知，椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形，C正确.
对于D，设，，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是__________，其轨迹方程是__________.
【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆；
【分析】利用椭圆的定义判断即可．
【详解】设，
因为表示点到的距离，表示点到的距离，
又动点满足，
又，即，
动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆．
得，所以椭圆的标准方程为.
故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆；
14．（专项练—解析几何2）已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是______.
【答案】
【分析】利用两圆相切可得到，再利用椭圆的定义可得到点的轨迹.
【详解】设圆的半径为，则根据题意，得，
于是，
由椭圆的定义可知：点的轨迹为满足的椭圆，
因此点的轨迹方程为．
故答案为：
15．（2025·江西新余·模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为________________．
【答案】
【分析】根据椭圆的特点及定义求解即可.
【详解】由题意，轴，且，则，
由椭圆的定义知，，则，
在中，，
则，所以，
所以椭圆E的方程为．
故答案为：.
16．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______．
【答案】
【详解】设点，的坐标分别为，，
因为在已知的椭圆方程中，，所以，
所以可知椭圆两焦点为，．
因为存在，所以．
由三角形重心坐标公式得，即；
因为，所以．
将点代入已知椭圆方程，得，
即所求的重心的轨迹方程为．
17．（25-26高二上·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________．
【答案】
【分析】设圆M的半径为r，求出圆的圆心和半径，根据题意，可得，，即可得，根据椭圆的定义，可得M的轨迹方程，分析可得当M为短轴端点时，的面积最大，计算即可得答案.
【详解】设圆M的半径为r，圆，圆心为，半径为2，
圆，圆心为，半径为10，
因为动圆与圆外切，所以，
因为动圆与圆内切，所以，
所以，
所以点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以，则，则方程为，
当为短轴端点时，的面积最大，
且最大值.
故答案为：
18．（第14讲动点求轨迹立足五步走）在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件：
①是的重心；
②；
③．
则的另一个顶点的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】点的运动轨迹和点，相关，通过点，需要满足的关系式来求点的轨迹方程．
【详解】设点，由于是的重心，
则，由已知条件，可知点在轴上，
由于，可得，又因为，
代入坐标可得，化简得，
由于，，三点不共线，所以点的轨迹方程为．
故答案为：.
19．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，过点的直线交C于点A，B，且的周长为8．则C的标准方程为________．
【答案】
【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长为8，所以
由椭圆的定义可知：
所以，
由题意可得：，即，解得
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为：．
故答案为：
20．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为________．
【答案】
【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质和椭圆的定义，利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的边长关系，求出只，即得椭圆标准方程.
【详解】
如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则，
在中，因，且由，可知点B是的中点，
则得，且，
因为，平分，故，
故为等腰直角三角形，，
由题意知，则，即，
根据椭圆的定义可得，
联立，解得，
在直角中，即，
化简得，又因，两者联立解得，
故椭圆标准方程为.
故答案为：.
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题10 椭圆的标准方程
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、由椭圆方程求参数范围
题型二、由几何关系求椭圆的标准方程
题型三、定义法求椭圆的轨迹方程
题型四、相关点法求椭圆的轨迹方程
题型五、直译法求椭圆的标准方程
题型六、交轨法求椭圆的标准方程
题型七、椭圆上的点到焦点的距离最值
题型八、椭圆上的点到焦点和定点的距离和差
题型九、焦点三角形的面积问题
题型十、焦点三角形的中的内切圆相关结论
题型十一、焦点三角形的综合问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
椭圆标准方程相关问题是高中圆锥曲线核心重难点，所有题型均围绕椭圆定义、关系、方程形式、几何性质四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是椭圆标准方程中，二是焦点位置不确定时必须分类讨论，所有参数结果最终均需合规检验
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、由椭圆方程求参数范围
典例1 （25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
题型模版
1.特征：
给出含参数的二元二次方程（）、形式；题干表述为"方程表示椭圆""方程表示焦点在x轴/y轴上的椭圆"，求参数取值范围；易错陷阱：容易忽略，误把圆当成椭圆
2.方法：
等式两边同除以常数项，化为标准形式
方程表示椭圆：两个分母同时大于0，且两个分母不相等
焦点在x轴：；焦点在y轴：
解不等式组得到参数范围，收尾检验，排除圆、双曲线、无轨迹情况
变式1-1（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1-2（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得曲线为圆
B．若曲线为椭圆，则的取值范围是
C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值
变式1-3 （25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
类型二、由几何关系求椭圆的标准方程
典例2 （26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型模版
1.特征：单独或组合给出长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线、过定点等几何条件；未指明焦点在x轴还是y轴，求椭圆标准方程
2.方法：优先判断焦点位置，能确定焦点则直接设对应标准方程
焦点x轴：
焦点y轴：
焦点不确定：设统一形式，避免两次分类
根据条件列式，牢记恒等式、
联立方程组解出，代入方程
补充结论：长轴顶点、短轴顶点、焦点；越大椭圆越扁，越小越接近圆
变式2-1（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______.
变式2-2（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若轴，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2-3（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，过原点作于点，点到直线的距离为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三、定义法求椭圆的轨迹方程
典例3 （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型模版
1.特征：动点满足到两个定点的距离之和为定值，题干出现常数；需要先判定轨迹是不是椭圆；陷阱：定值等于轨迹是线段，定值小于无轨迹
2.方法：提取定点，算出两焦点间距，距离和
判定：只有满足轨迹才是椭圆；不满足直接写对应轨迹（线段/不存在）
计算，看焦点在坐标轴上的位置写出标准方程
补充约束：若题目有限制（如动点不能和焦点共线、不取端点），额外标注范围
补充结论：椭圆第一定义：平面内动点到两定点距离之和为定值
变式3-1（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3-3（25-26高二上·吉林·阶段检测）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型四、相关点法求椭圆的轨迹方程（代入法）
典例4 （25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型模版
1.特征：有一个主动点在已知椭圆上，从动点跟着运动；存在平移、对称、伸缩、中点、分点等坐标变换关系，求的轨迹；关键词：是中点、是关于某点对称点
2.方法：设从动点，主动点，写出与关系式
例：中点：；对称：
反解，用表示
把代入满足的已知椭圆方程
化简整理得到的轨迹；同步传递范围：在椭圆上，，转化成取值范围
补充结论：变换是线性变换，椭圆相关点轨迹一般仍是椭圆（特殊退化为线段）
变式4-1（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4-2（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4-3（25-26高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且 ，则动点的轨迹为（ ）
A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
题型五、直译法求椭圆的标准方程
典例5 （24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（ ）
A．的方程为 B．
C． D．
题型模版
1.特征：题干直接用文字描述动点满足的等量关系，如到定点距离与到定直线距离之比为定值、距离的倍数关系、距离平方和条件，直接翻译列式求轨迹
2.方法：设动点，把文字条件翻译成含的等式
含根号（距离式）：移项、平方去根号，逐步化简
整理成形式
核验：舍去使原式无意义的点，标注定义域
补充结论：椭圆第二定义：动点到定点（焦点）距离/到对应准线距离，准线方程：焦点x轴；焦点y轴
变式5-1（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________．
变式5-2（25-26高三·全国·一轮复习）点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程；
变式5-3已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；
题型六、交轨法求椭圆的标准方程
典例6 （24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为_______．（注：可不用标注范围）
题型模版
1.特征：两条动直线共享同一个参数（斜率、角度、参数），两条直线都过定点，求两条动直线交点的轨迹方程
2.方法：分别写出两条动直线的方程，保留公共参数
联立两个直线方程构成方程组
代数消参：加减消元、代入消元，消去公共参数
整理方程，检验轨迹是否为椭圆，剔除取不到的点（参数取不到对应值的位置）
补充结论：交轨法适合双动直线模型，消参后轨迹不一定是椭圆，要根据方程形式判断
变式6-1舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为______．
变式6-2已知椭圆的左、右焦点是、，、是椭圆上两点，且在轴同侧. 若， 为与的交点. 设，直线，则__（用表示），的轨迹方程为_________（用表示）．
变式6-3（24-25高二下·湖南长沙·阶段检测）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆 B．为部分线段
C．为部分抛物线 D．为部分椭圆
题型七、椭圆上的点到焦点的距离最值（焦半径最值）
典例7 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
题型模版
1.特征：给定椭圆，求椭圆上动点到一个焦点（或）距离的最大值、最小值；可以单独求最值，也会结合范围考查
2.方法：焦半径公式（焦点在x轴）
（左焦半径），（右焦半径），
单调性：，随增大而增大，随增大而减小
结论直接记：
到左焦点距离：
到右焦点距离：
取等位置：最值都在长轴左右端点取得
焦点在y轴版本：，最值，在上下顶点取到
变式7-1（25-26高二上·吉林长春·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是___________．
变式7-2（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________．
变式7-3（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八、椭圆上的点到焦点和定点的距离和差最值
典例8 （2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．
题型模版
1.特征：是椭圆上动点，是椭圆一个焦点，是平面内另外一个定点；求或者的最值；定点可在椭圆内、椭圆上、椭圆外
2.方法：第一步：用椭圆定义转化焦半径：，换掉其中一个焦半径
例：求，转化为最值
距离和：利用三角形两边之和大于第三边，三点共线时取最值
距离差：利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取最值
区分定点位置：定点在椭圆内部，一般求最小值；定点在椭圆外部，同时存在最大、最小
补充结论：核心转化口诀：遇焦半径，先换2a，化两定点模型，共线取最值
变式8-1（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
变式8-2（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________
变式8-3（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型九、焦点三角形的面积问题
典例9 （26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________；
题型模版
1.特征：为椭圆上异于长轴端点的点，为焦点三角形；已知顶角、、点纵坐标，求三角形面积；已知面积反求角度、点坐标
2.方法： 已知顶角：直接套结论（高频速算）
已知纵坐标：底为焦距，高，
已知两条焦半径：，搭配余弦定理
，结合联立
补充结论：在短轴顶点时达到最大值；最大值为（短顶点处）
变式9-1（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___.
变式9-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．1
变式9-3（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型十、焦点三角形的内切圆相关结论
典例10 （26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________．
题型模版
1.特征：焦点三角形的内切圆，求内切圆半径、圆心坐标、切点横坐标；经常结合面积、周长一起考查
2.方法：等面积法万能公式：，是三角形周长
焦点三角形周长固定：，代入得
切点结论（焦点在x轴）：内切圆与边的切点横坐标等于；更常用：切点到原点距离，固定结论：内切圆在上切点为椭圆对应准线与x轴垂足同侧点
内心（内切圆圆心）：横坐标和切点横坐标相同，纵坐标和内切圆半径相等，
内心在角平分线上，满足角平分线性质，可用于比例计算
补充结论：到x轴距离越大，面积越大，内切圆半径越大；在短轴顶点时内切圆半径最大
变式10-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
变式10-2（24-25高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则 _________
变式10-3（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且_____________.
题型十一、焦点三角形综合问题
典例11 （2027高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一点，分别为左、右焦点．若，则________，________．
题型模版
1.特征：焦点三角形综合角度范围、离心率范围、边长最值、三角函数、周长最值多条件；经常压轴小题，求范围、范围
2.方法：固定第一步：写下定义式，设，即
对顶角用余弦定理：，把代入化简
得到与关系式，结合基本不等式求角度/离心率边界
离心率约束：算出范围后，必须结合取舍；角度范围：，是短轴顶点处顶角
补充结论：越大，离心率越大；已知，可反推离心率下界
变式11-1（2026·云南·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（ ）
A．的周长为16 B．
C． D．直线的斜率为
变式11-2（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（ ）
A．的最大值为4
B．不存在点，使得
C．若，则的面积为
D．使得为等腰三角形的点共有四个
变式11-3（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（24-25高二上·贵州黔西南·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6
B．面积的最大值为
C．的取值范围为
D．的最小值为
2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（ ）.
A．8 B．5 C．3 D．2
3．（25-26高二下·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
4．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（ ）
A． B．13 C． D．
6．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设椭圆 的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高三上·河南·期中）关于，的方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上
D．若，，则该方程表示两条直线
10．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线
B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
C．平面内满足的动点P的轨迹为圆
D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点）
11．（25-26高二上·陕西汉中·期中）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（ ）
A．
B．的坐标为
C．延长交于，则
D．内心的坐标为
12．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．射线与椭圆交于点，则的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形
D．直线，的斜率之积为
三、填空题
13．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是__________，其轨迹方程是__________.
14．已知动圆在圆的外部且与圆相切，同时还在圆的内部且与圆相切，则动圆的圆心的轨迹的方程是______.
15．（2025·江西新余·模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为________________．
16．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______．
17．（25-26高二上·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________．
18．在平面直角坐标系中，的两个顶点分别为，，平面内两点，同时满足下列条件：
①是的重心；
②；
③．
则的另一个顶点的轨迹方程为______．
19．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，过点的直线交C于点A，B，且的周长为8．则C的标准方程为________．
20．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为________．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
