精品解析：河北省滦州市第一中学2026-2027学年第一学期高二年级9月考试数学试题

滦州市第一中学2026-2027学年第一学期高二年级9月考试数学学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A. B. C. D. 8. 已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 10. 以下能判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，若，则实数为______. 13. 过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 16. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 17. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滦州市第一中学2026-2027学年第一学期高二年级9月考试数学学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【详解】由直线方程可知，斜率，即， 又因为倾角，所以直线的倾斜角是. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 4. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设及图知. 5. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 6. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 7. 已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 8. 已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可. 【详解】圆：中，圆心，半径 设，则，即 则 （当且仅当时等号成立） 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 10. 以下能判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，若，则实数为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接由数量积为零列方程求解. 【详解】, ，解得. 故答案为：. 13. 过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 【答案】和 【解析】 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 16. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，， ，， ， 令与的夹角为， 则， 则与的夹角为. 【小问2详解】 ，， 又与垂直，， 即，解得. 17. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆C的位置关系； （2）求该圆过点的切线方程. 【答案】（1）相交 （2）和 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值； （3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程. （2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. （3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标. 【小问1详解】 由于，，则线段与轴平行，且与圆相切. 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由于，所以， 由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 直线的方程为，假设存在符合题意的点，设， 则①， 由于的任意性，不妨设或，带入①得， ，解得或（舍去）， 所以（负根舍去）， 将带入①得， 整理得，则在圆上. 所以，这样的点是存在的，坐标为，此时. 【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $