专题05实数及其综合应用10大题型64题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版
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内容正文：
专题05 实数及其综合应用
基础·固本强基
题型1 平方根与算术平方根
题型2 立方根的概念与计算
题型3 实数的分类与大小比较
题型4 实数的基本运算
提升·进阶突破
题型5 平方根、立方根的性质综合
题型6 无理数的估算及整数部分、小数部分
题型7 实数在数轴上的表示与距离
拔高·压轴破难
题型8 根式的非负性与综合求值（重点）
题型9 无理数整数部分、小数部分的综合问题（难点）
题型10 实数中的新定义与规律探究（重难点）
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基础·固本强基
题型1 平方根与算术平方根（共6小题）
【模型】若 x²=a（a≥0），则 x=±√a；其中 √a 是算术平方根（非负的那一个）。
【步骤】① 确认被开方数 a≥0；② 找出平方等于 a 的两个数；③ 区分"平方根（两个）"与"算术平方根（一个且非负）"。
【易错】√a≥0，结果不能是负的；正数有两个平方根，0 只有一个，负数没有平方根。
1．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）25的平方根是（ ）
A． B． C．5 D．
3．（26-27八年级上·广东清远·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（26-27八年级上·广东清远·期中）化简∶ ______．
5．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：________．
6．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）16的平方根是_______．
题型2 立方根的概念与计算（共6小题）
【模型】若 x³=a，则 x=三次根号a；任何实数都有唯一的立方根，符号与被开方数一致。
【步骤】① 认准开立方运算；② 直接找三次方等于 a 的数；③ 核对符号与被开方数相同。
【易错】立方根只有一个，别照搬平方根写"±"；负数能开立方（如三次根号(-8)=-2）；三次根号(-a)=-三次根号a。
7．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是1的平方根 B．是的平方根
C．是1的立方根 D．没有立方根
8．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）以下关于平方根与立方根说法正确的是（ ）．
A．一个实数有1个算术平方根，2个平方根 B．任何实数都有1个立方根
C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根
9．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）下列关于立方根的说法中，正确的是（ ）
A．负数没有立方根，所以 没有意义
B．
C．的立方根是
D．立方根与平方根一样，都有两个
10．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）8的立方根是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
11．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）5的平方根是______，的立方根是______．
12．（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）若的算术平方根为2，则的立方根是__________．
题型3 实数的分类与大小比较（共7小题）
【模型】实数 = 有理数 + 无理数；无理数是无限不循环小数。
【步骤】① 先化简每个数（根式、乘方）；② 判断是有理数还是无理数；③ 借助数轴或估算比较大小。
【易错】带根号不一定是无理数（√4=2）；π/2、√2+1 都是无理数；无限循环小数是有理数。
13．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C．2.2 D．π
14．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26七年级下·湖南常德·期末）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
16．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）比较大小：________（填“＞”“＜”或“＝”）．
17．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）用不等号填空：________．
18．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：
，，，，，，35%，，，（相邻两个之间0的个数逐次加）
正分数集合（ …．）
负有理数集合（ …．）
无理数集合（ …．）．
19．（26-27八年级上·全国·周测）把下列各数填在相应的集合中：
，，，，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
题型4 实数的基本运算（共5小题）
【模型】实数运算沿用有理数的运算顺序与符号法则，根式按"先开方"处理。
【步骤】① 先算乘方、开方；② 再乘除、后加减；③ 结果化到最简，能合并的根式才合并。
【易错】√2+√3 ≠ √5，被开方数不同的根式不能直接相加；去括号、分配时符号易错。
20．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）计算：＋－________．
21．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）计算： ＋ － ＝______．
22．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：；
23．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
24．（25-26七年级下·湖南常德·期末）计算：．
提升·进阶突破
题型5 平方根、立方根的性质综合（共6小题）
【模型】√a 要求 a≥0；三次根号a 中 a 取任意实数——"平方根限制被开方数，立方根不限制"。
【步骤】① 由 √(a-1) 有意义得 a-1≥0；② 立方根部分不限制；③ 解不等式求字母范围。
【易错】只记得"负数没有平方根"却忘了列不等式；组合式子（如 √a + 三次根号b）要分别列条件。
25．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______．
26．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是________．
27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
28．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根．
29．（21-22七年级下·四川绵阳·期中）已知：已知正数m的两个不同平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a和正数m及b的值；
(2)求的平方根．
30．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，求的算术平方根．
题型6 无理数的估算及整数部分、小数部分（共7小题）
【模型】夹逼法：找相邻的两个完全平方（立方）数，定出无理数介于哪两个整数之间。
【步骤】① 找出使 n² 夹住被开方数的相邻整数；② 得出根式的整数部分；③ 小数部分 = 原数 - 整数部分。
【易错】小数部分是"本身减整数部分"，不是去掉根号；估算不等式（2<√5<3）的方向别写反。
31．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）估计的值（ ）
A．在3和4之间 B．在5和6之间
C．在4和之间 D．在和4之间
32．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）满足的无理数x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
33．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）______．
34．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）的小数部分是______．
35．（26-27八年级上·上海闵行·阶段检测）无理数的小数部分可表示为________．
36．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式，例如：，则的整数部分为 ___________， 小数部分为 ___________ ．
37．（2026七年级上·全国·专题练习）比较大小：_______2．（填“”“”或“”）
题型7 实数在数轴上的表示与距离（共7小题）
【模型】每个实数（含无理数）都对应数轴上唯一的点；距离 = |a-b|。
【步骤】① 估算无理数的大致位置并描点；② 用 |a-b| 表示距离；③ 结合图形、比大小后去绝对值化简。
【易错】数轴上的点与实数一一对应，有理数填不满数轴；含根式的距离去绝对值时先比较大小再化简。
38．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（ ）
A． B． C． D．
39．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
40．（26-27八年级上·四川遂宁·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
41．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
42．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
43．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________．
44．（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
拔高·压轴破难
题型8 根式的非负性与综合求值（共6小题）
【模型】√a≥0 恒成立；"√(a-b)+|b-c|+(c+d)²=0 → 各非负项分别为 0"。
【步骤】① 识别"非负项之和为 0"的结构；② 令每个非负项为 0；③ 解出字母代回求值。
【易错】被开方数非负有"双重身份"（既限制字母取值、又保证整体非负），只用其一会做错；先把字母全部解出再求值。
45．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知实数，满足，则值的平方根为__________．
46．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________．
47．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）已知a、b均为实数且与互为相反数，则________．
48．（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题
(1)已知、满足，求的算术平方根；
(2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值．
49．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根．
50．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根．
题型9 无理数整数部分、小数部分的综合问题（共7小题）
【模型】先定整数部分 m，则小数部分 = 原数 - m，再把它们代入含字母的式子求值。
【步骤】① 用夹逼法写出整数部分；② 表示出小数部分；③ 代入目标式化简求值。
【易错】形如 5-√3 的整数部分要先定 √3 的范围再作减法；代回后按运算顺序化简，别漏步骤。
51．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为10的正方形的边长是，且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得边长为的正方形的面积：．
．
当时，显然，可忽略，得，得到，
．
(1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②；
(2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）；
(3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）．
52．（25-26七年级下·贵州黔东南·期末）【阅读理解】
材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分
，即：
的整数部分：
对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分
的小数部分：
材料二：单项式“”可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现，小鑫由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为的正方形边长是，且
设，，画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得
，较小
较小，忽略，估算得
解得
根据上面问题的思路与方法，解决下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）
53．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
如果，其中x是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)已知，其中m是整数，且，求的值．
54．（20-21七年级下·广东韶关·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(3)若设整数部分是，小数部分是，求的值．
55．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？
56．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题．
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____．
(2)设的小数部分为的整数部分为，求的值．
(3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①的取值范围是_____．
②当是6的倍数时，且，则n的值为_____．
57．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题，
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根；
(3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________．
题型10 实数中的新定义与规律探究（共7小题）
【模型】新定义 + 实数运算：严格按定义执行，遇到根式先估算或化简。
【步骤】① 理解定义规则；② 代入数值（或含根号的数）；③ 按运算顺序计算，必要时寻找规律。
【易错】定义中含"取整数部分""取绝对值"等操作时要逐步执行；√2+1 这类结果已是最简，别硬化简。
58．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
59．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为_____
60．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
(1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由．
(2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．
61．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
62．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材：
，，，…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：________________；
②计算：；
(2)迁移应用：计算：
63．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算： ； ；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ．
64．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：
…
【实践探究】
（1）按照此规律，①计算：________；
②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）；
（2）计算：；
【迁移应用】
（3）若符合上述规律，请求出x的值．
$专题05 实数及其综合应用
基础·固本强基
题型1 平方根与算术平方根
题型2 立方根的概念与计算
题型3 实数的分类与大小比较
题型4 实数的基本运算
提升·进阶突破
题型5 平方根、立方根的性质综合
题型6 无理数的估算及整数部分、小数部分
题型7 实数在数轴上的表示与距离
拔高·压轴破难
题型8 根式的非负性与综合求值（重点）
题型9 无理数整数部分、小数部分的综合问题（难点）
题型10 实数中的新定义与规律探究（重难点）
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基础·固本强基
题型1 平方根与算术平方根（共6小题）
【模型】若 x²=a（a≥0），则 x=±√a；其中 √a 是算术平方根（非负的那一个）。
【步骤】① 确认被开方数 a≥0；② 找出平方等于 a 的两个数；③ 区分"平方根（两个）"与"算术平方根（一个且非负）"。
【易错】√a≥0，结果不能是负的；正数有两个平方根，0 只有一个，负数没有平方根。
1．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再结合平方根的定义计算即可得出结果．
【详解】解：，
9的平方根是．
2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）25的平方根是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴25的平方根是．
3．（26-27八年级上·广东清远·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
4．（26-27八年级上·广东清远·期中）化简∶ ______．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
5．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个就叫做的算术平方根．
【详解】解：∵，且算术平方根为非负数，
∴．
6．（26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）16的平方根是_______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义，找出平方等于的数即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴平方后等于的数为和，
∴的平方根是．
题型2 立方根的概念与计算（共6小题）
【模型】若 x³=a，则 x=三次根号a；任何实数都有唯一的立方根，符号与被开方数一致。
【步骤】① 认准开立方运算；② 直接找三次方等于 a 的数；③ 核对符号与被开方数相同。
【易错】立方根只有一个，别照搬平方根写"±"；负数能开立方（如三次根号(-8)=-2）；三次根号(-a)=-三次根号a。
7．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是1的平方根 B．是的平方根
C．是1的立方根 D．没有立方根
【答案】A
【分析】根据平方根，立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴是1的平方根，A正确；
∵负数没有平方根，
∴ B错误；
∵，
∴ 1的立方根为1，C错误；
∵，
∴的立方根为，D错误．
8．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）以下关于平方根与立方根说法正确的是（ ）．
A．一个实数有1个算术平方根，2个平方根 B．任何实数都有1个立方根
C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根
【答案】B
【分析】结合立方根、平方根、算术平方根的性质验证各选项．
【详解】解：A、负数没有算术平方根和平方根，的算术平方根与平方根均只有1个，原说法错误；
B、任何实数都有且只有1个立方根，原说法正确；
C、的算术平方根是，即也有算术平方根，原说法错误；
D、正数的平方根有2个，其中负平方根小于其立方根，原说法错误．
9．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）下列关于立方根的说法中，正确的是（ ）
A．负数没有立方根，所以 没有意义
B．
C．的立方根是
D．立方根与平方根一样，都有两个
【答案】B
【详解】解：，负数也有立方根；立方根只有一个，而平方根有两个，
故选：B．
10．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）8的立方根是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】A
【详解】解：∵，
∴8的立方根是2．
11．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）5的平方根是______，的立方根是______．
【答案】
【分析】根据立方根和平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴5的平方根为，
∵ ，
∴ 的立方根为．
12．（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）若的算术平方根为2，则的立方根是__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求出的值，再代入计算，最后求出其立方根即可．
【详解】解：∵的算术平方根为，
∴，
等式两边同时平方，得，
把代入，得：
，
∵，
∴的立方根为，即的立方根是．
题型3 实数的分类与大小比较（共7小题）
【模型】实数 = 有理数 + 无理数；无理数是无限不循环小数。
【步骤】① 先化简每个数（根式、乘方）；② 判断是有理数还是无理数；③ 借助数轴或估算比较大小。
【易错】带根号不一定是无理数（√4=2）；π/2、√2+1 都是无理数；无限循环小数是有理数。
13．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C．2.2 D．π
【答案】D
【详解】解：整数、分数、有限小数均属于有理数．
是整数，是分数，是有限小数，三者均为有理数．
是无限不循环小数，是无理数．
14．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：是无理数，其余均为有理数，故选C．
15．（25-26七年级下·湖南常德·期末）下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，即可得出．
【详解】解：∵ ，，，
∴ 最小的数在与中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小的数是．
16．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）比较大小：________（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】两个数均为非负数，可通过比较两者平方值的大小，间接判断原数的大小关系．
【详解】解：∵，，，
∴．
17．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）用不等号填空：________．
【答案】
【分析】比较两个负数的大小，需先计算两数的绝对值，依据“绝对值大的负数更小”的规则，结合的近似值判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
18．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：
，，，，，，35%，，，（相邻两个之间0的个数逐次加）
正分数集合（ …．）
负有理数集合（ …．）
无理数集合（ …．）．
【答案】
正分数集合（，，，）.
负有理数集合（，，）.
无理数集合（，，（相邻两个之间0的个数逐次加），）.
【分析】根据实数的分类，由正分数、负有理数、无理数的定义分类即可．
【详解】略
19．（26-27八年级上·全国·周测）把下列各数填在相应的集合中：
，，，，，，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）．
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)整数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）
(2)，，，，
(3)，，
(4)，（相邻两个1之间0的个数逐次加）
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
题型4 实数的基本运算（共5小题）
【模型】实数运算沿用有理数的运算顺序与符号法则，根式按"先开方"处理。
【步骤】① 先算乘方、开方；② 再乘除、后加减；③ 结果化到最简，能合并的根式才合并。
【易错】√2+√3 ≠ √5，被开方数不同的根式不能直接相加；去括号、分配时符号易错。
20．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）计算：＋－________．
【答案】
【详解】解：原式．
21．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）计算： ＋ － ＝______．
【答案】11
【详解】解：，，，
原式
．
22．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：；
【答案】
【详解】解：
23．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
24．（25-26七年级下·湖南常德·期末）计算：．
【答案】2026
【详解】解：原式 ．
提升·进阶突破
题型5 平方根、立方根的性质综合（共6小题）
【模型】√a 要求 a≥0；三次根号a 中 a 取任意实数——"平方根限制被开方数，立方根不限制"。
【步骤】① 由 √(a-1) 有意义得 a-1≥0；② 立方根部分不限制；③ 解不等式求字母范围。
【易错】只记得"负数没有平方根"却忘了列不等式；组合式子（如 √a + 三次根号b）要分别列条件。
25．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______．
【答案】
【分析】根据平方根、立方根的定义求出和的值，再代入计算，最后求它的算术平方根即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴，
把代入得，解得，
∴，的算术平方根为，
∴的算术平方根为．
26．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是________．
【答案】49
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求解即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数，故，
解得，
∴两个平方根为7和，则这个正数是．
27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
【答案】
【分析】首先根据题意，求出a，b的值，再解答即可．
【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2，
，
解得，
，
的平方根为．
28．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根．
【答案】代数式的立方根为．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出，再依次计算、、的值，最后求解的立方根．
【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∵为的算术平方根，
∴，
∵为的立方根，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴代数式的立方根为．
29．（21-22七年级下·四川绵阳·期中）已知：已知正数m的两个不同平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a和正数m及b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】（1）由题意得到，解方程求解即可；
（2）将a和b的值代入，然后计算平方根求解即可．
【详解】（1）依题意得：，
解得，
∴，
∴；
（2）．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．
30．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是3，求的算术平方根．
【答案】的算术平方根为3
【分析】本题主要考查了平方根的概率，立方根的概念，求一个数的算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，再根据立方根的定义得到，则，则，再由算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：由题意得，
解得．
的立方根是3，
，
，
，
的算术平方根为3．
题型6 无理数的估算及整数部分、小数部分（共7小题）
【模型】夹逼法：找相邻的两个完全平方（立方）数，定出无理数介于哪两个整数之间。
【步骤】① 找出使 n² 夹住被开方数的相邻整数；② 得出根式的整数部分；③ 小数部分 = 原数 - 整数部分。
【易错】小数部分是"本身减整数部分"，不是去掉根号；估算不等式（2<√5<3）的方向别写反。
31．（黑龙江大庆市肇源县农村联盟2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题）估计的值（ ）
A．在3和4之间 B．在5和6之间
C．在4和之间 D．在和4之间
【答案】C
【分析】计算与17接近的平方数，通过比较被开方数的大小确定的取值范围．
【详解】解：，．
∵，
∴，
即．
32．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）满足的无理数x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将2，3转化为算术平方根形式，通过比较被开方数大小判断各选项是否在区间内．
【详解】解：∵，，
∴满足的无理数，其被开方数应在4与9之间．
的被开方数为2，小于4，不符合；
、的被开方数分别为10、15，均大于9，不符合；
的被开方数为7，在4与9之间，符合要求．
33．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）______．
【答案】/
【分析】先判断绝对值符号内代数式的正负性，再依据绝对值的代数意义化简．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，
∴，
∴，
∵正数的绝对值等于它本身，
∴．
34．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）的小数部分是______．
【答案】/
【分析】先确定的取值范围，得到其整数部分，用原数减去整数部分即可得到小数部分．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴的整数部分是，
∴的小数部分为．
35．（26-27八年级上·上海闵行·阶段检测）无理数的小数部分可表示为________．
【答案】
【分析】先确定的取值范围，得到的整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
∴ 的整数部分为
∴ 小数部分为 ．
36．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式，例如：，则的整数部分为 ___________， 小数部分为 ___________ ．
【答案】
/
【分析】找到和相邻的两个完全平方数，估算出的取值范围，即可确定整数部分，原数减去整数部分得到小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，
小数部分为．
37．（2026七年级上·全国·专题练习）比较大小：_______2．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】根据无理数的估算，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
题型7 实数在数轴上的表示与距离（共7小题）
【模型】每个实数（含无理数）都对应数轴上唯一的点；距离 = |a-b|。
【步骤】① 估算无理数的大致位置并描点；② 用 |a-b| 表示距离；③ 结合图形、比大小后去绝对值化简。
【易错】数轴上的点与实数一一对应，有理数填不满数轴；含根式的距离去绝对值时先比较大小再化简。
38．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴与最接近的数对应的点是．
39．（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，
观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间，
∴表示实数的点可能是点．
40．（26-27八年级上·四川遂宁·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∴，
∵顶点在数轴上表示的数为，
∴点所表示的数为．
41．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得．
【详解】解：，
，即，
由数轴可知，点所表示的数与最接近．
42．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，，
∴点A处所表示的数为．
43．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________．
【答案】/
【分析】根据正方形面积公式求出边长，由画弧可知，结合点A的坐标及点E在右侧即可得出点E表示的数．
【详解】解：正方形的面积为7，
∴，
∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E ，， 点A表示的数为，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
44．（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值；
（2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根．
【详解】（1）解：起始位置为，向右移动3个单位长度
∴；
（2）解：与互为相反数，
．
，，
，，
，，
，
的平方根为．
拔高·压轴破难
题型8 根式的非负性与综合求值（共6小题）
【模型】√a≥0 恒成立；"√(a-b)+|b-c|+(c+d)²=0 → 各非负项分别为 0"。
【步骤】① 识别"非负项之和为 0"的结构；② 令每个非负项为 0；③ 解出字母代回求值。
【易错】被开方数非负有"双重身份"（既限制字母取值、又保证整体非负），只用其一会做错；先把字母全部解出再求值。
45．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知实数，满足，则值的平方根为__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，分别求出和的值，再计算后求其平方根．
【详解】解： 算术平方根，平方数，且
，
即 ，
解得 ，
，
，
的平方根为，即值的平方根为．
46．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
即，
解得，
将代入，得．
47．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）已知a、b均为实数且与互为相反数，则________．
【答案】1
【分析】由算术平方根的非负性得，，由相反数的性质得 ，得出，，即可求解．
【详解】解： 与互为相反数，
，
又，，
，，
，，
，，
．
48．（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题
(1)已知、满足，求的算术平方根；
(2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
，
的算术平方根为；
（2）解：一个正数的两个平方根分别是和，
，
整理得：，
解得：，
．
49．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，，，
，，解得，．
．
的平方根为，
的平方根为．
50．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为，
题型9 无理数整数部分、小数部分的综合问题（共7小题）
【模型】先定整数部分 m，则小数部分 = 原数 - m，再把它们代入含字母的式子求值。
【步骤】① 用夹逼法写出整数部分；② 表示出小数部分；③ 代入目标式化简求值。
【易错】形如 5-√3 的整数部分要先定 √3 的范围再作减法；代回后按运算顺序化简，别漏步骤。
51．（25-26七年级下·江苏南通·期中）小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为10的正方形的边长是，且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得边长为的正方形的面积：．
．
当时，显然，可忽略，得，得到，
．
(1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②；
(2)仿照上述方法，探究的近似值（写出求解过程）；
(3)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，直接写出的近似值（用含有a，b的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)，过程见解析
(3)
【分析】（1）先判断及，进而可求解；
（2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解；
（3）设，根据正方形的面积为 ，由，，当较小时，省略，得 ，进而可求解；
【详解】（1）解：①，
，
整数部分的值为；
②，
，
整数部分的值为．
（2）∵面积为10的正方形的边长是，且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得边长为的正方形的面积：．
．
当时，显然，可忽略，得，得到，
．
（3）∵面积为的正方形的边长是，且，
∴设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得边长为的正方形的面积：．
∵，
．
当时，显然，可忽略，得，得到，
．
52．（25-26七年级下·贵州黔东南·期末）【阅读理解】
材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分
，即：
的整数部分：
对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分
的小数部分：
材料二：单项式“”可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现，小鑫由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为的正方形边长是，且
设，，画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得
，较小
较小，忽略，估算得
解得
根据上面问题的思路与方法，解决下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________．
(2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；
（2）根据材料二中的解题过程进行求解即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分为2，小数部分为；
（2）解：面积为的正方形边长是，且，
设，，画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积，得：，
，较小，
较小，忽略，估算得：
，
解得：，
．
53．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
如果，其中x是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
(1)如果，其中a是整数，且，那么______，______；
(2)已知，其中m是整数，且，求的值．
【答案】(1)4；
(2)
【分析】（1）估算出 ，依此即可确定出，的值，进而得出答案；
（2）根据题意确定出与的值，代入求出即可．
【详解】（1）解： ，其中是整数，且，
又
∴，
，．
（2）∵，其中是整数，且，
，，
．
54．（20-21七年级下·广东韶关·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(3)若设整数部分是，小数部分是，求的值．
【答案】(1)2，
(2)2，
(3)
【分析】本题考查无理数整数部分相关计算：
（1）利用放缩法求出无理数的取值范围，可得整数部分，无理数减去整数部分即为小数部分；
（2）先求出的取值范围，可得整数部分，减去整数部分即为小数部分；
（3）同（2），求出整数部分和小数部分，代入求值即可．
【详解】（1）解： ，
的整数部分是2，小数部分是；
故答案为：2，；
（2）解： ，
，
的整数部分是2，小数部分是；
故答案为：2，．
（3），
而整数部分是，小数部分是，
，，
．
55．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？
【答案】
【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出m、n、、c的值，再计算的值，最后求出算术平方根即可．
【详解】解： ，
，
，
的整数部分是11，小数部分是，
即，，
，
，
，
的整数部分是5，小数部分是，
即，，
∴，
的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
56．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题．
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____．
(2)设的小数部分为的整数部分为，求的值．
(3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分．
①的取值范围是_____．
②当是6的倍数时，且，则n的值为_____．
【答案】(1)3，
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）估算的范围后求解即可；
（2）估算和，求出和的值后代入运算即可；
（3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是；
故答案为：3，；
（2）解：，
的整数部分是，
∴，
，
的整数部分是，即，
；
（3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分，
∴的整数部分是5，
∴；
②是6的倍数，且，
，
，
．
故答案为：①；②．
57．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为．解答下列问题，
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根；
(3)无理数也可以使用数轴上的点来表示，如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，直接写出点所表示的数是___________．
【答案】(1)3，；
(2)
(3)
【分析】（1）利用无理数的估算得出，即可求解；
（2）利用无理数的估算得出，，再代入计算求解即可；
（3）根据正方形的边长和顶点的位置，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是3，小数部分是；
（2）解：，，
，，
的小数部分为的整数部分为，
，，
，
的平方根为；
（3）解：正方形的面积为2，
正方形的边长为，
，
顶点在数轴上，且表示的数为，
点所表示的数是．
题型10 实数中的新定义与规律探究（共7小题）
【模型】新定义 + 实数运算：严格按定义执行，遇到根式先估算或化简。
【步骤】① 理解定义规则；② 代入数值（或含根号的数）；③ 按运算顺序计算，必要时寻找规律。
【易错】定义中含"取整数部分""取绝对值"等操作时要逐步执行；√2+1 这类结果已是最简，别硬化简。
58．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键．
根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴，故说法①正确；
∵，
∴，故说法②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误；
可能的“新运算操作”有，
，
，
，
，
，
，
∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误．
故选：D．
59．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为_____
【答案】/
【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可．
【详解】解：，，
，，
，，
，，
原式，
故答案为：
60．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6、3、2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
(1)判断，，这三个数是不是“完美组合数”，并说明理由．
(2)若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．
【答案】(1)解：，，是“完美组合数”．
理由如下：
，，，均为整数，且这三个数是互不相等的负整数，满足“完美组合数”的定义，
这三个数是“完美组合数”．
(2)
【分析】（1）利用“完美组合数”的定义解出即可．
（2）利用“完美组合数”的定义列关于的式子，结合为负整数，求出即可．
【详解】（1）略
（2）解：三个数、、是“完美组合数”， 有两个数乘积的算术平方根为15，
或，
或，
或（不是负整数，舍去），
．
61．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
【答案】(1)
，，这三个数是“组合平方数”，理由如下．
∵，，，
∴，，这三个数是“组合平方数”．
(2)m的值为
(3)，，；，，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义．
（1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可；
（2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得；
（3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”．
【详解】（1）略
（2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，
∴，，都是整数．
∴或．
∴或（不合题意，舍去）．
当时，这三个数，，是“组合平方数”．
综上所述，m的值为．
（3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一）
故答案为：，，或，，（答案不唯一）．
62．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材：
，，，…按照此规律：
(1)初步探究：
①填空：________________；
②计算：；
(2)迁移应用：计算：
【答案】(1)①；②
(2)23
【分析】（1）①总结题中规律，即可解答；
②根据①中规律解答即可；
（2）总结题中规律，即可解答；
【详解】（1）解：①∵，，，…，
∴（是正整数，且）；
∴；
②根据①中规律可得：当时，，
∴
．
（2）解：∵，，，…，
∴ （是正整数，且）；
最后一项中，，符合规律，
∴
．
63．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算： ； ；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）找出规律，据此即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由题意得：；
（3）解：∵；
；
；
……；
∴（为正整数），
∵，
∴，
解得：，
∴．
64．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：
…
【实践探究】
（1）按照此规律，①计算：________；
②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）；
（2）计算：；
【迁移应用】
（3）若符合上述规律，请求出x的值．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键．
（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解；
（2）根据题干所给式子得出规律计算即可；
（3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解．
【详解】解：（1）①第1个：，
第2个：，
第3个：，
第4个：，
②第n个：，
故答案为：；；
（2）、
；
（3）符合上述规律，
，
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