专题06圆中的计算与综合模型9大题型47题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题06 圆中的计算与综合模型 基础·固本强基 题型1 正多边形中心角及边数互求 题型2 正多边形半径、边长与边心距 题型3 弧长公式及其逆向应用（重点） 题型4 扇形面积公式及其逆向应用（重点） 提升·进阶突破 题型5 弧长、扇形面积及半径关系（难点） 题型6 弓形面积与扇形减三角形 题型7 组合圆形图案的割补面积（难点） 拔高·压轴破难 题型8 旋转点的运动轨迹弧长（重难点） 题型9 旋转扇形与多边形重叠面积（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正多边形中心角及边数互求（共6小题） 【模型】正 n 边形的中心角 = 360°÷n；中心角与内角互补，与外角相等。 【步骤】① 明确中心角、边数 n、内角三者关系；② 用 360/n 由边数求中心角，或反过来求边数；③ 检验 n 是不小于 3 的整数。 【易错】① 把中心角与内角（或外角）混淆；② 求出的 n 不是整数却保留；③ 忘了中心角之和为 360° 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 3．（2026九年级上·浙江·专题练习）一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 4．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 题型2 正多边形半径、边长与边心距（共5小题） 【模型】半径 R、边心距 r、边长的一半构成直角三角形，锐角为中心角的一半（180°÷n）。 【步骤】① 取一边的中点，连圆心与该边端点得到直角三角形；② 用勾股定理 R²=r²+(半边长)² 求解；③ 正六边形可直接用“边长 = 半径”。 【易错】① 把边心距当成半径；② 正六边形“边长 = 外接圆半径”这个特例记错； 7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 9．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 11．（2026·江苏泰州·二模）边长为2的正十边形的外接圆半径为_______．（用或的三角函数表示） 题型3 弧长公式及其逆向应用（共6小题） 【模型】弧长 l = nπR/180（n 为圆心角的度数）；逆向可由弧长求半径或圆心角。 【步骤】① 找出弧所对的圆心角度数 n 与半径 R；② 代入 l=nπR/180；③ 逆向应用时解出 R 或 n，注意取正值。 【易错】① 把“弧的度数”当成弧长；② 把直径当半径代入；③ 逆向求圆心角时把结果当弧长写 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 题型4 扇形面积公式及其逆向应用（共5小题） 【模型】扇形面积 S = nπR²/360 = ½lR（l 为该扇形的弧长）。 【步骤】① 确定圆心角 n 与半径 R；② 已知弧长时优先用 S=½lR；③ 逆向求半径时开平方取正值。 【易错】① 把扇形面积当成整个圆的面积；② ½lR 中的 l 当成弦长（应为弧长）；③ 逆向求 R 时忘记开方或忘了取正 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 21．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 22．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 提升·进阶突破 题型5 弧长、扇形面积及半径关系（共5小题） 【模型】由 S=½lR 可先求半径，再由 l=nπR/180 求圆心角，两公式联立是通法。 【步骤】① 用 S=½lR 求 R；② 代入弧长公式求圆心角 n；③ 回代检验两个已知量是否同时满足。 【易错】① 两个公式记混（把 360 与 180 的位置写错）；② 求圆心角时度数与弧度混用；③ 求出的半径未回代验证 23．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 25．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 27．（21-22九年级下·江苏连云港·周测）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 题型6 弓形面积与扇形减三角形（共5小题） 【模型】弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积（弓形小于半圆时）；大于半圆时则为扇形 + 三角形。 【步骤】① 连圆心与弦的两个端点，得到扇形与三角形；② 判断弓形是小于还是大于半圆；③ 相减或相加，三角形面积用 ½×弦长×弦心距。 【易错】① 加减搞反；② 三角形面积用错底和高（高应是弦心距）；③ 所用圆心角与弓形所对圆心角不一致 28．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 30．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 31．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 32．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型7 组合圆形图案的割补面积（共5小题） 【模型】割补法：把不规则图形拆成（或补成）几个规则图形，用面积的和差表示。 【步骤】① 观察图案的对称性；② 分割成扇形、三角形、正方形等基本图形；③ 加减求和并注意重叠部分只算一次。 【易错】① 重叠部分重复计算；② 只算了一半却忘了乘 2（对称图形）；③ 分割后某块的半径或圆心角找错 33．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 34．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 拔高·压轴破难 题型8 旋转点的运动轨迹弧长（共5小题） 【模型】点绕旋转中心转动时，路径是一段圆弧：半径 = 该点到旋转中心的距离，圆心角 = 旋转角。 【步骤】① 确定旋转中心与旋转角；② 求动点到旋转中心的距离（常用勾股定理）；③ 用 l=nπR/180 求轨迹长。 【易错】① 半径取错（用成边长或到别的点的距离）；② 旋转角用错（用了图形内角或另一个角）；③ 把轨迹当成线段计算长度 37．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 39．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 40．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； (3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 41．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)求（2）中点运动到的位置时，点经过的路线长是多少？ 题型9 旋转扇形与多边形重叠面积（共5小题） 【模型】重叠面积 = 扇形在某一时刻扫过的范围与多边形的公共部分，关键是找准临界位置（边刚好经过特殊点）。 【步骤】① 画出旋转过程中的扇形范围；② 找出与多边形边界相交的临界角；③ 按临界角分段，逐段用扇形与三角形面积加减。 【易错】① 临界角找错导致分段错误；② 重叠部分被重复计算；③ 扇形部分超出图形范围时仍按完整扇形计算 42．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 43．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 44．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 45．（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)求出（2）中线段所扫过的图形面积（结果保留）． 46．（26-27七年级上·全国·开学考试）根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． $专题06 圆中的计算与综合模型 基础·固本强基 题型1 正多边形中心角及边数互求 题型2 正多边形半径、边长与边心距 题型3 弧长公式及其逆向应用（重点） 题型4 扇形面积公式及其逆向应用（重点） 提升·进阶突破 题型5 弧长、扇形面积及半径关系（难点） 题型6 弓形面积与扇形减三角形 题型7 组合圆形图案的割补面积（难点） 拔高·压轴破难 题型8 旋转点的运动轨迹弧长（重难点） 题型9 旋转扇形与多边形重叠面积（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正多边形中心角及边数互求（共6小题） 【模型】正 n 边形的中心角 = 360°÷n；中心角与内角互补，与外角相等。 【步骤】① 明确中心角、边数 n、内角三者关系；② 用 360/n 由边数求中心角，或反过来求边数；③ 检验 n 是不小于 3 的整数。 【易错】① 把中心角与内角（或外角）混淆；② 求出的 n 不是整数却保留；③ 忘了中心角之和为 360° 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 2．（26-27九年级上·全国·期末）如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 3．（2026九年级上·浙江·专题练习）一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 4．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为的正八边形（如图）．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质可得，塔基的面积为，，如图，连接，过点A作于点P，则，即，利用勾股定理列方程可求得，易得的面积，进而确定塔基的面积． 【详解】解：∵塔基的形状是半径为的正八边形， ∴，塔基的面积为，， 如图，连接，过点A作于点P，则， ∴， 设， ∵， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴， ∴， ∴塔基的面积为． 题型2 正多边形半径、边长与边心距（共5小题） 【模型】半径 R、边心距 r、边长的一半构成直角三角形，锐角为中心角的一半（180°÷n）。 【步骤】① 取一边的中点，连圆心与该边端点得到直角三角形；② 用勾股定理 R²=r²+(半边长)² 求解；③ 正六边形可直接用“边长 = 半径”。 【易错】① 把边心距当成半径；② 正六边形“边长 = 外接圆半径”这个特例记错； 7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 8．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 9．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，的内接正三角形的边心距为，则的半径为_________． 【答案】4 【分析】连接，，根据是的内接正三角形得出，，从而得到，利用边心距的定义得出，进而在中利用角所对直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的内接正三角形， ∴，， ∴， ∵为边心距， ∴， ∴在中，． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 11．（2026·江苏泰州·二模）边长为2的正十边形的外接圆半径为_______．（用或的三角函数表示） 【答案】 【分析】先计算正十边形的中心角，构造等腰三角形与直角三角形，结合锐角三角函数的定义求解外接圆半径． 【详解】解：如图，设正十边形的外接圆半径为，即，连接，过点O作， ∴， ∵，，， ∴，， ∴根据锐角三角函数的定义，得，解得． 题型3 弧长公式及其逆向应用（共6小题） 【模型】弧长 l = nπR/180（n 为圆心角的度数）；逆向可由弧长求半径或圆心角。 【步骤】① 找出弧所对的圆心角度数 n 与半径 R；② 代入 l=nπR/180；③ 逆向应用时解出 R 或 n，注意取正值。 【易错】① 把“弧的度数”当成弧长；② 把直径当半径代入；③ 逆向求圆心角时把结果当弧长写 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得米， ∵裙长为米， ∴米， ∴（米）． 13．（26-27九年级上·全国·单元测试）每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可． 【详解】解：将，代入 ． 14．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径，圆心角，则该弯形管道的长度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】管道的长度实际为的长，把圆心角和半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， 又∵弧长公式， ∴的长为 即该弯形管道的长度为． 15．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 16．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的长． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是一段管道的示意图，已知，中心线的两条圆弧半径都为，求这段管道的长（中心虚线的长）．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可． 【详解】解：． 答：图中管道的展直长度约为． 题型4 扇形面积公式及其逆向应用（共5小题） 【模型】扇形面积 S = nπR²/360 = ½lR（l 为该扇形的弧长）。 【步骤】① 确定圆心角 n 与半径 R；② 已知弧长时优先用 S=½lR；③ 逆向求半径时开平方取正值。 【易错】① 把扇形面积当成整个圆的面积；② ½lR 中的 l 当成弦长（应为弧长）；③ 逆向求 R 时忘记开方或忘了取正 18．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 19．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 20．（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 【答案】 【详解】解：当时，n边形的外角和为， ∴图中阴影部分的面积之和为 21．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 22．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，若，，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由题意得，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质求出，最后根据扇形面积公式计算． 【详解】解： ，， ， 由题意得，， ， ， 扇形的面积为． 提升·进阶突破 题型5 弧长、扇形面积及半径关系（共5小题） 【模型】由 S=½lR 可先求半径，再由 l=nπR/180 求圆心角，两公式联立是通法。 【步骤】① 用 S=½lR 求 R；② 代入弧长公式求圆心角 n；③ 回代检验两个已知量是否同时满足。 【易错】① 两个公式记混（把 360 与 180 的位置写错）；② 求圆心角时度数与弧度混用；③ 求出的半径未回代验证 23．（26-27九年级下·全国·单元复习）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式，代入已知圆心角与面积，进而求出扇形的半径． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得， 化简得， 解得， ， ． 24．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 25．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，它的面积为，则这个扇形的半径为___________，圆心角度数为___________． 【答案】 6 /度 【分析】已知扇形弧长和面积，先根据扇形面积公式求出半径，再利用弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积，扇形面积公式为， ∴代入得， 解得：， ∵扇形弧长公式为， ∴将，代入公式得， 两边约去后整理得：， 因此扇形半径为，圆心角度数为． 27．（21-22九年级下·江苏连云港·周测）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 【答案】 【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为． 由题意得， 整理得 ． 两边约去，解得 ． 题型6 弓形面积与扇形减三角形（共5小题） 【模型】弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积（弓形小于半圆时）；大于半圆时则为扇形 + 三角形。 【步骤】① 连圆心与弦的两个端点，得到扇形与三角形；② 判断弓形是小于还是大于半圆；③ 相减或相加，三角形面积用 ½×弦长×弦心距。 【易错】① 加减搞反；② 三角形面积用错底和高（高应是弦心距）；③ 所用圆心角与弓形所对圆心角不一致 28．（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 29．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的外接圆，的半径为3，． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）直接利用弧长公式计算即可； （3）利用扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【详解】（1）解：， ． （2）解：∵的半径为3，， ∴的长为. （3）解：∵的半径为3，， ． 又， ． 30．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 31．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 32．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 题型7 组合圆形图案的割补面积（共5小题） 【模型】割补法：把不规则图形拆成（或补成）几个规则图形，用面积的和差表示。 【步骤】① 观察图案的对称性；② 分割成扇形、三角形、正方形等基本图形；③ 加减求和并注意重叠部分只算一次。 【易错】① 重叠部分重复计算；② 只算了一半却忘了乘 2（对称图形）；③ 分割后某块的半径或圆心角找错 33．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 34．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 35．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解: 如图，连接， ∵是的切线，为切点， 则， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 与同底等高， ， ， 半径，圆心角， 扇形面积． 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 拔高·压轴破难 题型8 旋转点的运动轨迹弧长（共5小题） 【模型】点绕旋转中心转动时，路径是一段圆弧：半径 = 该点到旋转中心的距离，圆心角 = 旋转角。 【步骤】① 确定旋转中心与旋转角；② 求动点到旋转中心的距离（常用勾股定理）；③ 用 l=nπR/180 求轨迹长。 【易错】① 半径取错（用成边长或到别的点的距离）；② 旋转角用错（用了图形内角或另一个角）；③ 把轨迹当成线段计算长度 37．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴， ∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∵点沿着圆周转动，即旋转， ∴旋转，即旋转， ∴点C转过的圆心角为， ∴点C经过的路径长为． 38．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 39．（2026·江苏盐城·三模）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 40．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ； (3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别画出点、绕点顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由网格图可知旋转中心的坐标为； （3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点所经过的路径长． 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示， 连接对应点、，作、的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为； （3）解：由旋转可知， 由网格可知， 点所经过的路径长为． 41．（25-26九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)求（2）中点运动到的位置时，点经过的路线长是多少？ 【答案】(1)解：如图所示，即为所求， (2)解：如图所示，即为所求， (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图； （2）根据旋转的性质作图； （3）利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：由勾股定理得圆弧半径的长度为， ∴点经过的路线弧长为． 题型9 旋转扇形与多边形重叠面积（共5小题） 【模型】重叠面积 = 扇形在某一时刻扫过的范围与多边形的公共部分，关键是找准临界位置（边刚好经过特殊点）。 【步骤】① 画出旋转过程中的扇形范围；② 找出与多边形边界相交的临界角；③ 按临界角分段，逐段用扇形与三角形面积加减。 【易错】① 临界角找错导致分段错误；② 重叠部分被重复计算；③ 扇形部分超出图形范围时仍按完整扇形计算 42．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 43．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________． 【答案】 【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可． 【详解】解：大圆半径为，小圆半径为， 圆环区域的外半径为，内半径为， 圆环的面积的四分之一为， 小圆的面积为， 故小圆盘运动过程中扫过的面积为． 44．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 45．（2026·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)求出（2）中线段所扫过的图形面积（结果保留）． 【答案】(1)关于轴对称的图形如图： 点的坐标 (2)如上图； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意，得，， ∴线段所扫过的图形面积为． 46．（26-27七年级上·全国·开学考试）根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． 【答案】(1)如图所示，号图形即为所求； (2)如图所示，号图形即为所求； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：号三角形中线段在旋转过程中所扫过的路径是：以为圆心，以长为半径的扇形， ∵， ∴， 即号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积为． $