31.4（第2课时）平面直角坐标系中的位似（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.4(第2课时) 平面直角坐标系中的位似 位似的基本模型 ☆ 位似的基本模型有哪些？你能画图说明吗？ 我们知道，在平面直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 合作探究 在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0).以原点 O 为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化. 2 4 4 6 B' −2 −4 −4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ (2，1)， B' (2，0)； A" (−2，−1)， B" (−2，0). 合作探究 △ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 2 4 6 4 6 −2 −4 −4 x y A B 2 8 10 C −2 −6 −8 −10 −6 O B' A' C' A" B" C" 如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A'(4，6)， B'(4，2)， C'(10，4)； A"(−4，−6)， B"(−4，−2)， C"(−10，−4). 用不同方法缩放图形得到的图形坐标是不同的. 思考 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 2 4 4 6 B' −2 −4 −4 x y A B A' A" B" O 2 4 6 4 6 −2 −4 −4 x y A B 2 8 10 C −2 −6 −8 −10 −6 O B' A' C' A" B" C" 归纳总结 1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为−k． 3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 ． 相似图形 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(−kx,−ky). 思路溯源 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (−2，4)， B (−2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 ：2. 2 4 6 2 −2 −4 x y A B O 由于要画的图形是三角形，因此关键是确定它的各顶点坐标.根据前面总结的规律，点A的对应点的A’坐标分为 A (−2×，4×)，即(−3，6).类似地，可以确定其他顶点的坐标. 规范解答 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′(−3，6)，B′(−3，0)，O(0，0).顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′ B′O就是要画的图形. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (−2，4)， B (−2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 ：2. 还可以画出其他三角形吗？自己试一试！ 2 4 6 2 −2 −4 x y A B O A′ B′ 规范解答 解： (法一)将□ OABC的各顶点的坐标分别乘3，得O(0，0)，A′(9，0)，B′(12，6)，C′(3，6)，依次连接点O，A′，B′，C′，则四边形OA′B′C′即为所要求的图形. 如图，在平面直角坐标系中，已知□ OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，C(1，2).以坐标原点O为位似中心，将□ OABC放大为原图形的3倍. C 4 6 −2 −4 y A B −6 O 2 12 −12 −10 −8 −6 −4 −2 10 8 6 4 2 x B′ A′ C′ 规范解答 C 4 6 −2 −4 y A B −6 O 2 12 −12 −10 −8 −6 −4 −2 10 8 6 4 2 x A″ B″ C″ (法二)将□ OABC的各顶点的坐标分别乘−3，得O(0，0)，A″(−9，0)，B″(−12，−6)，C″(−3，−6)，依次连接点O，A″，B″，C″，则四边形OA″B″C″即为所要求的图形. 如图，在平面直角坐标系中，已知□ OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，C(1，2).以坐标原点O为位似中心，将□ OABC放大为原图形的3倍. 规范解答 解：(1)将△ABC沿 y 轴正向平移 3 个单位长度后得到△A1B1C1，顶点坐标横坐标不变，纵坐标加3. 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.(1)沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；(2)关于 x 轴对称； (3)以 C 为位似中心，将△ABC 放大2倍. x y A B C O B1 A1 C1 (2)将△ABC关于 x 轴对称后得到△A2B2C2，顶点坐标横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数. B2 A2 C2 (3)以 C 为位似中心，将△ABC 放大2倍后得到△A3B3C3，△A4B4C4，当两图形在位似中心的同侧时，即得到△A3B3C3 ，当两图形在位似中心的两侧时，即得到△ A4B4C4 . B3 A3 C3 B4 A4 C4 规范解答 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(−3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. y 2 4 6 −2 −4 −6 A B C O x 2 4 6 −2 −4 −6 解：四边形OABC的顶点坐标都乘分别是O(0,0)，A′(4,0)，B′(2,4)，C′(−2,2)； 在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′， 用线段顺次连接点O ，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形. A′ B′ C′ 规范解答 y 2 4 6 −2 −4 −6 A B C O x 2 4 6 −2 −4 −6 解：四边形OABC的顶点坐标都乘 分别是O(0,0)，A(4,0)，B′′(2,4)，C′′(−2,2)；在平面直角坐标系中描出点A′′，B′′，C′′，用线段顺次连接点O ，A′′，B′′，C′′，O，则四边形OA′′B′′C′′就是符合要求的四边形. A′ B′ C′ 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(−3,3).以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. 规范解答 如图，在平面直角坐标系中， 与 的相似比为2:5，点A是位似中心，已知点，  点 ， ，求点A’的坐标．(结果用含a,b的式子表示) D D’ 解：如图，过点C,C’分别作x轴的垂线CD,C’D’，垂足分别为D,D’， ∵ 与 的相似比为2:5，点A是位似中心， ∴ ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 本课总结 基本思路 平面直角坐标系中的位似 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(−kx,−ky). 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 图形画法 坐标规律 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的． 规范解答 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点O为位似中心， 相似比为，把 缩小，则点B的对应点B’的坐标是(     ) A． B． C． 或 D． 或 解：∵ 以原点O为位似中心，相似比为，把 缩小． ∴ 点 的对应点B’的坐标为 或 ． 即 或 ． 规范解答 在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为 ，以点O为位似中心，在原点的另一侧作 ，且 与△OAB的位似比为1:2，则点B的对应点B’的坐标是(     ) A． B． C． D． 解：∵位似中心为原点， 与△OAB的位似比为1:2，且对应点在原点另一侧， ∴点B的对应点B’的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘 ， ∵点的坐标为 ， ∴B’的横坐标为 ，纵坐标为 ， 即点B’的坐标为 ． 规范解答 如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点O． 若点 的对应点为 ，则点 的对应点B’的坐标为(    ) A． B． C． D． 解：∵ 与 是位似图形，位似中心为点O， 且 的对应点为 ， ∴位似比为2， ∵点B的坐标为 ， ∴点B’的坐标为 ，即 . 规范解答 如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，则它们位似中心的坐标为(    ) A． B． C． D． G 解：如图，连接CF，AD交于点G， ∴点G为它们的位似中心，坐标为 ． 规范解答 如图，在 中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作 的位似图形 ．已知点 的对应点为 ，则点 的对应点D的坐标为______． 解：∵点O为位似中心，点 的对应点为 ， ∴ 与 的位似比为2:1， ∵点B的坐标为 ， ∴点B的对应点D的坐标为 ． 规范解答 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). (1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出 △ABC的位似图形 △A′B′C′；(2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. 解：(1)所求作图形如图所示.(2)△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4). x y A B C M O A′ B′ C′ 规范解答 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 ．以原点O为位似中心，在第四象限画出 的位似图形 使 与 的相似比为2(点A,B,C的对应点分别为点A’,B’,C’)，并写出点A’的坐标． B’ A’ C’ 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ． (1)以原点O为位似中心，在图中画出 的位似图形 ，使与的相似比为1:3，点A’,B’,C’分别与点A,B,C对应，且点A’在第一象限； (2)在(1)的条件下， 与 的面积比为 ． 规范解答 1:9 B’ A’ C’