31.4.2平面直角坐标系中的位似（课件）2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 人教版数学九年级 31.4.2 平面直角坐标系中的位似 专项练习（约1500字） ## 知识要点速记 ### 1. 核心知识点 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以**原点为位似中心**，相似比为$k$，原图形上点的坐标为$((x,y))$，那么位似图形对应点的坐标为$\boldsymbol{(\boldsymbol{((kx,ky))})}$或$\boldsymbol{(-kx,-ky)}$。 - $(\boldsymbol{((kx,ky))})$：位似图形与原图在原点**同侧**； - $(-kx,-ky)$：位似图形与原图在原点**异侧**。 ### 2. 规律总结 1. $(k>1)$：图形**放大**为原来的$k$倍； 2. $(0<k<1)$：图形**缩小**为原来的$k$倍； 3. 位似图形依然满足相似图形性质：周长比$(=)$相似比$k$；面积比$(=)k^2$； 4. 注意：上面坐标规律**只适用于位似中心在原点**。若位似中心不是原点，不能直接用坐标乘$k$。 ### 3. 解题步骤 ① 看清位似中心是否是原点； ② 确定相似比$k$； ③ 分两种情况写出对应点坐标（同侧、异侧）； ④ 根据坐标描点，连线画出位似图形； ⑤ 求周长、面积时，记得面积比是相似比的平方。 ## 一、选择题 1. 在平面直角坐标系中，以原点$O$为位似中心，相似比为$\dfrac13$，将点$A(6,-9)$缩小，则点$A$的对应点坐标为（） A.$(2,-3)$ B.$(-2,3)$ C.$(2,-3)$或$(-2,3)$ D.$(18,-27)$ > > 答案：C > 解析：原点为位似中心，坐标乘$k$或$-k$。$6\times\dfrac13(=)2,-9\times\dfrac13(=)-3$；$6\times\left(-\dfrac13\right)(=)-2,-9\times\left(-\dfrac13\right)(=)3$。 2. △ABC以原点为位似中心放大得到△A'B'C'，若点$(B(2,3))$对应点$B'(4,6)$，则△ABC与△A'B'C'面积之比为（） A.$(1:2)$ B.$(2:1)$ C.$(1:4)$ D.$(4:1)$ > > 答案：C > 解析：相似比$k(=)\dfrac{4}{2}(=)2$，原图与新图相似比$(1:2)$，面积比$(1:4)$。 3. 下列说法正确的是（） A. 只要坐标同乘一个数，得到的图形一定和原图位似 B. 位似中心不是原点时，对应点坐标也可以直接乘以相似比 C. 原点位似，相似比为负数，代表图形在位似中心另一侧 D. 位似图形周长比等于相似比的平方 > > 答案：C > 解析：A必须所有点同乘同一个常数才成立；B位似中心非原点不能直接乘；D周长比等于相似比。 ## 二、填空题 4. 以原点为位似中心，相似比为$2$，点$P(-3,4)$的对应点坐标为__________。 > > 答案：$(-6,8)$或$(6,-8)$ 5. △ABC与△A₁B₁C₁以原点为位似中心，相似比为$(1:4)$，△ABC周长为$5$，则△A₁B₁C₁周长为____。 > > 答案：$20$，周长比等于相似比。 6. 已知点$(M(4,6))$，以原点为位似中心，缩小到原来的$\dfrac12$，且位似图形在第三象限，则对应点坐标为________。 > > 答案：$(-2,-3)$ ## 三、解答题 7. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标：$(A(2,1))$，$(B(4,3))$，$(C(1,4))$。以原点$O$为位似中心，相似比为$2$，在第一象限作△ABC的位似图形△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标。 > > 解：相似比$k(=)2$，在第一象限，坐标乘以2。 > $A_1(2\times2,1\times2)(=)(4,2)$ > $B_1(4\times2,3\times2)(=)(8,6)$ > $C_1(1\times2,4\times2)(=)(2,8)$ > 依次连接$A_1,B_1,C_1$，△$A_1B_1C_1$即为所求。 > 拓展：若在第三象限画位似图形，则坐标$(-4,-2),(-8,-6),(-2,-8)$。 8. 已知△OAB，顶点$(O(0,0))$，$(A(3,0))$，$(B(2,4))$。以原点为位似中心，相似比$\dfrac13$得到△OA'B'。 （1）写出A'、B'坐标； （2）求△OAB与△OA'B'的面积之比。 > > 解： > （1）相似比$\dfrac13$，对应点坐标： > $A'(1,0)$或$(-1,0)$；$B'\left(\dfrac23,\dfrac43\right)$或$\left(-\dfrac23,-\dfrac43\right)$。 > （2）面积比等于相似比平方：$\left(\dfrac13\right)^2(=)\dfrac19$。 > 答：面积之比为$(9:1)$（原图:新图）。 9. 四边形ABCD顶点坐标：$(A(1,1))$，$(B(2,1))$，$(C(2,2))$，$(D(1,2))$。以原点为位似中心，相似比为3，得到四边形A'B'C'D'。若四边形ABCD面积为1，求四边形A'B'C'D'面积。 > > 解：相似比$k(=)3$，面积比$(=)k^2(=)9$。 > $S_{A'B'C'D'}(=)1\times9(=)9$。 > 答：四边形A'B'C'D'面积为9。 10. 综合题：△ABC顶点坐标$A(-2,4)$，$B(-3,1)$，$C(-1,1)$，以原点为位似中心，相似比为$\dfrac12$，得到△A₁B₁C₁。 （1）写出两种情况下A₁,B₁,C₁坐标； （2）求△ABC与△A₁B₁C₁的周长之比。 > > 解： > （1）① 同侧（第二象限）：$A_1\left(-1,2\right),B_1\left(-\dfrac32,\dfrac12\right),C_1\left(-\dfrac12,\dfrac12\right)$ > ② 异侧（第四象限）：$A_1\left(1,-2\right),B_1\left(\dfrac32,-\dfrac12\right),C_1\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)$ > （2）周长比等于相似比，原图:新图$(=)(2:1)$。 > 答：周长之比为$(2:1)$。 ## 易错点总结 1. **漏解是头号丢分点**：原点为位似中心，题目没有限定象限，必须写出两组坐标（正、负两种），很多同学只写一组。 2. **适用范围限制**：坐标直接乘$k$的规则**仅限位似中心在原点**。如果位似中心是平面内其他点，不能直接套用。 3. **看清相似比顺序**：分清是原图放大到$k$倍，还是缩小为原图的$k$，顺序反，结果相反。 4. **面积平方陷阱**：周长比(=)相似比；面积比(=)相似比的平方，审题看清楚求周长还是面积。 5. **象限判断**：$(k>0)$，和原图同象限；$(k<0)$，对应点在原点对面象限。 全文约1490字，题型、排版和前面31.4.1保持一致。接下来要不要写**第31章相似单元综合测试卷**？ 人教版（新教材）数学九年级下册 31.4.2平面直角坐标系中的位似 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系 . 在平面直角坐标系中，利用图形与坐标的变换画出与已知多边形位似的多边形. 学习目标 O y x A(1,3) B(0,1) C(2,1) 新课导入 直角坐标系中的变换： 平移 轴对称 旋转 5 5 规律 位似图形在直角坐标系中又有什么规律呢？ 　　在直角坐标系中，画出线段AB，其中A(6，3)，B(6，0). 再以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小. 知识点1 在直角坐标系中画出位似图形 探索新知 O x y A(6,3) 5 B(6,0) ①画出线段AB； ②连接位似中心O； ③找 的对应点. A′ B′ B″ A″ 还有满足条件的线段吗？ 　　在直角坐标系中，△AOC 的三个顶点的坐标分别为A(4,4)，O(0,0)，C(5,0).以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大. O x y ①画出△AOC； ②连接位似中心O，找到相似比为2的对应点. A(4,4) C(5,0) 5 5 经过位似变换还可以得到其他图形吗？ 当以原点为位似中心的两个位似图形位于原点同侧时，对应点的坐标有什么变化？ 探究1 (2,1) (2,0) A′(8,8) C′(10,0) 规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点同侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是 . （kx , ky） 返回 B 举一反三 10 返回 C 举一反三 11 返回 3．[2025威海期末]在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．若对应点的坐标分别为A(1，－4)，A′(－2，8)，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　) A．1: 2 B．2: 1 C．1: 4 D．4: 1 C 举一反三 12 探究2 当以原点为位似中心的两位似图形位于原点异侧时，对应点的坐标有什么变化？ (-2,0) (-2,-1) C″(-10,0) A″(-8,-8) 规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似图形上的点的坐标是 . （-kx , -ky） 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 位似图形的坐标规律 典例精析 例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2,4）, B（-2,0）, O（0,0）.以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 . x O y -2 -4 2 2 4 6 A B 分析:由于要画的图形是三角形， 所以关键是确定它的各顶点坐标.根据前面总结的规律,点A的对应点A′的坐标为(-2× ,4× ），即(-3,6).类似地,可以确定其他顶点的坐标. x O y -2 2 2 4 6 A B 还可以得到其他图形吗？ A′(-3,6) B′(-3,0) B″ 4．[2025聊城月考]如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，－1)，点A的坐标为(3，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 (　　) A．(1，0) B．(－5，－1) C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2) D 举一反三 18 【点拨】∵在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2) ，(－1，－1) ，∴E(－1，0) ，G(0，－1) ，C(5，0) ．(1) 当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，连接AG，位似中心就是EC与AG的交点． 举一反三 ∴AG所在直线的解析式为y＝x－1．当y＝0时，x＝1，∴AG与EC的交点坐标是(1，0) ；(2) 当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，连接AE，CG，位似中心就是AE与CG的交点．设AE所在直线的解析式为y＝k′x＋b′(k′≠0) ，则 举一反三 举一反三 返回 举一反三 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1: 2，点A是位似中心，已知A(2，0)，C(t，1)，则点C′的坐标为_______________．(结果用含t的式子表示) (6－2t，－2) 举一反三 23 返回 举一反三 6．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和点A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 举一反三 25 返回 【解】(1) 如图，点D即为所求． ∵A(－1，－3) ，B(－3，1) ， ∴点D的坐标为(－2，－1) ． (2) 如图，△A1B1C1即为 所求作的三角形． 举一反三 26 返回 A 举一反三 27 B 举一反三 28 返回 举一反三 9．如图，在平面直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(－3，0)，A1(－2，1)，A2(－1，0)，A3(－2，－1)， 则顶点A2 026的坐标为__________． (673，676) 举一反三 30 (1)k＝________； (2)若线段A1B1与L总有交点， 则n的最大值为________． 12 2 举一反三 31 目前已经学了哪些变换？有什么区别与联系？ 平移、轴对称、旋转 还有 位似变换 课堂小结 位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别： 联系:位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式; 区别:平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换,而位似变换是相似(扩大或缩小)变换． 若 ①以原点为位似中心； ②新图形与原图形的相似比为k； ③原图形上的点（x，y）； 则对应的位似图形上的点的坐标为 （kx，ky）或（-kx，-ky）. 坐标系中的位似变换规律: 谢谢观看 THANKS 1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A(－4，2)的对应点C的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，1)或(2，－1) C．(－8，4) D．(－8，4)或(8，－4) 2．[2025浙江]如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为(　　) A． 　　B．4 C． 　　D．5 设AG所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0) ，则解得 解得 ∴AE所在直线的解析式为y＝x＋①． 同理，设CG所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0) ，则 解得 ∴CG所在直线的解析式为y＝x－1②． 联立①②得 解得 ∴AE与CG的交点坐标是(－5，－2) ． 综上所述，这两个正方形位似中心的坐标是(1，0) 或(－5，－2) ． 【点拨】如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点C′作C′N⊥AB′于点N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°．∵△ABC与△AB′C′的相似比为1: 2，∴＝．∵∠NAC′＝∠MAC，∴△ACM∽△AC′N．∴＝＝．∵A(2，0) ，C(t，1) ，∴OA＝2，OM＝t，CM＝1．∴AM＝t－2．∴＝＝．∴AN＝2t－4，C′N＝2． ∴ON＝AN－OA＝2t－6． ∴点C′的坐标为(6－2t，－2) ． 7．有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知M(a，b)，N(x，y)，且MN＝6，若P，Q(x，y)，则PQ的长为(　　) A．4 B．6 C．9 D．12 8．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形 ABCD的相似比是(　　) A．　　　B． C．　　　D． 【点拨】延长A′B′交BC于点E，如图．∵在正方形ABCD中，AC＝3，∴BC＝AB＝3．∵点A′的坐标为(1，2) ，∴OE＝1．∴EC＝3－1＝2．∴CE: BC＝2: 3．∵A′E∥AB，∴易得△A′CE∽△ACB．∴CA′: AC＝2: 3．∵正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，∴AA′＝CC′． ∴易得AA′＝CC′＝A′C′．∴A′C′: AC＝1: 3． ∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是． 故选B． 10．[2025唐山期末]如图，点A(3，4)在反比例函数L：y＝的图象上，点B(3，1)，以点O为位似中心，在AB的右侧将线段AB放大为原来的n倍得到线段A1B1(n>1)． $