2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（基础篇）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【解答过程】设经过、两点的直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：C. 2．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】利用向量的数量积公式计算可得答案. 【解答过程】由于 ，则 ， 所以， 解得. 故选：A. 3．（5分）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】由题意可得，所以，结合椭圆的定义可求解. 【解答过程】由椭圆，可得，所以， 因为点在椭圆上，且为椭圆的两个焦点，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 4．（5分）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【解答过程】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 5．（5分）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，根据题意求得相关点坐标，代入抛物线方程求得参数，即可求得结果. 【解答过程】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程， 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 6．（5分）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【解答过程】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 8．（5分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】过作于，连接，由线面垂直及面面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】在中，，， 所以， 过作于， 则， 所以， ， 连接， 则四边形为矩形，其中， 因为 平面，平面平面 所以平面， 又因为平面 所以， 又， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为轴垂直于平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解题思路】选项A，根据空间向量模长公式求解；选项B，根据空间向量垂直的坐标表示求解；选项C，向量夹角为钝角说明数量积小于，并且不能是平角；选项D，根据投影向量的公式求解. 【解答过程】对于选项A，若，则，解得，选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，选项B正确． 对于选项C，若为钝角，则，解得， 且两向量夹角不能是平角，即两向量不共线，则，所以且，选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：BD. 10．（6分）已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．存在实数，使得直线与圆相切 C．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 D．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 【答案】ABC 【解题思路】对于A，利用弦长公式求出弦长即可；对于B和C，利用直线与圆的位置关系，即可判断；对于D，由选项A知圆心到直线的距离，从而有，，数形结合，即可求解. 【解答过程】由题可知，圆，其圆心为，半径. 对于A：若，则直线，圆心到直线的距离， 则直线被圆截得的弦长为； 对于B：若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，故存在实数，使得直线与圆相切，故B正确； 对于C：若直线与圆相交，则有圆心到直线的距离小于半径，即， 即，得，故C正确； 对于D：由选项A知圆心到直线的距离， 又，则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为的点有个，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 【答案】ABD 【解题思路】根据点在抛物线上计算得出判断A，应用焦半径公式计算判断B，联立方程组得出韦达定理计算面积判断C，两点间距离公式结合焦半径公式计算应用基本不等式计算判断D. 【解答过程】对于A，因为，所在直线的方程为，所以，， 所以，所以，解得或， 因为，所以，即抛物线的方程为，故A正确. 对于B，抛物线的焦点坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 设直线与抛物线的交点为，， 联立直线与抛物线的方程，消去并整理，得，解得，， ，，，所以的值为3，故B正确. 对于C，由题意不妨设，，如图所示， ，所以，. 设直线的方程为， 由消去得. 所以，所以，，所以，故C错误. 对于D，由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，由为抛物线上一点，可得， 因为，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）直线：恒过定点__________． 【答案】 【解题思路】原方程整理为，解方程组得解. 【解答过程】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为：. 13．（5分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解题思路】设，结合已知求得，根据点在曲线上列方程，从而得到齐次方程，即可得. 【解答过程】设，由题，，且， 所以，则， 所以，则， 所以，即，解得， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 14．（5分）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出平行直线的方程，代入点来求得正确答案. （2）通过中点和斜率求得线段的垂直平分线的方程. 【解答过程】（1）设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. （2）线段的中点为，斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即. 16．（15分）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【解答过程】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 17．（15分）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【解题思路】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【解答过程】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【解答过程】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面； （2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 可得，所以，所以，即， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19．（17分）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【解题思路】（1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）根据双曲线定义求出，再设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. 【解答过程】（1）由双曲线经过点两点， 得，解得， 故的方程为． （2）因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． （3）由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点．      第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷（基础篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册：第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．（5分）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（5分）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 6．（5分）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 10．（6分）已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．存在实数，使得直线与圆相切 C．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 D．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 11．（6分）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为 ，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为， ，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B．若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C．若直线过点，，则的面积为 D．若，当取得最大值时，的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）直线：恒过定点__________． 13．（5分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为__________. 14．（5分）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 16．（15分）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 17．（15分）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； 19．（17分）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. (1)求的方程； (2)若的周长为，求直线的方程； (3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $