专题03二次函数实际应用与几何综合10大题型53题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题03 二次函数实际应用与几何综合 基础·固本强基 题型1 抛物线型实际情境建模 题型2 围栏或矩形面积的二次函数最值 题型3 销售定价与利润函数关系 提升·进阶突破 题型4 整数约束下的最优定价 题型5 两种经营方案的收益比较（难点） 题型6 抛物线与坐标轴构成的几何量（重难点） 题型7 抛物线上动点三角形面积最值（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 抛物线动点构成等腰三角形（难点） 题型9 抛物线动点构成直角三角形（难点） 题型10 抛物线动点构成平行四边形（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 抛物线型实际情景建模（共6小题） 【模型】建系 → 设式 → 代入实际数据 → 用解析式算所求量；建系决定计算量，通常取对称轴为 y 轴。 【步骤】① 选原点与坐标轴（常取起跳点/地面中点为原点）；② 设顶点式或一般式；③ 代入已知点的实际数据求系数，并写明自变量取值范围。 【易错】① 建系后坐标符号错（水平方向左右正负、高度方向正负）；② 忽略自变量的实际取值范围，算出“负长度”仍保留；③ 单位不统一（米与厘米混用）。 1．（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 【答案】(1) (2)货车能通过这条隧道，理由如下： ， 将代入，则， 该位置隧道高度大于货车高度， ∴货车能通过这条隧道； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意把代入求出函数值，再与比较即可； （3）把代入求出，即可求解灯带的最大长度． 【详解】（1）解：由题意得，，， 根据题意可设函数解析式为， 代入点可得，， 解得， ∴函数解析式为； （2）略 （3）解：由题意得，把代入， 则 解得， ∴灯带的最大长度为． 2．（26-27九年级上·甘肃陇南·期中）如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 3．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心处竖直放置一根水管，在水管的顶端处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点到池中心的距离为8米． (1)写出水柱离水面（轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离． 【答案】(1)5米， (2)7米 【分析】（1）将点B的坐标代入求出解即可； （2）将代入关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得水柱离水面的最大高度是5米， 将点代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 所以水管的长度是米； （2）解：根据题意，令， 则， 解得（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， 所以景观射灯与池中心的水平距离为7米． 4．（26-27九年级上·北京朝阳·期中）消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度． (1)求抛物线的函数解析式． (2)将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为． ①请判断 （填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足 （填写“正比例”或“反比例”）关系． ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值． 【答案】(1) (2)①；反比例；②正确， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①根据开口越大，二次函数系数的绝对值越小，判断与的大小即可，根据反比例函数的特点进行判断即可； ②由得，再将代入得出，从而得出二次项系数，从而验证推测正确，最后将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线顶点为，设， 把点代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为． （2）解：①由图象可得：的开口比的开口大， ∴； 根据函数图象可知：初速度v越大，开口越大，越小；初速度v越小，开口越小，越大，因此推测二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足反比例关系； ②由，得，代入得： ， ∵， ∴ ∴二次项系数， 即， ∴二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方满足反比例关系， 即①中的推测是正确的． ∵， ∴． 5．（26-27九年级上·吉林·期中）掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度（单位：）可近似看作水平距离（单位：）的二次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是___________． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)王阳在此次投掷中得到满分． 理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去)． ∴王阳在此次投掷中实心球从起点到落地点的水平距离为，大于，故此次投掷中得到满分． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为∶ ； （2）解：设抛物线的解析式为， 把， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求a、b的值； (2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； (3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 【答案】(1)， (2)米 (3) 【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式中求解y值即可； （3）求出时对应的x值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，代入中，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意，当时，， ∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶， ∴小华的身高为米； （3）解：当时，即,得或， ∵绳子甩到最高处时超过她的头顶， ∴， 结合函数图象得：． 题型2 围栏或矩形面积的二次函数最值（共5小题） 【模型】设一边为 x，用周长条件把另一边表示成一次式，面积 S 就是二次函数，顶点处取最大。 【步骤】① 设一边长为 x 并写出取值范围；② 用总长（或周长）条件表示另一边；③ 写出 S=x·(另一边)，配方求最大值。 【易错】① 漏写 x 的取值范围；② 靠墙/靠边时围栏只有三边，总长条件列错；③ 要求整数边长时直接照抄顶点横坐标。 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设长为，根据墙长限制确定的取值范围，再结合一元二次方程和二次函数性质逐条判断． 【详解】解：设的长为，则的长为， 由题意得， 解得 对于①，， 的长不可以为，故①错误； 对于②，令， 整理得， 解得， ， ，此时，即的长只有一个值，故②正确； 对于③，设面积为，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， ， 面积不能达到，故③错误， 综上所述，正确的结论只有②，个数为 1． 8．（26-27九年级上·天津和平·期中）如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 【答案】 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可用表示出，再利用矩形的面积公式可得关于的二次函数关系式，问题随之得解． 【详解】解：∵等腰直角，矩形， ∴结合图形有，，，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 即当时，． 9．（26-27九年级上·吉林·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． (1)求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大值为. 【分析】（1）根据可求出长与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． ∴； （2）解： ∵，且， ∴当时，y取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 10．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积S最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形的性质求出，即可表示出S与x之间的函数关系式，再根据墙长16米，即可确定自变量x的取值范围； （2）由，得出当时，S随着x的增大而减小，所以当时，矩形场地面积S最大，最大面积是． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆的总长为40米， ∴， ∵墙长16米， ∴，解得：， ∴ ． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，S随着x的增大而减小， ∴当时，矩形场地面积S最大，，最大面积是平方米． 11．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． (2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． (3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)长方形卡片的长和宽分别为和或和 (2)根据题意画图如下： 长方形卡片的长和宽分别为和． (3)当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 【分析】（1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （3）根据，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵如图，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； （2）解：根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． 当时，， 当时，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和． （3）解：设长方形面积为 S， 则，是二次函数且开口向下， 对称轴为 将 代入得 答：当 cm 时，面积最大，最大值为 ． 题型3 销售定价与利润函数关系（共4小题） 【模型】总利润 = 单件利润 × 销售量；涨价 x 元则单件利润增 x、销量减 kx，二者相乘得二次函数。 【步骤】① 设涨价（或降价）x 元并写取值范围；② 写出涨价后的单件利润与销售量；③ 相乘得利润函数，配方求最大利润及对应定价。 【易错】① 单件利润忘了减进价；② 销量随涨价“减少”的方向写反；③ 只求最大利润却忘了回答“定价多少”。 12．（26-27九年级上·天津·阶段检测）某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每次降价的基数为上一次降价后的价格，据此推导两次降价后的价格表达式． 【详解】解：商品原价为元，第一次降价百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价百分率仍为，降价基数为第一次降价后的价格， 两次降价后的价格． 13．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·全国·阶段检测）第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数．若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过元，李明想使获得的月利润不低于元，求销售单价x的取值范围． 【答案】销售单价的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象及其性质． 设获得的月利润为元，根据题意可得关于的函数表达式，由二次函数的图象和性质，结合题意即可得月利润不低于元时，销售单价的取值范围． 【详解】解：设获得的月利润为元， 根据题意可得， 当时，即， 整理得， 解得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵获得的月利润不低于元， ∴， ∵销售单价不得超过元， ∴销售单价的取值范围是． 15．（19-20九年级上·广东韶关·期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣20x2+100x+6000，0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当降价2.5元时，利润最大且为6125元． 【分析】（1）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （2）根据二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x） = = 因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）， 解得0≤x＜20（或0＜x＜20）； （2）当时， y有最大值， 即当降价2.5元时，利润最大且为6125元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． 提升·进阶突破 题型4 整数约束下的最优定价（共5小题） 【模型】顶点横坐标不是整数时，取离对称轴最近的可取整数；因二次函数关于对称轴对称，只需比两侧相邻整数。 【步骤】① 先求顶点横坐标；② 取它左右相邻的两个整数；③ 分别代入函数值比较，取较大者（恰在两整数中间时两者相等）。 【易错】① 直接四舍五入取最近整数（应两侧都算再比）；② 忽略“必须取整数”的约束；③ 忘了比较两个整数对应的实际收益。 16．（23-24九年级上·福建·期末）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为； (2)当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元． 【分析】（1）本题考查用待定系数法求一次函数解析式，设y与x之间的函数关系式为，根据“当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件”列式求解，即可解题． （2）本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，根据利润（售价成本）销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可． 【详解】（1）解：该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系， 设y与x之间的函数关系式为， 当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件， ，解得， 设y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题知： ， ， 时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值为（元）， 当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元． 17．（2026·安徽宿州·三模）某工厂用合肥本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现： 加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：， 加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：， (1)若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式； (2)如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元 【分析】（1）根据题意可得加工乙产品用吨钢材，由 即可解答； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：用x吨钢材加工甲产品，则加工乙产品用吨钢材， ； （2）解： ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为60000元， 答：20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元． 18．（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】(1)；． (2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． (3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可； （2）根据函数图象，进行解答，即可； （3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为：；函数经过点， ∴， ∴， ∴； 设函数的解析式为：；函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． （3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元， ∴， 整理得：， 配方可得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；此时； ∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元． 19．（18-19九年级上·湖北十堰·期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本） （1）求出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价在35≤x≤40元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）z＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【分析】（1）根据总利润＝（售价﹣进价）×每月销量可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）根据题意，得：z＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800； （2）z＝﹣2x2+136x﹣1800 ＝﹣2（x﹣34）2+512， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＞34时，z随x的增大而减小， 又∵35≤x≤40， ∴当x＝35时，z取得最大值，最大值为510， 答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，列出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质． 20．（2021·江苏南通·二模）某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … (1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ (2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润． 【答案】(1)168 (2)宾馆应将房间定价确定为256或260元 【分析】（1）待定系数法求出y关于x的一次函数解析式，令y=0求出x的值即可； （2）根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况． 【详解】（1）设y=kx+b， 由题意得： ， 解得： ， ∴y=x-42， 当y=0时，x-42=0， 解得：x=168， 答：宾馆将每天的定价为168元/间时，所有的房间恰好被全部订完． （2）设每天的利润为W元，根据题意，得： W=（x-28）（80-y）-5000 =（x-28）[80-（x-42）]-5000 =-x2+129x-8416 =-（x-258）2+8225， ∵当x=258时，y=×258-42=22.5，不是整数， ∴x=258舍去， ∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元， 答：宾馆应将房间定价确定为256或260元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值． 题型5 两种经营方案的收益比较（共6小题） 【模型】分别建两个收益函数，用作差或求分界点的方法判断哪个方案更优。 【步骤】① 分别写出两种方案的收益函数；② 作差（或令二者相等）求出分界点；③ 按区间判断哪种更优，并说明分界点处相等。 【易错】① 只代一个特殊值就下结论；② 两个函数定义域不同却直接比较；③ 分界点处两者相等没单独说明。 21．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ 【答案】(1) 一次函数，表达式为 (2) (3) 生产6万件时每月收益最大，最大收益为22.5万元 【分析】 （1）观察表格数据可知y随x均匀变化，符合一次函数特征，用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据门店销售量与降价幅度的关系，结合门店销售量为，整理推导即可得到m与x的关系式； （3） 分别表示出抖音销售额、门店销售额，相加后减去总成本得到总收益关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值，结合x的取值范围得到生产方案. 【详解】（1）解：观察表格数据，y随x的增加均匀减少，符合一次函数关系， 设， 将代入得 ， 解得， 验证：当时，，当时，，符合表格数据， 又每月生产数量不超过10万件， ∴函数表达式为； （2）解：由题意，抖音和门店销售数量比为，生产x万件全部售出，故门店销售量为万件； 由题意，得， 整理，得； （3） 解：设每月总收益为w万元，生产数量为x万件，， ∵抖音和门店销售数量比为， ∴抖音销量为万件，门店销售量为万件， 由题意得 ， 由可知，是关于的二次函数且开口向下，且， ∴当时，最大，最大值为22.5万元， 答：生产6万件时，每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是22.5万元； 22．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元； ②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元； 方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 【答案】任务一：； 任务二：元，最大值元； 任务三：方案一的利润更高，理由如下： 方案一：， 由任务二知，当时，有最大值，最大值为1000； 方案二：，解得， ∵， ∴在内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵， ∴方案一的利润更高． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据题意列出函数关系式即可； 任务二：根据题意列出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答； 任务三：分别求出方案一和方案二的利润最大值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：任务一： 由题意得，， ∴函数关系式为； 任务二： 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1000， 答：销售单价定为20元时，每天的销售利润最大，最大值为1000元； 任务三：略 23．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)每件文创用品的利润为 元/件，每天销售数量y＝ 件（不要求写自变量的取值范围）； (2)设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ (3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)， (2)55元；1250元 (3) 方案A的最大利润更高．理由如下： 方案A：， 由（2）可知，当时，W取得最大值，最大值（元）； 方案B：由题意知：， 解得， 由（2）知，当时，W最大，最大值为（元）， ∵， ∴方案A的最大利润更高． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象及性质，一元一次不等式组应用等． （1）先求出每件文创用品的利润，再设y与x的函数解析式为，代入两点求出解析式即可； （2）根据题意列式，利用二次函数性质即可得到； （3）分别求出方案A和B的利润，再进行比较即可． 【详解】（1）解：∵销售单价x元/件，进价为每件28元，销售一件需缴纳网络平台管理费2元， ∴每件文创用品的利润为：元； ∵每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系， ∴设y与x的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， ， ， ∵， ∴当时，W最大，最大值为1250， ∴销售单价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元； （3）略 24．（23-24九年级上·广东珠海·期中）某工厂产品每件进价为25元，当售价为每件30元时，每天可售出220件，突如其来的新冠疫情影响了经济效益，在复工复产时对产品价格进行了调整，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． (1)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2700元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ (2)在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每件商品涨价不超过26元；方案B：每件商品的利润至少为31元．请比较哪种方案的利润更大，并说明理由． 【答案】(1)每件商品应涨价10元； (2)方案A的销售利润更大． 【分析】（1）设每件商品涨价m元，根据每件商品涨价1元，每天就会少卖4件，利用利润=（售价-进价）×数量列方程可求出m的值，根据销量尽可能大即可得答案； （2）根据二次函数的性质分别求出两种方案的最大值，比较即可得答案． 【详解】（1）解：设每件商品涨价m元， 由题意得：． 整理得， 解得：，． ∵使销量尽可能大， ∴不合题意，舍去， 答：每件商品应涨价10元； （2）解：设销售该商品获得的利润为w元，涨价m元， ∴， 方案A：每件商品涨价不超过26元，， ∴当时，利润最大，最大利润为元； 方案B：每件商品的利润至少为31元，即每件的售价应涨价：， 解得， ∵， ∴当时，利润最大，最大利润为元． ∵， ∴方案A的销售利润更大． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解第2题的关键． 25．（21-22八年级下·河南南阳·阶段检测）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．为了增加学生相关知识，某校开展“航天知识竞赛”活动并计划购买A，B两种型号的航模作为奖品．已知A型号航模的单价比B型号航模的单价多20元/个，且学校用4000元购买A型号航模的数量和用3600元购买B型号航模的数量相等． (1)求A，B两种型号航模的单价； (2)该校计划购买这两种型号的航模共20个，且A型号航模的数量不少于B型号航模数量的2倍，应如何设计购买方案才最省钱？最省钱的方案费用是多少？ 【答案】(1)A型号航模的单价为200元/个，B型号航模的单价为180元/个 (2)该校购买14个A型号航模、6个B型号航模时最省钱，最省钱的方案费用是3880元 【分析】（1）设A型号航模的单价为x元/个，则B型号航模的单价为元/个，根据学校用4000元购买A型号航模的数量和用3600元购买B型号航模的数量相等，列分式方程即可解答； （2）设该校购买A型号航模m个，所需的总费用为w元，则购买B型号航模个，根据A型号航模的数量不少于B型号航模数量的2倍，列不等式求得的取值范围，再得到关于的二次函数，即可解答。 【详解】（1）解：设A型号航模的单价为x元/个，则B型号航模的单价为元/个． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型号航模的单价为200元/个，B型号航模的单价为180元/个． （2）解：设该校购买A型号航模m个，所需的总费用为w元，则购买B型号航模个， 根据题意，得．解得，． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵，且m为整数， ∴当时，w取得最小值，此时， ， 答：该校购买14个A型号航模、6个B型号航模时最省钱，最省钱的方案费用是3880元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的实际应用，根据题意列出正确等量关系和不等关系是解题的关键． 26．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (1)求该商品原来的进价； (2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？ (3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)该商品原来的进价为20元； (2)商品的售价是每件30元； (3)综上所述，方案最大利润更高． 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键． （1）利用销量每件利润总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； （3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案． 【详解】（1）解：设该商品原来的进价为元． 由题意：，解得， 经检验，是原方程的解， 答：该商品原来的进价为20元； （2）解：设提价元， 根据题意得：， 解得或5， 销量尽可能大， ， 商品的售价是每件30元； （3）解：； ， 抛物线对称轴是直线，开口向下，对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随的增大而减小， 方案：根据题意得，，则， 当时，利润最大， 最大利润为（元， 方案：根据题意得，， 解得：， 则， 故当时，利润最大， 最大利润为（元， ， 综上所述，方案最大利润更高． 题型6 抛物线与坐标轴构成的几何量（共6小题） 【模型】先求交点坐标，再用坐标算线段长和面积；长度是坐标差的绝对值。 【步骤】① 求与 x 轴、y 轴的交点坐标；② 用坐标差取绝对值算底和高；③ 代入三角形（或多边形）面积公式。 【易错】① 线段长用坐标差时忘取绝对值；② c<0 时与 y 轴交点在负半轴仍按正数算；③ 面积漏乘 1/2，或把坐标当长度。 27．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线与坐标轴交点及对称轴，确定点、坐标，利用待定系数法求直线解析式，设点横坐标表示线段长，利用二次函数性质求最值． 【详解】解：令，得，解得． 点在点左侧， ． 令，得， ．抛物线的对称轴为直线． 点与点关于对称轴对称， ． 设直线的解析式为． 将代入得， 解得． 直线的解析式为． 设，则，， ∴． ， 当时，取最大值．此时． ． 28．（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标及直线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．求线段长的最大值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)，、，直线 (2) (3) 【分析】（1）分别令、求解抛物线与坐标轴的交点；再由待定系数法求解直线的表达式； （2）设，则，故，再由二次函数的性质求解即可； （3）利用割补法将面积转化为，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴； 当时，则，解得或 ∵点A在点B的左侧， ∴，； 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； （2）解：由题意设， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为； （3）解：如图， ∴当取得最大值时，面积取得最大值， 由（2）知的最大值为， ∴面积的最大值为． 29．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）首先确定两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先确定为等腰直角三角形，进而可得，故当的值最大时，的值也最大；设，则，进一步可得，即可确定答案． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， ， 令，得， 解得， ∵点B在点A右侧， ， 设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 直线的表达式为． （2）解：， ， 为等腰直角三角形， ， ∵轴，轴，， ， ， ， 当的值最大时，的值也最大， 设，则， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 30．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为    D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求m的值． 【答案】(1) (2)最大值为 (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：将代入，得， ， 设直线的解析式为， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图1，过P作轴交于， 则， ， ， ∴当时，有最大值为； （3）解：抛物线，顶点， 如图2，点关于直线的对称点， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ． 31．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，抛物线与坐标轴分别交于、、三点． (1)直接写出点、、的坐标以及抛物线的对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是在轴右侧且在轴下方的抛物线上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，，对称轴为 (2)存在，点的坐标为 (3) 【分析】（1）令、分别为，求出抛物线与坐标轴的交点，用对称轴公式求出对称轴； （2）利用点和点关于对称轴对称，把转化为，连接与对称轴的交点即为，求出直线的解析式进而求出的坐标； （3）设点坐标为，过点作轴，连接，，先推出，再得出为等腰直角三角形，利用列方程，结合限制条件求出点坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线， 则其对称轴为直线， 令，则， 可得， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为． （2）解：如图，连接交抛物线对称轴于点，连接， 、两点关于对称轴对称，且点在对称轴上， 则， 可得的周长为， 当点为与对称轴的交点时，取得最小值，即， 设直线的解析式为， 将点的坐标，点的坐标代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故此时点的坐标为． （3）解：如图，设点的坐标为，过点作轴，连接，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，即， 解得或， 点在轴右侧且在轴的下方， ， ，代入， 可得， 故点的坐标为． 32．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）已知点坐标及原点坐标，可设抛物线的交点式，再将顶点的坐标代入求解析式； （2）①先求出直线的解析式，代入点的横坐标，求出点的坐标，然后设点坐标为，由四边形是平行四边形，表示出点的坐标，再根据点落在抛物线上，将点坐标代入抛物线解析式即可求出的值，从而得到点的坐标； ②作关于轴的对称点，得到，在直线上取点，使四边形为平行四边形，从而得到，因此的最小值转化为的最小值，根据三角形的三边关系得，在三角形中，，而当运动到线段上时取等号，此时为最小值，由此求出参数的值，最后使用待定系数法求出的解析式，再令，求出其与轴交点的坐标即为点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过原点且与轴交于， 设， 对称轴为，顶点坐标， 由顶点的纵坐标是得，， 解得， ． （2）①，， 直线解析式为， 在线段上且横坐标为， 代入得， ． 如图，设 ， 由四边形是平行四边形，得 ，， ． 点在抛物线上， 代入得，， ， ， 解得，即． ， ，即． ②如图，作关于轴的对称点，则； 在直线上取点，则且， 四边形为平行四边形， ． ， 当运动到线段上时取等号． 由最小值取，得， ， 又， ． 此时，，， 设直线：， ，解得． 直线：， 令，得， ． 题型7 抛物线上动点三角形面积最值（共6小题） 【模型】设动点横坐标 m，用“底（定线段）× 高（动点到该直线的竖直距离）÷2”表示面积，得到关于 m 的二次函数求最值。 【步骤】① 设动点 P(m, am²+bm+c)；② 确定固定的底边（常是两定点连线）与对应的高（常用竖直线段长表示）；③ 写出 S(m) 并配方求最值，注意 m 的范围。 【易错】① 动点纵坐标代入解析式时算错；② 底边不水平却直接用纵坐标差当高；③ 漏掉动点所在区间，导致最值取错。 33．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ (2)点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米 【分析】（1）先设运动时间为x秒，结合、的移动速度表示出直角边、，再根据直角三角形面积公式列方程求解，最后结合运动的时间取值范围筛选出符合实际的解． （2）先根据直角三角形面积公式建立的面积关于运动时间的二次函数，再利用二次函数的性质，结合的实际取值范围，求出面积的最大值和对应的运动时间． 【详解】（1）解：设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； （2）解：理由：设x秒时，的面积为，由题意得： 故存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米． 【点睛】本题是动点结合二次函数的几何应用问题，核心逻辑是用时间参数把动态线段长度转化为代数表达式，先利用直角三角形面积公式建立函数关系，再结合自变量的实际取值范围，通过解方程、分析二次函数最值完成求解． 34．（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) ， (3)4 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，待定系数法等知识． （1）利用待定系数法作答即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式，联立的解析式和抛物线的解析式，即可作答； （3）连接，设，，根据，用t表示出的面积，利用二次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 将，，代入解析式有：， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）设直线的解析式为：， 将，代入解析式有：， 解得：， 即直线的解析式为：， ∵， ∴直线沿y轴向上平移4个单位，即可得到过原点O的直线的解析式， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， 点P的坐标为： ，； （3）连接，如图， 设，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，最大值为． 35．（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． 36．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)的值为 (2)当时，的面积最大，最大面积为 【分析】（1）利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称求出对称轴，结合对称轴公式推导与的比值； （2）先代入已知点坐标结合第一问结论求二次函数解析式，再将的面积最大值转化为点纵坐标的最大值，利用二次函数顶点性质求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 整理得； （2）解：∵二次函数过点，且由（1）知， ∴将代入解析式得， 把代入上式，得， 解得， ∴， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∵、是二次函数与轴交点，且在的左边， ∴，， ∴， 设点的横坐标为， ∵点在二次函数图象上且位于轴上方， ∴，且，中边上的高为点的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上所述，当时，的面积最大，最大面积为． 37．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①因为抛物线经过点，所以把点代入，解出即可求抛物线的解析式； ②求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，，则，表示出，再用配方法取面积最大即可； （2）将抛物线绕顶点旋转，旋转后的抛物线的解析式为，,，设，求出直线的解析式和直线的解析式，得到，，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ②∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为，代入点和 ， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点， 设，，则， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，此时点坐标为． （2）解：如图， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点， ∵将抛物线绕顶点旋转， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 令，则， 解得，或， ∴,． 设点，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， 同理可求直线的解析式为， ∴， ∴， ， ， ∴当时，有最大值． 38．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)当或时，图象的最大值与最小值的差为 (3)面积的最大值为 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点性质求解； （2）利用二次函数的增减性，分类讨论两点在对称轴的同侧还是异侧从而求解； （3）分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点，根据已知条件求得的面积，得到，进一步证明，利用平行的两直线的值相等求出直线的表达式，联立二次函数表达式求出点的坐标，列出面积的表达式，利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， 令，解得， ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，则， 解得 ， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 情况1，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最大值，在点处取得最小值， 将代入中， 解得（舍），， ∴； 情况2，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最小值，在点处取得最大值， 此时点的坐标为，即； 情况3，当时，点在对称轴两侧， 则在顶点处取得最大值，则最小值为， 将代入中， 解得， ∴此时最小值在点处取得，或者在点关于对称轴对称时取得，即， ∴； 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为． （3）解：如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点， ， 由题知，点到轴的距离为， ∵点在第四象限， ∴， 则， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； 设直线的表达式为， 将点分别代入中， ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 将点代入中，解得， ∴直线的表达式为； 联立，解得（舍），， 将代入，解得， ∴点的坐标为； 设点，则点的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴面积的最大值为． 拔高·压轴破难 题型8 抛物线动点构成等腰三角形（共5小题） 【模型】设动点坐标，用两点距离平方表示三边，按“哪两边相等”分类列方程，逐类求解并检验。 【步骤】① 设动点坐标；② 写出三边长度的平方（用平方避免根号）；③ 分三种相等情况列方程，舍去三点共线或重合的退化解。 【易错】① 只讨论“两腰相等”一种情况而漏解；② 求出的点与已知点重合未舍去；③ 三点共线（不构成三角形）的情形没排除。 39．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 40．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由题意抛物线与轴交于两点，利用待定系数法求出的值，得出函数解析式，再利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可； （2）当为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①；②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为：； ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：存在． 理由：∵该抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，， 若为等腰三角形， 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 41．（2026九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 42．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，解方程组求解即可； （2）确定直线的表达式，设，则点的坐标可用含的代数式表示，进而表示出的长度，利用函数性质求最大值； （3）先确定对称轴及点坐标，再分情况进行讨论求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的表达式为， ，， 解得 ， 设， 轴， ， ， 点在轴下方的抛物线上， ， 当时，值最大，最大值为； （3）解：对抛物线， 当时，， ， 对称轴为直线， 设， 则，，， 当时， 解得， ； 当时，， 解得，， 或； 当时，， 解得，， 或， 设直线关系式为， 解得 直线关系式为， 当时，，即在直线上，点，，三点共线，故舍去； 综上可知点的坐标为或或或． 43．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为； (2)存在，符合条件的点坐标为或或或. (3)二次函数的解析式为或． 【分析】（1）把代入即可求解析式及顶点坐标； （2）为等腰三角形，分三种情况，勾股定理列方程即可； （3）先确定对称轴，再根据顶点是否在范围内，分类讨论，确定最小值时x值，代入即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，， 则抛物线的解析式为； ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：存在点P，设， 根据题意得：， 则； ； ， ∴为等腰三角形，分三种情况： ①当时， ，得， ∴点P的坐标为或； ②当时， ，， 解得，， ∴点P的坐标为； ③当时， ，， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ∴符合条件的点P存在，点P坐标为或或或； （3）解：抛物线的对称轴为：，区间长度是固定值 当对称轴在区间左边时，，即， 此时区间在对称轴右侧，函数在区间上随x增大而增大，最小值在左端点， 则， 解得（舍去负值）， 解析式为； 当对称轴在区间左边时，，即， 此时最小值在对称轴， 则， 即，此情况不存在，舍去； 当对称轴在区间右边时，，即， 此时区间在对称轴左侧，函数在区间上随x增大而减小，最小值在右端点， 则， 解得（舍去）， 解析式为； 综上，二次函数的解析式为或． 题型9 抛物线动点构成直角三角形（共5小题） 【模型】分类讨论哪个顶点是直角，用勾股定理（两小边平方和 = 大边平方）列方程。 【步骤】① 设动点坐标；② 分三种“直角顶点”情况；③ 用距离平方写勾股关系列方程，求解并检验退化情形。 【易错】① 漏掉直角在某个定点处的情形；② 直角在动点处时方程次数较高，因式分解出错；③ 未验证所求点是否真的在抛物线上（代入解析式回检）。 44．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； (2)若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）分两种不同的情况进行讨论：，，利用勾股定理建立方程，解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点， 当时，得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 由（1）可得， 设， ，，， 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 45．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或或或 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，可表示，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于的方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与轴的另一个交点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时有最小值为， 当时，有， 解得：，， 点的坐标为， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 在抛物线的对称轴上，存在点使的值最小，点的坐标为． （3）解：如图，设点的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为； 当时， 有， 即， 解得：，， 点的坐标为或； 当时， 有， 即， 解得：， 点的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 46．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，且二次项系数为，设解析式为，展开化简后得到； （2）①先求得与直线，设、，分三种直角情况，结合坐标几何性质与勾股定理列方程，舍去超出第一象限范围的解，得到符合条件的t值；②与同底，则计算得，将面积差转化为纵坐标之差；利用设平移直线解析式，联立求N点坐标，构建关于t的二次函数，通过顶点公式求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、，且二次项系数为， ∴设函数表达式为 ， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①由（1）得，当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 将、代入直线中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t，轴，M在上， ∴，， 当时，∵轴，且， ∴，即为水平方向， ∴点P与点C纵坐标相等，均为3， ∴ 解得（舍去），， 当时，则， ∵； ； ， ∴ ∴或， 解得（舍去），（舍去）； 当时，则， ∴ ∴或， 解得（舍去），； 综上，满足条件的t值为或． ②由题意得，， ∵和的底均为， ∴高分别为点P、点N的纵坐标， ∴，， ∴ ， 设直线的解析式为，代入、： 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线可由直线平移m个单位得来， ∴设直线为，， 将点P代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与的解析式，得 解得， 将x代入，得， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值， ∴顶点横坐标为， 将代入得， ． 47．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 48．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型10 抛物线动点构成平行四边形（共5小题） 【模型】用“对角线中点重合”（两组对角顶点坐标和相等）列方程，按哪条是对角线分类。 【步骤】① 设动点坐标；② 按“已知的线段是对角线还是边”分类（通常 2～3 种）；③ 用中点坐标相等（或横坐标和相等、纵坐标和相等）列方程求解。 【易错】① 分类不全漏解；② 顶点顺序写错导致坐标和等式列错；③ 四点共线或点重合时不是平行四边形，未舍去。 49．（26-27九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； (4)在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)，4； (4)、、、． 【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道轴，再根据三角形的面积公式求解； （3）根据图象可得当抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （4）根据点的位置可知由以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则为边，不可能为对角线，若为边，则为对边，且，故，即，设，．由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，， 点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称，， 点， 过点作，垂足为， ，． ； （3）解：设点关于对称轴对称点，则，如图所示， 当点P在点C和点之间时，点与点C之间（包含点和点C）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， 此时的取值范围为：； （4）解：已知，，设，． 以为顶点的四边形是平行四边形． 若为对角线，则P、Q为另一组对角顶点，需，超过抛物线最大值9，舍去； 若为边，则为对边，且，故，即， 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 当时，，解得：， 当时，，对应，得； 当时，，对应，得； 综上所述：Q的坐标为：、、、，共四个． 【点睛】垂直、平行条件一律先翻译成坐标关系；斜边上的高优先用等面积法；存在性问题必须分类，并检验是否漏解． 50．（26-27九年级上·北京昌平·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值： (3)设M为直线l上的点，且以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)18 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，，可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线的两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 将、代入中， 得，解得， ∴直线l的解析式为； （2）解：设， 则，，， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为18； （3）解：对于，当时，，则， 对于，当时，，则， ∴， 设，， 由题意，若点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，可分以下情况： ①当为平行四边形的边时，有轴，， ∴， 解得或或或（此时M、C重合，舍去） ∴点M的坐标为或或； ②当为平行四边形的对角线时，和互相平分， ∴，解得或（此时M、C重合，舍去） ∴点M的坐标为， 综上，满足条件的点M的坐标为或或或． 51．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线 的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】(1)①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 (2)点，点或点，点或点，点 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线 交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， （2）解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 52．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 53．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式； （2）将抛物线表达式与直线联立求解可得点的坐标； （3）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． （2）联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，． （3）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． $专题03 二次函数实际应用与几何综合 基础·固本强基 题型1 抛物线型实际情境建模 题型2 围栏或矩形面积的二次函数最值 题型3 销售定价与利润函数关系 提升·进阶突破 题型4 整数约束下的最优定价 题型5 两种经营方案的收益比较（难点） 题型6 抛物线与坐标轴构成的几何量（重难点） 题型7 抛物线上动点三角形面积最值（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 抛物线动点构成等腰三角形（难点） 题型9 抛物线动点构成直角三角形（难点） 题型10 抛物线动点构成平行四边形（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 抛物线型实际情景建模（共6小题） 【模型】建系 → 设式 → 代入实际数据 → 用解析式算所求量；建系决定计算量，通常取对称轴为 y 轴。 【步骤】① 选原点与坐标轴（常取起跳点/地面中点为原点）；② 设顶点式或一般式；③ 代入已知点的实际数据求系数，并写明自变量取值范围。 【易错】① 建系后坐标符号错（水平方向左右正负、高度方向正负）；② 忽略自变量的实际取值范围，算出“负长度”仍保留；③ 单位不统一（米与厘米混用）。 1．（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 2．（26-27九年级上·甘肃陇南·期中）如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 3．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心处竖直放置一根水管，在水管的顶端处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点到池中心的距离为8米． (1)写出水柱离水面（轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离． 4．（26-27九年级上·北京朝阳·期中）消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度． (1)求抛物线的函数解析式． (2)将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为． ①请判断 （填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足 （填写“正比例”或“反比例”）关系． ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值． 5．（26-27九年级上·吉林·期中）掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度（单位：）可近似看作水平距离（单位：）的二次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是___________． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求a、b的值； (2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； (3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 题型2 围栏或矩形面积的二次函数最值（共5小题） 【模型】设一边为 x，用周长条件把另一边表示成一次式，面积 S 就是二次函数，顶点处取最大。 【步骤】① 设一边长为 x 并写出取值范围；② 用总长（或周长）条件表示另一边；③ 写出 S=x·(另一边)，配方求最大值。 【易错】① 漏写 x 的取值范围；② 靠墙/靠边时围栏只有三边，总长条件列错；③ 要求整数边长时直接照抄顶点横坐标。 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（26-27九年级上·天津和平·期中）如图，某小区有一块绿地为等腰直角三角形，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点，，分别在边，，上．若，则当的长为________时，矩形的面积最大． 9．（26-27九年级上·吉林·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． (1)求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 10．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 11．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）【数学活动】某中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，，），要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)小松同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． (2)看了小松同学的设计，你能想出不同的设计方案吗？请利用图2大致画出草图，并求出你裁出的长方形卡片的长和宽． (3)如图1的方案中，当x取多长时，裁出的长方形卡片的面积最大？最大值是多少？ 题型3 销售定价与利润函数关系（共4小题） 【模型】总利润 = 单件利润 × 销售量；涨价 x 元则单件利润增 x、销量减 kx，二者相乘得二次函数。 【步骤】① 设涨价（或降价）x 元并写取值范围；② 写出涨价后的单件利润与销售量；③ 相乘得利润函数，配方求最大利润及对应定价。 【易错】① 单件利润忘了减进价；② 销量随涨价“减少”的方向写反；③ 只求最大利润却忘了回答“定价多少”。 12．（26-27九年级上·天津·阶段检测）某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 14．（25-26九年级上·全国·阶段检测）第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数．若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过元，李明想使获得的月利润不低于元，求销售单价x的取值范围． 15．（19-20九年级上·广东韶关·期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 提升·进阶突破 题型4 整数约束下的最优定价（共5小题） 【模型】顶点横坐标不是整数时，取离对称轴最近的可取整数；因二次函数关于对称轴对称，只需比两侧相邻整数。 【步骤】① 先求顶点横坐标；② 取它左右相邻的两个整数；③ 分别代入函数值比较，取较大者（恰在两整数中间时两者相等）。 【易错】① 直接四舍五入取最近整数（应两侧都算再比）；② 忽略“必须取整数”的约束；③ 忘了比较两个整数对应的实际收益。 16．（23-24九年级上·福建·期末）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 17．（2026·安徽宿州·三模）某工厂用合肥本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现： 加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：， 加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：， (1)若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式； (2)如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？ 18．（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 19．（18-19九年级上·湖北十堰·期末）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本） （1）求出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价在35≤x≤40元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 20．（2021·江苏南通·二模）某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示． 每天的定价x（元/间） 208 228 268 … 每天的房间空闲数y（间） 10 15 25 … (1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？ (2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润． 题型5 两种经营方案的收益比较（共6小题） 【模型】分别建两个收益函数，用作差或求分界点的方法判断哪个方案更优。 【步骤】① 分别写出两种方案的收益函数；② 作差（或令二者相等）求出分界点；③ 按区间判断哪种更优，并说明分界点处相等。 【易错】① 只代一个特殊值就下结论；② 两个函数定义域不同却直接比较；③ 分界点处两者相等没单独说明。 21．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ 22．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某商场要销售一款新文具，市场部先进行市场调查，然后营销部根据实际情况提出销售建议．请根据以下信息完成相应的任务． 项目名称 调查销售该款文具的市场信息并给出综合建议 市场信息 ①该文具进价为每件10元； ②当销售单价为15元时，每天的销量为150件，且销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件． 营销部建议 方案一：销售单价高于15元，但不超过20元； 方案二：每天的销量不少于10件，且每件的利润至少为15元． 任务一 直接写出每天的销量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式． 任务二 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润w（单位：元）最大，并求出最大值． 任务三 利用你所学的知识比较营销部提出的两种方案中，哪种方案的利润更高？并说明理由． 23．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． (1)每件文创用品的利润为 元/件，每天销售数量y＝ 件（不要求写自变量的取值范围）； (2)设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ (3)营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 24．（23-24九年级上·广东珠海·期中）某工厂产品每件进价为25元，当售价为每件30元时，每天可售出220件，突如其来的新冠疫情影响了经济效益，在复工复产时对产品价格进行了调整，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． (1)在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2700元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ (2)在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每件商品涨价不超过26元；方案B：每件商品的利润至少为31元．请比较哪种方案的利润更大，并说明理由． 25．（21-22八年级下·河南南阳·阶段检测）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．为了增加学生相关知识，某校开展“航天知识竞赛”活动并计划购买A，B两种型号的航模作为奖品．已知A型号航模的单价比B型号航模的单价多20元/个，且学校用4000元购买A型号航模的数量和用3600元购买B型号航模的数量相等． (1)求A，B两种型号航模的单价； (2)该校计划购买这两种型号的航模共20个，且A型号航模的数量不少于B型号航模数量的2倍，应如何设计购买方案才最省钱？最省钱的方案费用是多少？ 26．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (1)求该商品原来的进价； (2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？ (3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元； 方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 题型6 抛物线与坐标轴构成的几何量（共6小题） 【模型】先求交点坐标，再用坐标算线段长和面积；长度是坐标差的绝对值。 【步骤】① 求与 x 轴、y 轴的交点坐标；② 用坐标差取绝对值算底和高；③ 代入三角形（或多边形）面积公式。 【易错】① 线段长用坐标差时忘取绝对值；② c<0 时与 y 轴交点在负半轴仍按正数算；③ 面积漏乘 1/2，或把坐标当长度。 27．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 28．（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标及直线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．求线段长的最大值； (3)求面积的最大值． 29．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 30．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为    D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求m的值． 31．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，抛物线与坐标轴分别交于、、三点． (1)直接写出点、、的坐标以及抛物线的对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是在轴右侧且在轴下方的抛物线上的一个动点，当时，求出点的坐标． 32．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）已知抛物线（、、是常数，）经过原点，且与轴交于，是顶点 (1)当顶点的纵坐标是时，求抛物线解析式； (2)若点在线段上，且点的横坐标为，是线段上一动点（不与重合），在右侧作平行四边形 ①当点落在抛物线上时，求点坐标； ②连接，，当的最小值是时，求点坐标． 题型7 抛物线上动点三角形面积最值（共6小题） 【模型】设动点横坐标 m，用“底（定线段）× 高（动点到该直线的竖直距离）÷2”表示面积，得到关于 m 的二次函数求最值。 【步骤】① 设动点 P(m, am²+bm+c)；② 确定固定的底边（常是两定点连线）与对应的高（常用竖直线段长表示）；③ 写出 S(m) 并配方求最值，注意 m 的范围。 【易错】① 动点纵坐标代入解析式时算错；② 底边不水平却直接用纵坐标差当高；③ 漏掉动点所在区间，导致最值取错。 33．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ (2)点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 34．（26-27九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点O作交抛物线于点P，求点P的坐标； (3)点是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值． 35．（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 37．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 38．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． 拔高·压轴破难 题型8 抛物线动点构成等腰三角形（共5小题） 【模型】设动点坐标，用两点距离平方表示三边，按“哪两边相等”分类列方程，逐类求解并检验。 【步骤】① 设动点坐标；② 写出三边长度的平方（用平方避免根号）；③ 分三种相等情况列方程，舍去三点共线或重合的退化解。 【易错】① 只讨论“两腰相等”一种情况而漏解；② 求出的点与已知点重合未舍去；③ 三点共线（不构成三角形）的情形没排除。 39．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 40．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 41．（2026九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直x轴于点D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 42．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 43．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 题型9 抛物线动点构成直角三角形（共5小题） 【模型】分类讨论哪个顶点是直角，用勾股定理（两小边平方和 = 大边平方）列方程。 【步骤】① 设动点坐标；② 分三种“直角顶点”情况；③ 用距离平方写勾股关系列方程，求解并检验退化情形。 【易错】① 漏掉直角在某个定点处的情形；② 直角在动点处时方程次数较高，因式分解出错；③ 未验证所求点是否真的在抛物线上（代入解析式回检）。 44．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； (2)若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 45．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 46．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图①，已知二次函数的图象与x轴相交于两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，设点P的横坐标为t． ①过点P作轴于点H，与交于点M，连接．当为直角三角形时，直接写出满足条件的t值； ②如图②，连接，过点P作交于点N，连接，．设的面积为，的面积为，求的最大值． 47．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 48．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 题型10 抛物线动点构成平行四边形（共5小题） 【模型】用“对角线中点重合”（两组对角顶点坐标和相等）列方程，按哪条是对角线分类。 【步骤】① 设动点坐标；② 按“已知的线段是对角线还是边”分类（通常 2～3 种）；③ 用中点坐标相等（或横坐标和相等、纵坐标和相等）列方程求解。 【易错】① 分类不全漏解；② 顶点顺序写错导致坐标和等式列错；③ 四点共线或点重合时不是平行四边形，未舍去。 49．（26-27九年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求点到直线的距离； (3)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，此时的取值范围是____________________，这个定值为________； (4)在抛物线上找点，在轴上找点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 50．（26-27九年级上·北京昌平·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值： (3)设M为直线l上的点，且以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点M的坐标． 51．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线 的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 52．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 53．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． $