专题05圆的基本性质与几何证明10大题型56题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材浙教版

专题05 圆的基本性质与几何证明 基础·固本强基 题型1 圆的概念、弧弦和点圆位置 题型2 确定圆的条件与圆心位置 题型3 垂径定理求弦长与弦心距（重点） 提升·进阶突破 题型4 垂径定理逆定理的判定证明（重难点） 题型5 弧、弦、圆心角的等量转化 题型6 同弧圆周角与圆心角关系 题型7 直径所对圆周角的直角模型（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 圆内接四边形对角互补及外角（难点） 题型9 垂径、圆周角和勾股综合计算（难点） 题型10 多弦交点的圆中辅助线证明（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念、弧弦和点圆位置（共5小题） 【模型】圆是到定点距离等于定长的点的集合；点与圆的位置由距离 d 与半径 r 比较确定。 【步骤】① 计算点到圆心的距离 d；② 与 r 比较：d<r 在内、d=r 在上、d>r 在外；③ 弧与弦的对应要说明在同圆中。 【易错】① 把弦与弧混为一谈（弦是线段，弧是曲线）；② 认为“长度相等的弧是等弧”（等弧要求能完全重合）；③ 判断位置关系时算错距离 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等 【答案】B 【详解】解：A、 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，弦不一定是直径，错误； B、半圆是直径的两个端点分圆所得的弧，属于弧的一种，正确； C、过圆心且两端都在圆上的线段才是直径，仅过圆心的线段不一定是直径，错误； D、等圆是能够完全重合的圆，半径一定相等，错误． 2．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弧是半圆，半圆是弧 B．直径是弦，弦不一定是直径 C．长度相等的弧是等弧 D．圆的任意一条弦都等于直径的一半 【答案】B 【分析】注意区分弧与半圆、弦与直径、等弧与长度相等的弧等易混概念，逐一判断选项． 【详解】解：A选项，弧不一定是半圆，半圆是弧，A错误； B选项，直径是弦，弦不一定是直径，B正确； C选项，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，不一定能完全重合，不是等弧，C错误； D选项，弦的长度不一定等于直径的一半，D错误． 3．（26-27九年级上·全国·期中）已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的半径为6，点在的内部， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·期中）中最长的弦长为10，则的半径为_______． 【答案】5 【分析】利用“圆内最长的弦是直径”的性质，结合半径与直径的数量关系求解即可． 【详解】解：∵圆中最长的弦是直径， ∴的直径为10， ∴的半径为． 5．（26-27九年级上·全国·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在的____________（填“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】比较点到圆心的距离与的半径的大小，依据点与圆的位置关系判定点的位置． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离， ∴根据点与圆的位置关系， 当时，点在圆外， ∴点在外． 题型2 确定圆的条件与圆心位置（共6小题） 【模型】不在同一直线上的三点确定一个圆；圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点（三角形的外心）。 【步骤】① 取两条弦；② 分别作它们的垂直平分线交于 O；③ 以 O 到任一点的距离为半径画圆。 【易错】① 三点共线时说能确定圆；② 只作一条垂直平分线就定圆心；③ 直角三角形的外心在斜边中点这一特例没用上 6．（26-27九年级上·全国·期中）用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（     ） A．过同一条直线上的三点不能作圆 B．过同一条直线上的三点可以作一个圆 C．过任意三点都不能作圆 D．过同一条直线上的三点只能作一个圆 【答案】B 【详解】解：原命题的结论为过同一条直线上的三点不能作圆， 反证法第一步需假设结论的反面成立，即过同一条直线上的三点可以作一个圆，对应选项B． 7．（26-27九年级上·全国·期中）经过一个已知点作圆，可以作的圆有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【详解】解：圆由圆心和半径确定.过点的圆，只需圆心到点的距离等于半径，圆心的位置有无数种可能，因此可以作无数个圆. 8．（26-27九年级上·全国·期中）经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 【答案】1 【分析】核心条件为不在同一条直线上的三个点，结合确定圆的条件判断可确定的圆的数量． 【详解】解：根据确定圆的基本规则，不在同一条直线上的三个点，有且只有一个圆同时经过这三个点，因此可以确定1个圆． 9．（26-27九年级上·全国·期中）经过线段的两个端点作圆，所有这样的圆的圆心都在____________上． 【答案】线段的垂直平分线 【分析】过、两点的圆的圆心到、的距离相等，结合线段垂直平分线的判定规则确定圆心位置． 【详解】解：∵ 经过、两点的圆的圆心到两个端点的距离等于圆的半径，即． ∴ 根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． ∴ 所有满足条件的圆的圆心都在线段的垂直平分线上． 10．（26-27九年级上·全国·期中）如图是一块破碎的圆形玻璃镜片的一部分，弧上依次有三点A、B、C．工人师傅要配一块同样大小的圆形镜片， 需要先确定原来圆形镜片的半径． (1)用尺规作出原镜片所在圆的圆心O（保留作图痕迹） (2)写出这样作图的依据． 【答案】(1) (2)根据垂直平分线的性质可得，则点O为圆的圆心 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点； （2）根据垂直平分线的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 11．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 题型3 垂径定理求弦长或弦心距（共5小题） 【模型】垂直于弦的直径平分这条弦并平分弦所对的弧；计算核心是 r²=d²+(半弦)²。 【步骤】① 过圆心作弦的垂线得到弦心距 d；② 由垂径定理得半弦长；③ 在半径、弦心距、半弦构成的直角三角形中用勾股定理求解。 【易错】① 用整条弦长代入勾股（应用半弦）；② 把弦心距当成半径；③ 弦为直径时 d=0 的特殊情况不会处理 12．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】过点O作于点C，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，如图： 则， 在中，． ∴圆心O到弦的距离为3． 13．（26-27九年级上·全国·期中）等边三角形的边长为，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】4 【详解】解：设等边三角形为，边长，为边上的高，其外接圆圆心在上，连接， 是等边三角形，， ， 在中，由勾股定理得， 设外接圆半径为，则，， 在中，， 由勾股定理得， 代入对应线段长度得， 展开等式右侧：， 两边消去，得， 解得． 14．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 提升·进阶突破 题型4 垂径定理逆定理的判定证明（共5小题） 【模型】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【步骤】① 确认被平分的弦不是直径；② 由“直径平分弦”推出垂直与平分弧；③ 书写时用等腰三角形三线合一或全等作依据。 【易错】① 漏掉“被平分的弦不能是直径”这一关键条件；② 把定理与逆定理混用；③ 证明时只写结论不写依据 17．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1) 证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； (2) 证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 19．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 【答案】(1) 证明：设与交于点， 为的中点， ， ， ； (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理． （1）设与交于点，由为的中点，可得，推出，即可证明； （2）连接，由题意可得：，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）连接， 由题意可得：， ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 的半径为． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 21．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 【答案】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】略 题型5 弧、弦、圆心角的等量转化（共6小题） 【模型】在同圆或等圆中，等圆心角 ⇔ 等弧 ⇔ 等弦 ⇔ 等弦心距，四者可以互相转化。 【步骤】① 明确前提“同圆或等圆”；② 确定要证的目标量；③ 选一条等价链（如证弦相等可先证所对弧相等）。 【易错】① 在大小不同的两个圆中直接套用；② 认为“弧长相等就是等弧”；③ 转化时对应关系搞错（弦与它所对的弧） 22．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 23．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】由得到弧所对的圆周角，再根据三角形内角和，用求出两个底角之和，平分得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， 又∵， 为等边三角形， ， ． (2)． 【分析】（1）证明，则可证明为等边三角形，得到，据此可证明结论； （2）延长，交于点，可证明，则平分，由三线合一定理得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：延长，交于点， 由（1）得， ∵， ∴， ∴平分， ， ∴， 同理可得， 在中，， ，即的半径为． 25．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 【答案】(1)证明：如下图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E， 平分，，， ， ∴， ； (2) 【分析】（1）过点O作，，由角平分线的性质可得，根据在同圆中，两条弦的弦心距相等，则它们所对应的劣弧相等，即可得答案； （2）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）由（1）得，， ， ， ． 26．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证： 【答案】证明：∵点，，，在上，， ∴， ∴， ∴. 【分析】根据等弦对等弧，以及弧的和差关系即可得证. 【详解】略 27．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 题型6 同弧圆周角与圆心角关系（共6小题） 【模型】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧（或等弧）所对的圆周角彼此相等。 【步骤】① 找准角所对的是哪条弧（看角两边与圆的交点之间的弧）；② 用倍半关系计算；③ 与直径、四边形内角和配合使用。 【易错】① 找错所对的弧（尤其优弧与劣弧）；② 圆心角与圆周角不在同一条弧上却用倍半关系；③ 计算时把半径与角度混用 28．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、、，根据圆周角定理推出，，进而解题． 【详解】解：连接、、、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 【答案】 /70度 【分析】连接，根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵是的外接圆，， ∴，， ∴. 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90度，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得出弧是半圆，弧的度数是，再由圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 在中，． （2）解：∵是的直径， ∴弧是半圆， ∵点D是弧的中点， ∴弧的度数是． ∵是弧所对的圆周角， ∴． 32．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (2)证明：连接， 则， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； 【分析】（1）因为所以，则可证，所以； （2）可证，则，又因为，所以垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 33．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点． (1)若的度数为，的度数为，求； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【分析】（1）由圆周角的定理得出，，由三角形外角的定义以及性质得出． （2）由弦相等得出，进而可得出，进而可得出，由等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵的度数为，的度数为， ∴对应的圆周角为：，对应的圆周角为：， ∵是的一个外角， ∴． （2）略 题型7 直径所对圆周角的直角模型（共6小题） 【模型】直径所对的圆周角是直角；反过来，90° 的圆周角所对的弦是直径。 【步骤】① 见直径就联想直角（连出圆周角）；② 见圆上直角就联想直径（连该弦并说明过圆心）；③ 连半径构造等腰或直角三角形。 【易错】① 把任意过圆心的线段当直径（必须两端都在圆上）；② 圆周角的顶点没在圆上；③ 与垂径定理的条件混用 34．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 【答案】35 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴在中，． 35．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 36．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 37．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角、弧的关系得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，再由直角三角形两个锐角互余即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 39．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦，点C在上，，求的半径． 【答案】的半径为 【分析】方法一：连接，根据圆周角定理及等边三角形的判定即可求解；方法二：连接并延长，交于点D，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角及角所对直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：方法一：如解图1，连接． ， ． ， 为等边三角形， ， 的半径为． 方法二：如解图2，连接并延长，交于点D，连接． 是的直径， ． ， ． ， 的半径为． 拔高·压轴破难 题型8 圆内接四边形对角互补及外角（共6小题） 【模型】圆内接四边形的对角互补，且一个外角等于它的内对角。 【步骤】① 先确认四点共圆；② 用对角互补求未知角；③ 外角等于不相邻的内对角，可直接转化。 【易错】① 四边形不是圆内接的也套用对角互补；② 把相邻角当成对角；③ 外角与它相邻的内角搞混 40．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 41．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 42．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 /164度 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 43．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 44．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 45．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 题型9 垂径、圆周角和勾股综合计算（共5小题） 【模型】作弦心距构造直角三角形，用圆周角（圆心角）关系得到角度，再用勾股定理（或特殊直角三角形比例）算长度。 【步骤】① 作圆心到弦的垂线，出现直角三角形；② 用同弧的圆心角与圆周角关系求角度（常得 30°、45°、60°）；③ 用勾股定理或特殊角边长比求线段长。 【易错】① 不作弦心距导致无从下手；② 30°、45° 特殊直角三角形的边长比记错；③ 用圆周角直接当圆心角代入计算 46．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ， 在中，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 48．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． (1)求证： (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴． 49．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 【答案】(1) (2)①；②（）， 的最大值为 ． 【分析】（1）由圆周角定理得 、；由角平分线定义与同弧所对圆周角相等求出 与 ，从而得 ； （2）①先证 ，设 ，由 到 的距离为 得 ，再由同弧所对圆心角等于圆周角的二倍证 为等边三角形，得半径长；②作弦 的弦心距 ，由垂径定理得 为 中点，在两个直角三角形中用勾股定理消去 ，得 与 的函数关系式，再确定 的最大值． 【详解】（1）解：， ∴ （同弧所对圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ （同弧 所对的圆周角相等）． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ ． （2）解：在 中， ∵ 与 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ （邻补角）． 在 中，， ∴ ， ∴ （等角对等边）． ① 设 ． ∴ ∴， 连接，则，则 ． ∵ ， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ，，． ∵ 与 是同弧 所对的圆心角与圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即 的半径长为 ． ② 作 于 ． ∵ ，由垂径定理，垂足 为弦 的中点， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． 由 （直径是圆中最长的弦），得 ，故 ， ∴ ． 在 Rt 中，， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ 在线段 上且不与 重合， ∴ ， 随 的增大而减小， 当 为 的直径时，，此时 与 重合，， ∴ 取得最大值 ． 50．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 题型10 多弦交点的圆中辅助线证明（共6小题） 【模型】圆中辅助线四件套：连半径（得等腰）、作弦心距（得直角与半弦）、连同弧的圆周角（得等角）、构造直径（得直角）。 【步骤】① 已知弦多、要求长度 → 作弦心距；② 要证角相等 → 找同弧的圆周角；③ 要证垂直 → 找直径或用三线合一。 【易错】① 乱连辅助线，没有目的；② 连了半径却忘了“同圆半径相等”这个隐含条件；③ 证明过程跳步，缺判定依据 51．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 52．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 53．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 54．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 (2)如图2，若，时，求证：． 【答案】(1)①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； ② (2)证明：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 取优弧的中点，连接，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】（1）①由和圆周角定理得到，再结合，，证明； ②由得到，，，再利用勾股定理求出，，最后根据，得到，代入计算即可； （2）由，设，则，，取优弧的中点，连接，，则，，即可证明，得到，再求出，得到，，推出，得到． 【详解】（1）解：①略 ②∵为直径， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 55．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 56．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴，． (3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距相等；反过来，在同圆或等圆中，弦心距相等，所对应的圆心角相等，所对应的弦相等． 【分析】（1）求出，，证明，即可推出． （2）证明，推出，根据等腰三角形三线合一求出，，进而可得出答案． （3）根据（1）（2）用文字语言把上述结论表述出来即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 $专题05 圆的基本性质与几何证明 基础·固本强基 题型1 圆的概念、弧弦和点圆位置 题型2 确定圆的条件与圆心位置 题型3 垂径定理求弦长与弦心距（重点） 提升·进阶突破 题型4 垂径定理逆定理的判定证明（重难点） 题型5 弧、弦、圆心角的等量转化 题型6 同弧圆周角与圆心角关系 题型7 直径所对圆周角的直角模型（重难点） 拔高·压轴破难 题型8 圆内接四边形对角互补及外角（难点） 题型9 垂径、圆周角和勾股综合计算（难点） 题型10 多弦交点的圆中辅助线证明（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 圆的概念、弧弦和点圆位置（共5小题） 【模型】圆是到定点距离等于定长的点的集合；点与圆的位置由距离 d 与半径 r 比较确定。 【步骤】① 计算点到圆心的距离 d；② 与 r 比较：d<r 在内、d=r 在上、d>r 在外；③ 弧与弦的对应要说明在同圆中。 【易错】① 把弦与弧混为一谈（弦是线段，弧是曲线）；② 认为“长度相等的弧是等弧”（等弧要求能完全重合）；③ 判断位置关系时算错距离 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等 2．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弧是半圆，半圆是弧 B．直径是弦，弦不一定是直径 C．长度相等的弧是等弧 D．圆的任意一条弦都等于直径的一半 3．（26-27九年级上·全国·期中）已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·期中）中最长的弦长为10，则的半径为_______． 5．（26-27九年级上·全国·期中）已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在的____________（填“内”“上”或“外”）． 题型2 确定圆的条件与圆心位置（共6小题） 【模型】不在同一直线上的三点确定一个圆；圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点（三角形的外心）。 【步骤】① 取两条弦；② 分别作它们的垂直平分线交于 O；③ 以 O 到任一点的距离为半径画圆。 【易错】① 三点共线时说能确定圆；② 只作一条垂直平分线就定圆心；③ 直角三角形的外心在斜边中点这一特例没用上 6．（26-27九年级上·全国·期中）用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（     ） A．过同一条直线上的三点不能作圆 B．过同一条直线上的三点可以作一个圆 C．过任意三点都不能作圆 D．过同一条直线上的三点只能作一个圆 7．（26-27九年级上·全国·期中）经过一个已知点作圆，可以作的圆有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 8．（26-27九年级上·全国·期中）经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 9．（26-27九年级上·全国·期中）经过线段的两个端点作圆，所有这样的圆的圆心都在____________上． 10．（26-27九年级上·全国·期中）如图是一块破碎的圆形玻璃镜片的一部分，弧上依次有三点A、B、C．工人师傅要配一块同样大小的圆形镜片， 需要先确定原来圆形镜片的半径． (1)用尺规作出原镜片所在圆的圆心O（保留作图痕迹） (2)写出这样作图的依据． 11．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 题型3 垂径定理求弦长或弦心距（共5小题） 【模型】垂直于弦的直径平分这条弦并平分弦所对的弧；计算核心是 r²=d²+(半弦)²。 【步骤】① 过圆心作弦的垂线得到弦心距 d；② 由垂径定理得半弦长；③ 在半径、弦心距、半弦构成的直角三角形中用勾股定理求解。 【易错】① 用整条弦长代入勾股（应用半弦）；② 把弦心距当成半径；③ 弦为直径时 d=0 的特殊情况不会处理 12．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 13．（26-27九年级上·全国·期中）等边三角形的边长为，则它的外接圆的半径为____________． 14．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 15．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 提升·进阶突破 题型4 垂径定理逆定理的判定证明（共5小题） 【模型】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【步骤】① 确认被平分的弦不是直径；② 由“直径平分弦”推出垂直与平分弧；③ 书写时用等腰三角形三线合一或全等作依据。 【易错】① 漏掉“被平分的弦不能是直径”这一关键条件；② 把定理与逆定理混用；③ 证明时只写结论不写依据 17．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分，为的中点，为圆心，连接． (1)求证：； (2)经测量，到的距离为，求该的半径． 20．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 21．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 题型5 弧、弦、圆心角的等量转化（共6小题） 【模型】在同圆或等圆中，等圆心角 ⇔ 等弧 ⇔ 等弦 ⇔ 等弦心距，四者可以互相转化。 【步骤】① 明确前提“同圆或等圆”；② 确定要证的目标量；③ 选一条等价链（如证弦相等可先证所对弧相等）。 【易错】① 在大小不同的两个圆中直接套用；② 认为“弧长相等就是等弧”；③ 转化时对应关系搞错（弦与它所对的弧） 22．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 23．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，求的度数． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 25．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 26．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点，，，在上，．求证： 27．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型6 同弧圆周角与圆心角关系（共6小题） 【模型】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧（或等弧）所对的圆周角彼此相等。 【步骤】① 找准角所对的是哪条弧（看角两边与圆的交点之间的弧）；② 用倍半关系计算；③ 与直径、四边形内角和配合使用。 【易错】① 找错所对的弧（尤其优弧与劣弧）；② 圆心角与圆周角不在同一条弧上却用倍半关系；③ 计算时把半径与角度混用 28．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点C在上，． (1)求的度数； (2)若点D是弧的中点（点D与点C在的两侧），求的度数． 32．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、．求证：． 33．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点． (1)若的度数为，的度数为，求； (2)若，求证：． 题型7 直径所对圆周角的直角模型（共6小题） 【模型】直径所对的圆周角是直角；反过来，90° 的圆周角所对的弦是直径。 【步骤】① 见直径就联想直角（连出圆周角）；② 见圆上直角就联想直径（连该弦并说明过圆心）；③ 连半径构造等腰或直角三角形。 【易错】① 把任意过圆心的线段当直径（必须两端都在圆上）；② 圆周角的顶点没在圆上；③ 与垂径定理的条件混用 34．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 35．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 36．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 37．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若，求的度数． 38．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，，求的度数． 39．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，弦，点C在上，，求的半径． 拔高·压轴破难 题型8 圆内接四边形对角互补及外角（共6小题） 【模型】圆内接四边形的对角互补，且一个外角等于它的内对角。 【步骤】① 先确认四点共圆；② 用对角互补求未知角；③ 外角等于不相邻的内对角，可直接转化。 【易错】① 四边形不是圆内接的也套用对角互补；② 把相邻角当成对角；③ 外角与它相邻的内角搞混 40．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 41．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 42．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 43．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 44．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 45．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 题型9 垂径、圆周角和勾股综合计算（共5小题） 【模型】作弦心距构造直角三角形，用圆周角（圆心角）关系得到角度，再用勾股定理（或特殊直角三角形比例）算长度。 【步骤】① 作圆心到弦的垂线，出现直角三角形；② 用同弧的圆心角与圆周角关系求角度（常得 30°、45°、60°）；③ 用勾股定理或特殊角边长比求线段长。 【易错】① 不作弦心距导致无从下手；② 30°、45° 特殊直角三角形的边长比记错；③ 用圆周角直接当圆心角代入计算 46．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 47．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，以为圆心，2为半径的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，点E为上的动点（不与点A、C重合），连接，于点F，连接，点E在上运动的过程中，线段长度的最小值为___________． 48．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连结并延长交于点E，连结，，． (1)求证： (2)若，且，求的长． 49．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 50．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 题型10 多弦交点的圆中辅助线证明（共6小题） 【模型】圆中辅助线四件套：连半径（得等腰）、作弦心距（得直角与半弦）、连同弧的圆周角（得等角）、构造直径（得直角）。 【步骤】① 已知弦多、要求长度 → 作弦心距；② 要证角相等 → 找同弧的圆周角；③ 要证垂直 → 找直径或用三线合一。 【易错】① 乱连辅助线，没有目的；② 连了半径却忘了“同圆半径相等”这个隐含条件；③ 证明过程跳步，缺判定依据 51．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 52．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 53．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 54．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 (2)如图2，若，时，求证：． 55．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 56．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． $