2026-2027学年高二上学期期中考试数学模拟卷（一）(提升版)

以数释形，以理明线，深耕解析几何 2026-2027学年高二上学期期中考试数学模拟卷（一） （提升篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线表示与轴平行的直线，其斜率不存在，故倾斜角为． 2．（26-27高二上·全国·期中）已知直线:与直线:平行，则实数（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因直线：与直线：平行， 则，解得. 3．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知空间向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，在上的投影向量. 4．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）已知，，，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】点，则直线的方向向量， 而，所以点到直线的距离. 5．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以. 所以实数k的取值范围为. 6．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得： . 7．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原方程变形后分和两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求和. 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 8．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，将不等式转化为仅含的不等式；根据椭圆上点到焦点的取值范围为，将原不等式转化为，根据，，转化为的不等式，结合解不等式即可. 【详解】由点在椭圆上，得，即. ，，得恒成立. ，，即. 由，，得. ，得，即. 当，即时，不等式恒成立， 当，即时，，则，得，解得，； ，，即椭圆的离心率的取值范围为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】BD 【详解】对于A，倾斜角为、的直线，其斜率分别为1、，倾斜角增大而斜率减小，故A错误； 对于B，将直线方程化为，可得其斜率， 所以，其中且， 由正切函数在与上分别单调递增，得，故B正确； 对于C，截距式要求且，而直线在两坐标轴上的截距可以为0， 例如直线在两坐标轴上的截距均为0，不能写成上述截距式，故C错误； 对于D，将代入直线方程，得，对任意均成立， 所以直线恒过定点，故D正确． 10．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，求出点P，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，联立，结合位于第一象限，可得， 则，所以D错误. 11．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解异面直线夹角判断A，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断B，利用等体积法判断C的正误，利用空间中的距离公式计算后可判断D正误． 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 13．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 14．（26-27高二上·全国·期中）已知圆，点在直线上运动，过作圆的两条切线、（、为切点），则四边形面积的最小值为______. 【答案】 【分析】设，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接，则， 设，则， 故， 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据中点在，点在上列方程组即可求解； （2）设，根据点在和直线与直线垂直，列方程组即可求出点，求出，利用直线的点斜式方程即可求解； （3）求出，即得到的平分线所在直线的斜率为，利用直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得， 即点的坐标为． （2）设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点C的坐标为． 易知， 故边所在直线的方程为，即． （3）由（1）（2）及已知可知， 易得， 故， 从而可知的平分线所在直线的一个方向向量是， 即角平分线所在直线的斜率为1， 故角平分线所在直线的方程为，即． 16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 17．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 (1)当最大时，求直线方程； (2)当时，求直线方程； (3)求过且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据圆内最长的弦为直径，且直径过圆心，进而即可求解； （2）根据点到直线的距离公式，及勾股定理即可求解； （3）分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，结合切线到圆心的距离等于半径即可求解． 【详解】（1）依题意得圆的圆心为，半径为， 当最大时，即为直径，此时直线过圆心， 将代入直线的方程中，得，解得， 所以直线方程为． （2）结合（1）有圆的圆心为，半径为，又， 则圆心到直线距离为，即， 整理得，解得，或， 所以直线方程为或． （3）结合（1）有圆的圆心为，半径为，又直线过点， 当直线斜率不存在时，则直线方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线距离为， 又直线与圆相切，则，即， 整理得，解得，此时直线方程为． 所以过且与圆相切的直线方程为，或． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得侧面，建立空间直角坐标系，利用求解； （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为， 利用求解； （3）设，求出，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. ，故锐二面角的余弦值为. （3）若存在，设，，则， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 解得，此时，即. 19．（2026·云南昆明·模拟预测）椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用平行于轴得到上顶点纵坐标，结合离心率与椭圆的关系求出椭圆方程； （2）（i）设出过定点的直线方程，联立椭圆，借助韦达定理，把斜率表达式转化为根与系数的关系式进行化简，最终求得定值； （ii）利用（i）的定值结论推导出、的中点为定点，将面积转化为；再利用平行线与椭圆相切时距离最大的思路，设平行直线与椭圆联立，由判别式求出切线，计算点到直线距离，从而得到面积最大值. 【详解】（1）由题意知，直线平行于轴，所以， 因为离心率为，又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题意设过的直线的方程为，其中，，即 设交点，联立， 即， 所以，， 所以 ； （ii）直线的方程为，令，得，所以， 设直线与轴的交点为，同理可得，因为， 所以，的中点坐标为，△面积， 其中为点到直线的距离， 所以当过且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 可设直线的方程为，联立， 整理得，，即， 所以直线的方程为，所以直线与的距离为， 最大值为，所以△面积最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $以数释形，以理明线，深耕解析几何 2026-2027学年高二上学期期中考试数学模拟卷（一） （提升篇） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·全国·期中）已知直线:与直线:平行，则实数（　　） A． B． C．或 D． 3．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知空间向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·安徽滁州·阶段检测）已知，，，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．在轴､轴上的截距分别为的直线方程为 D．直线恒过定点 10．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 11．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 13．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 14．（26-27高二上·全国·期中）已知圆，点在直线上运动，过作圆的两条切线、（、为切点），则四边形面积的最小值为______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 17．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线：，若直线与圆：相交于，两点，则 (1)当最大时，求直线方程； (2)当时，求直线方程； (3)求过且与圆相切的直线方程． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（2026·云南昆明·模拟预测）椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $